Função generalizada - Generalized function

Em matemática , funções generalizadas são objetos que estendem a noção de funções . Existe mais de uma teoria reconhecida, por exemplo, a teoria das distribuições . As funções generalizadas são especialmente úteis para tornar as funções descontínuas mais semelhantes às funções suaves e para descrever fenômenos físicos discretos, como cargas pontuais . Eles são amplamente aplicados, especialmente em física e engenharia .

Uma característica comum de algumas das abordagens é que elas se baseiam nos aspectos do operador das funções numéricas cotidianas. A história primitiva está ligada a algumas ideias sobre cálculo operacional , e desenvolvimentos mais contemporâneos em certas direções estão intimamente relacionados às ideias de Mikio Sato , no que ele chama de análise algébrica . Influências importantes sobre o assunto têm sido os requisitos técnicos de teorias de equações diferenciais parciais e teoria de representação de grupo .

Alguma história primitiva

Na matemática do século XIX, aspectos da teoria da função generalizada apareceram, por exemplo na definição da função de Green , na transformada de Laplace , e na teoria das séries trigonométricas de Riemann , que não eram necessariamente a série de Fourier de um integrável função . Esses eram aspectos desconexos da análise matemática da época.

O uso intensivo da transformada de Laplace na engenharia levou ao uso heurístico de métodos simbólicos, chamados de cálculo operacional . Uma vez que foram fornecidas justificativas que usavam séries divergentes , esses métodos tinham má reputação do ponto de vista da matemática pura . Eles são típicos da aplicação posterior de métodos de funções generalizadas. Um livro influente sobre cálculo operacional foi Oliver Heaviside 's Electromagnetic Theory de 1899.

Quando a integral de Lebesgue foi introduzida, houve pela primeira vez uma noção de função generalizada central para a matemática. Uma função integrável, na teoria de Lebesgue, equivale a qualquer outra que seja a mesma em quase todos os lugares . Isso significa que seu valor em um determinado ponto não é (em certo sentido) sua característica mais importante. Na análise funcional, é dada uma formulação clara da característica essencial de uma função integrável, ou seja, a maneira como ela define um funcional linear em outras funções. Isso permite uma definição de derivada fraca .

Durante o final dos anos 1920 e 1930, passos adicionais foram dados, básicos para trabalhos futuros. A função delta de Dirac foi corajosamente definida por Paul Dirac (um aspecto de seu formalismo científico ); isso era para tratar medidas , pensadas como densidades (como densidade de carga ), como funções genuínas. Sergei Sobolev , trabalhando na teoria das equações diferenciais parciais , definiu a primeira teoria adequada de funções generalizadas, do ponto de vista matemático, para trabalhar com soluções fracas de equações diferenciais parciais. Outros que propuseram teorias relacionadas na época foram Salomon Bochner e Kurt Friedrichs . O trabalho de Sobolev foi desenvolvido de forma ampliada por Laurent Schwartz .

Distribuições de Schwartz

A concretização de tal conceito que se tornaria aceito como definitivo, para muitos propósitos, foi a teoria das distribuições , desenvolvida por Laurent Schwartz . Pode ser chamada de teoria de princípios, baseada na teoria da dualidade para espaços vetoriais topológicos . Seu principal rival, em matemática aplicada , é usar sequências de aproximações suaves (a explicação de ' James Lighthill '), que é mais ad hoc . Isso agora entra na teoria como teoria do mollifier .

Essa teoria foi muito bem-sucedida e ainda é amplamente utilizada, mas apresenta a principal desvantagem de permitir apenas operações lineares . Em outras palavras, as distribuições não podem ser multiplicadas (exceto em casos muito especiais): ao contrário da maioria dos espaços de função clássicos , eles não são uma álgebra . Por exemplo, não faz sentido elevar ao quadrado a função delta de Dirac . O trabalho de Schwartz por volta de 1954 mostrou que era uma dificuldade intrínseca.

Algumas soluções para o problema de multiplicação foram propostas. Um deles é baseado em uma definição muito simples e intuitiva de uma função generalizada dada por Yu. V. Egorov (veja também seu artigo no livro de Demidov na lista de livros abaixo) que permite operações arbitrárias em e entre funções generalizadas.

