Desvio padrão geométrico - Geometric standard deviation

Na teoria da probabilidade e na estatística , o desvio padrão geométrico ( GSD ) descreve como estão espalhados um conjunto de números cuja média preferida é a média geométrica . Para tais dados, pode ser preferível ao desvio padrão mais usual . Observe que, ao contrário do desvio padrão aritmético usual , o desvio padrão geométrico é um fator multiplicativo e, portanto, não tem dimensão , em vez de ter a mesma dimensão dos valores de entrada. Assim, o desvio padrão geométrico pode ser mais apropriadamente denominado fator SD geométrico . Ao usar o fator SD geométrico em conjunto com a média geométrica, deve ser descrito como "o intervalo de (a média geométrica dividida pelo fator SD geométrico) a (a média geométrica multiplicada pelo fator SD geométrico), e não se pode adicionar / subtrair "fator SD geométrico" de / para a média geométrica.

Definição

Se a média geométrica de um conjunto de números { A ₁ , A ₂ , ..., A _n } é denotada como μ _g , então o desvio padrão geométrico é

${\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp \ left ({\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i} \ over \ mu _ {g}} \ right) ^ {2} \ over n}} \ right). \ qquad \ qquad (1)}$

Derivação

Se a média geométrica for

${\ displaystyle \ mu _ {g} = {\ sqrt [{n}] {A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}}}. \,}$

então, tomar o logaritmo natural de ambos os lados resulta em

${\ displaystyle \ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} \ ln (A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}).}$

O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos (assumindo que seja positivo para todos ), então ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} [\ ln A_ {1} + \ ln A_ {2} + \ cdots + \ ln A_ {n}]. \,}$

Agora pode ser visto que é a média aritmética do conjunto , portanto o desvio padrão aritmético deste mesmo conjunto deve ser ${\ displaystyle \ ln \, \ mu _ {g}}$${\ displaystyle \ {\ ln A_ {1}, \ ln A_ {2}, \ dots, \ ln A_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ ln \ sigma _ {g} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ ln A_ {i} - \ ln \ mu _ {g}) ^ {2} \ sobre n}}.}$

Isso simplifica para

${\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i} \ over \ mu _ {g}} \ right) ^ {2} \ sobre n}}.}$

Pontuação padrão geométrica

A versão geométrica da pontuação padrão é

${\ displaystyle z = {{\ ln (x) - \ ln (\ mu _ {g})} \ over \ ln \ sigma _ {g}} = {\ log _ {\ sigma _ {g}} (x /\Caneca})}.\,}$

Se a média geométrica, o desvio padrão e a pontuação z de um dado são conhecidos, a pontuação bruta pode ser reconstruída por

${\ displaystyle x = \ mu _ {g} {\ sigma _ {g}} ^ {z}.}$

Relação com a distribuição log-normal

O desvio padrão geométrico é usado como uma medida de dispersão log-normal analogamente à média geométrica. Como a transformação logarítmica de uma distribuição normal logarítmica resulta em uma distribuição normal, vemos que o desvio padrão geométrico é o valor exponenciado do desvio padrão dos valores transformados logarítmicos, isto é . ${\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp (\ operatorname {stdev} (\ ln (A)))}$

Como tal, a média geométrica e o desvio padrão geométrico de uma amostra de dados de uma população com distribuição logarítmica podem ser usados ​​para encontrar os limites dos intervalos de confiança analogamente à maneira como a média aritmética e o desvio padrão são usados ​​para limitar os intervalos de confiança para uma distribuição normal. Consulte a discussão na distribuição normal do log para obter detalhes.

Veja também

Referências

links externos

• Site de cálculo não newtoniano