Distância geográfica - Geographical distance

Vista do Jura da Suábia até os Alpes

A distância geográfica é a distância medida ao longo da superfície da Terra . As fórmulas neste artigo calculam distâncias entre pontos que são definidos por coordenadas geográficas em termos de latitude e longitude . Essa distância é um elemento na solução do segundo problema geodésico (inverso) .

Introdução

O cálculo da distância entre as coordenadas geográficas é baseado em algum nível de abstração; não fornece uma distância exata , que é inatingível se alguém tentar explicar cada irregularidade na superfície da terra. Abstrações comuns para a superfície entre dois pontos geográficos são:

  • Superfície plana;
  • Superfície esférica;
  • Superfície elipsoidal.

Todas as abstrações acima ignoram as mudanças na elevação. O cálculo das distâncias que levam em consideração as mudanças na elevação em relação à superfície idealizada não são discutidos neste artigo.

Nomenclatura

Distância, é calculada entre dois pontos, e . As coordenadas geográficas dos dois pontos, como pares (latitude, longitude), são e respectivamente. Qual dos dois pontos é designado como não é importante para o cálculo da distância.

As coordenadas de latitude e longitude nos mapas são geralmente expressas em graus . Nas formas fornecidas das fórmulas abaixo, um ou mais valores devem ser expressos nas unidades especificadas para obter o resultado correto. Onde as coordenadas geográficas são usadas como o argumento de uma função trigonométrica, os valores podem ser expressos em quaisquer unidades angulares compatíveis com o método usado para determinar o valor da função trigonométrica. Muitas calculadoras eletrônicas permitem cálculos de funções trigonométricas em graus ou radianos . O modo calculadora deve ser compatível com as unidades usadas para coordenadas geométricas.

As diferenças de latitude e longitude são rotuladas e calculadas da seguinte forma:

Não é importante se o resultado é positivo ou negativo quando usado nas fórmulas abaixo.

A "latitude média" é rotulada e calculada da seguinte forma:

A colatitude é rotulada e calculada da seguinte forma:

Para latitudes expressas em radianos:
Para latitudes expressas em graus:

A menos que especificado de outra forma, o raio da Terra para os cálculos abaixo é:

= 6.371,009 quilômetros = 3.958,761 milhas terrestres = 3.440,069 milhas náuticas .

= Distância entre os dois pontos, medida ao longo da superfície da Terra e nas mesmas unidades que o valor usado para o raio, a menos que especificado de outra forma.

Singularidades e descontinuidade de latitude / longitude

A longitude tem singularidades nos polos (longitude indefinida) e uma descontinuidade no meridiano de ± 180 ° . Além disso, as projeções planas dos círculos de latitude constante são altamente curvas perto dos polos. Portanto, as equações acima para latitude / longitude delta ( , ) e latitude média ( ) podem não fornecer a resposta esperada para posições próximas aos polos ou ao meridiano de ± 180 °. Considere, por exemplo, o valor de ("deslocamento leste") quando e estiver em qualquer lado do meridiano ± 180 °, ou o valor de ("latitude média") para as duas posições ( = 89 °, = 45 °) e ( = 89 °, = −135 °).

Se um cálculo baseado em latitude / longitude deve ser válido para todas as posições da Terra, deve-se verificar se a descontinuidade e os Pólos estão sendo tratados corretamente. Outra solução é usar n -vector em vez de latitude / longitude, uma vez que esta representação não possui descontinuidades ou singularidades.

Fórmulas de superfície plana

Uma aproximação plana para a superfície da Terra pode ser útil em pequenas distâncias. A precisão dos cálculos de distância usando esta aproximação torna-se cada vez mais imprecisa, pois:

  • A separação entre os pontos torna-se maior;
  • Um ponto fica mais próximo de um pólo geográfico.

A distância mais curta entre dois pontos no plano é uma linha reta. O teorema de Pitágoras é usado para calcular a distância entre pontos em um plano.

Mesmo em distâncias curtas, a precisão dos cálculos de distância geográfica que assume uma Terra plana depende do método pelo qual as coordenadas de latitude e longitude foram projetadas no avião. A projeção de coordenadas de latitude e longitude em um avião é o domínio da cartografia .

As fórmulas apresentadas nesta seção fornecem vários graus de precisão.

Terra esférica projetada em um plano

Esta fórmula leva em consideração a variação da distância entre os meridianos com latitude:

Onde:
e estão em radianos;
deve estar em unidades compatíveis com o método usado para determinar
Para converter latitude ou longitude em radianos, use

Esta aproximação é muito rápida e produz resultados bastante precisos para pequenas distâncias. Além disso, ao ordenar locais por distância, como em uma consulta de banco de dados, é mais rápido ordenar por distância quadrada, eliminando a necessidade de calcular a raiz quadrada.

Terra elipsoidal projetada em um plano

A FCC prescreve as seguintes fórmulas para distâncias não superiores a 475 quilômetros (295 mi):

Onde
= Distância em quilômetros;
e estão em graus;
deve estar em unidades compatíveis com o método usado para determinar
Onde e estão em unidades de quilômetros por grau. Pode ser interessante notar que:
= quilômetros por grau de diferença de latitude;
= quilômetros por grau de diferença de longitude;
onde e é o m eridional e da sua perpendicular, ou " n ormal ", raios de curvatura (as expressões na fórmula FCC são derivados a partir da série binomial forma de expansão e , conjunto para a Clarke 1866 elipsóide de referência ).