Outra solução para o problema de multiplicação é ditada pela formulação integral de caminho da mecânica quântica . Uma vez que isso deve ser equivalente à teoria de Schrödinger da mecânica quântica, que é invariante sob transformações de coordenadas, essa propriedade deve ser compartilhada por integrais de caminho. Isso corrige todos os produtos de funções generalizadas, conforme mostrado por H. Kleinert e A. Chervyakov. O resultado é equivalente ao que pode ser derivado da regularização dimensional .

Álgebras de funções generalizadas

Várias construções de álgebras de funções generalizadas têm sido propostas, entre outras as de Yu. M. Shirokov e os de E. Rosinger, Y. Egorov e R. Robinson. No primeiro caso, a multiplicação é determinada com alguma regularização da função generalizada. No segundo caso, a álgebra é construída como multiplicação de distribuições . Ambos os casos são discutidos a seguir.

Álgebra não comutativa de funções generalizadas

A álgebra de funções generalizadas pode ser construída com um procedimento apropriado de projeção de uma função em suas partes suaves e suas partes singulares . O produto de funções generalizadas e aparece como ${\ displaystyle F = F (x)}$ ${\ displaystyle F _ {\ rm {smooth}}}$ ${\ displaystyle F _ {\ rm {singular}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle FG ~ = ~ F _ {\ rm {suave}} ~ G _ {\ rm {suave}} ~ + ~ F _ {\ rm {suave}} ~ G _ {\ rm {singular}} ~ + F _ {\ rm {singular}} ~ G _ {\ rm {suave}}.}

( 1 )

Tal regra se aplica tanto ao espaço das funções principais quanto ao espaço dos operadores que atuam no espaço das funções principais. A associatividade da multiplicação é alcançada; e a função signum é definida de tal forma que seu quadrado é unidade em todos os lugares (incluindo a origem das coordenadas). Observe que o produto das partes singulares não aparece no lado direito de ( 1 ); em particular ,. Tal formalismo inclui a teoria convencional de funções generalizadas (sem seu produto) como um caso especial. No entanto, a álgebra resultante é não comutativa: funções generalizadas signum e delta anticommute. Poucas aplicações da álgebra foram sugeridas. ${\ displaystyle \ delta (x) ^ {2} = 0}$

Multiplicação de distribuições

O problema de multiplicação de distribuições , uma limitação da teoria de distribuição de Schwartz, torna-se sério para problemas não lineares .

Várias abordagens são usadas hoje. O mais simples é baseado na definição de função generalizada dada por Yu. V. Egorov. Outra abordagem para construir associativos álgebra diferencial é baseado em J.-F. A construção de Colombeau: ver álgebra de Colombeau . Estes são espaços de fator

{\ displaystyle G = M / N}

de "moderado" módulo redes "desprezíveis" de funções, onde "moderação" e "negligibilidade" se referem ao crescimento em relação ao índice da família.

Exemplo: álgebra de Colombeau

Um exemplo simples é obtida usando a escala polinomial em N , . Então, para qualquer álgebra semi-normatizada (E, P), o espaço de fator será ${\ displaystyle s = \ {a_ {m}: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R}, n \ mapsto n ^ {m}; ~ m \ in \ mathbb {Z} \}}$

{\ displaystyle G_ {s} (E, P) = {\ frac {\ {f \ in E ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ forall p \ in P, \ existe m \ in \ mathbb {Z} : p (f_ {n}) = o (n ^ {m}) \}} {\ {f \ in E ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ forall p \ in P, \ forall m \ in \ mathbb {Z}: p (f_ {n}) = o (n ^ {m}) \}}}.}

Em particular, para ( E , P ) = ( C , |. |) Obtém-se (Colombeau) números complexos generalizados (que podem ser "infinitamente grandes" e "infinitesimalmente pequenos" e ainda permitem aritmética rigorosa, muito semelhantes aos números não padrão ) Para ( E , P ) = ( C ^∞ ( R ), { p _k }) (onde p _k é o supremo de todas as derivadas de ordem menor ou igual a k na bola de raio k ) obtém-se a álgebra simplificada de Colombeau .