Para uma implementação mais eficiente do ponto de vista computacional da fórmula acima, múltiplas aplicações de cosseno podem ser substituídas por uma única aplicação e uso de relação de recorrência para polinômios de Chebyshev .

Fórmula da Terra plana de coordenadas polares

onde os valores de colatitude estão em radianos. Para uma latitude medida em graus, a colatitude em radianos pode ser calculada da seguinte forma:

Fórmulas de superfície esférica

Se alguém estiver disposto a aceitar um possível erro de 0,5%, pode usar fórmulas de trigonometria esférica na esfera que melhor se aproxima da superfície da Terra.

A distância mais curta ao longo da superfície de uma esfera entre dois pontos na superfície é ao longo do grande círculo que contém os dois pontos.

O artigo distância do grande círculo fornece a fórmula para calcular a distância ao longo de um grande círculo em uma esfera do tamanho da Terra. Esse artigo inclui um exemplo do cálculo.

Distância do túnel

Um túnel entre pontos na Terra é definido por uma linha que atravessa o espaço tridimensional entre os pontos de interesse. O comprimento da corda do grande círculo pode ser calculado da seguinte forma para a esfera unitária correspondente:

A distância do túnel entre pontos na superfície de uma Terra esférica é . Para distâncias curtas ( ), isso subestima a distância do grande círculo em .

Fórmulas de superfície elipsoidal

Geodésico em um elipsóide achatado

Um elipsóide se aproxima da superfície da Terra muito melhor do que uma esfera ou superfície plana. A distância mais curta ao longo da superfície de um elipsóide entre dois pontos na superfície é ao longo da geodésica . Geodésicas seguem caminhos mais complicados do que grandes círculos e, em particular, eles geralmente não retornam às suas posições iniciais após um circuito da Terra. Isso é ilustrado na figura à direita, onde f é considerado 1/50 para acentuar o efeito. Encontrar a geodésica entre dois pontos na terra, o chamado problema geodésico inverso , foi o foco de muitos matemáticos e geodesistas ao longo dos séculos 18 e 19, com contribuições importantes de Clairaut , Legendre , Bessel e Helmert . Rapp fornece um bom resumo deste trabalho.

Métodos para calcular a distância geodésica estão amplamente disponíveis em sistemas de informações geográficas , bibliotecas de software, utilitários autônomos e ferramentas online. O algoritmo mais utilizado é o de Vincenty , que usa uma série com precisão de terceira ordem no achatamento do elipsóide, ou seja, cerca de 0,5 mm; entretanto, o algoritmo falha em convergir para pontos que são quase antípodais . (Para obter detalhes, consulte as fórmulas de Vincenty .) Esse defeito é corrigido no algoritmo fornecido por Karney, que emprega séries com precisão de sexta ordem no achatamento. Isso resulta em um algoritmo que é preciso com precisão dupla total e que converge para pares arbitrários de pontos na Terra. Este algoritmo é implementado em GeographicLib.

Os métodos exatos acima são viáveis ​​ao realizar cálculos em um computador. Eles se destinam a fornecer precisão milimétrica em linhas de qualquer comprimento; pode-se usar fórmulas mais simples se não precisarmos de precisão milimétrica ou se precisarmos de precisão milimétrica, mas a linha é curta. Rapp, cap. 6, descreve o método Puissant , o método Gauss de latitude média e o método Bowring.

Fórmula de Lambert para linhas longas

As fórmulas de Lambert fornecem precisão da ordem de 10 metros ao longo de milhares de quilômetros. Primeiro converter as latitudes , dos dois pontos para latitudes reduzidos ,

onde está o achatamento . Em seguida, calcule o ângulo central em radianos entre dois pontos e em uma esfera usando o método da distância do grande círculo ( lei dos cossenos ou fórmula de Haversine ), com longitudes e sendo o mesmo na esfera e no esferóide.

onde é o raio equatorial do esferóide escolhido.

No esferóide GRS 80, a fórmula de Lambert está desativada por

0 Norte 0 Oeste a 40 Norte 120 Oeste, 12,6 metros
0N 0W a 40N 60W, 6,6 metros
40N 0W a 40N 60W, 0,85 metros

Método de Bowring para linhas curtas

Bowring mapeia os pontos para uma esfera de raio R ′ , com latitude e longitude representadas como φ ′ e λ ′. Definir

onde a segunda excentricidade ao quadrado é

O raio esférico é

(A curvatura gaussiana do elipsóide em φ 1 é 1 / R ′ 2. ) As coordenadas esféricas são dadas por

onde , , , . O problema resultante na esfera pode ser resolvido usando as técnicas de navegação do grande círculo para fornecer aproximações para a distância esferoidal e direção. Fórmulas detalhadas são fornecidas por Rapp, §6.5 e Bowring.

Veja também

Referências

links externos