Injeção de distribuições de Schwartz

Esta álgebra "contém" todas as distribuições T de D ' através da injeção

j ( T ) = (φ _n ∗ T ) _n + N ,

onde ∗ é a operação de convolução , e

φ _n ( x ) = n φ ( nx ).

Esta injeção é não canônica no sentido de que depende da escolha do molificador φ, que deve ser C ^∞ , do integral e ter todas as suas derivadas em 0 desaparecendo. Para obter uma injeção canônica, o conjunto de indexação pode ser modificado para ser N × D ( R ), com uma base de filtro conveniente em D ( R ) (funções de momentos de fuga até a ordem q ).

Estrutura do feixe

Se ( E , P ) for um (pré-) feixe de álgebras semormalizadas em algum espaço topológico X , então G _s ( E , P ) também terá esta propriedade. Isso significa que a noção de restrição será definida, o que permite definir o suporte de uma função generalizada para um subsheaf, em particular:

Para o subsheaf {0}, obtém-se o suporte usual (complemento do maior subconjunto aberto onde a função é zero).
Para a subfeita E (embutida usando a injeção canônica (constante)), obtém-se o que é chamado de suporte singular , ou seja, grosso modo, o fechamento do conjunto onde a função generalizada não é uma função suave (para E = C ^∞ ) .

Análise Microlocal

A transformação de Fourier a ser (bem) definido para funções generalizadas suporte compacto (componente-sábio), pode-se aplicar a mesma construção como para as distribuições, e definir Lars Hörmander s' onda conjunto frontal também para funções generalizadas.

Isso tem uma aplicação especialmente importante na análise da propagação de singularidades .

Outras teorias

Estes incluem: a teoria do quociente de convolução de Jan Mikusinski , baseada no campo de frações de álgebras de convolução que são domínios integrais ; e as teorias de hiperfunções , baseadas (em sua concepção inicial) em valores de fronteira de funções analíticas , e agora fazendo uso da teoria dos feixes .

Grupos topológicos

Bruhat introduziu uma classe de funções de teste , as funções de Schwartz-Bruhat como são agora conhecidas, em uma classe de grupos localmente compactos que vai além das variedades que são os domínios de função típicos . As aplicações são principalmente na teoria dos números , particularmente para grupos algébricos adélicos . André Weil reescreveu a tese de Tate nesta língua, caracterizando a distribuição zeta no grupo idele ; e também foi aplicado para a fórmula explícita de uma função-G .

Seção generalizada

Outra maneira pela qual a teoria foi estendida são as seções generalizadas de um pacote vetorial suave . Este é o padrão de Schwartz, construindo objetos duais aos objetos de teste, seções suaves de um feixe que tem suporte compacto . A teoria mais desenvolvida é a das correntes de De Rham , das formas duais às diferenciais . São de natureza homológica, da mesma forma que as formas diferenciais dão origem à cohomologia de De Rham . Eles podem ser usados para formular um teorema de Stokes muito geral .

Veja também

Livros

L. Schwartz: Théorie des distributions
L. Schwartz: Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 239 (1954) 847-848.
IM Gel'fand et al .: Generalized Functions, vols I – VI, Academic Press, 1964. (Traduzido do russo).
L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer Verlag, 1983.
AS Demidov: Funções Generalizadas em Física Matemática: Principais Idéias e Conceitos (Nova Science Publishers, Huntington, 2001). Com uma adição de Yu. V. Egorov .
M. Oberguggenberger: Multiplicação de distribuições e aplicações a equações diferenciais parciais (Longman, Harlow, 1992).
Oberguggenberger, M. (2001). "Funções generalizadas em modelos não lineares - um levantamento". Análise não linear . 47 (8): 5029–5040. doi : 10.1016 / s0362-546x (01) 00614-9 .
J.-F. Colombeau : Novas funções generalizadas e multiplicação de distribuições, North Holland, 1983.
M. Grosser et al .: Teoria geométrica de funções generalizadas com aplicações à relatividade geral, Kluwer Academic Publishers, 2001.
H. Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4ª edição, World Scientific (Singapura, 2006) ( online aqui ). Consulte o Capítulo 11 para produtos de funções generalizadas.

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