Geometria dos números - Geometry of numbers

A geometria dos números é a parte da teoria dos números que usa a geometria para o estudo dos números algébricos . Tipicamente, um anel de números inteiros algébricos é visto como uma estrutura em e o estudo destas reticulados fornece informação fundamental sobre números algébricos. A geometria dos números foi iniciada por Hermann Minkowski ( 1910 ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

Melhores aproximações racionais para

π

(círculo verde), e (losango azul), ϕ (oblongo rosa), (√3) / 2 (hexágono cinza), 1 / √2 (octógono vermelho) e 1 / √3 (triângulo laranja) calculados a partir de suas expansões de fração contínuas, plotados como inclinações y / x com erros de seus valores reais (traços pretos)

A geometria dos números tem uma relação estreita com outros campos da matemática, especialmente a análise funcional e a aproximação diofantina , o problema de encontrar números racionais que se aproximam de uma quantidade irracional .

Resultados de Minkowski

Suponha que seja um espaço euclidiano de treliça em dimensão e é um corpo convexo centralmente simétrico. O teorema de Minkowski , às vezes chamado de primeiro teorema de Minkowski, afirma que se , então, contém um vetor diferente de zero em . ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {vol} (K)> 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

O mínimo sucessivo é definido como o inf dos números que contém vetores linearmente independentes de . O teorema de Minkowski sobre mínimos sucessivos , às vezes chamado de segundo teorema de Minkowski , é um reforço de seu primeiro teorema e afirma que ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda K}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ operatorname {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}

.

Pesquisas posteriores na geometria dos números

Em 1930-1960, a pesquisa sobre a geometria dos números foi conduzida por muitos teóricos dos números (incluindo Louis Mordell , Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel ). Nos últimos anos, Lenstra, Brion e Barvinok desenvolveram teorias combinatórias que enumeram os pontos da rede em alguns corpos convexos.

Teorema do subespaço de WM Schmidt

Na geometria dos números, o teorema do subespaço foi obtido por Wolfgang M. Schmidt em 1972. Ele afirma que se n é um inteiro positivo, e L ₁ , ..., L _n são formas lineares linearmente independentes em n variáveis com coeficientes algébricos e se ε> 0 é qualquer número real dado, então o número inteiro diferente de zero aponta x em n coordenadas com

{\ displaystyle | L_ {1} (x) \ cdots L_ {n} (x) | <| x | ^ {- \ varepsilon}}

residem em um número finito de subespaços próprios de Q ⁿ .

Influência na análise funcional

A geometria dos números de Minkowski teve uma profunda influência na análise funcional . Minkowski provou que corpos convexos simétricos induzem normas em espaços vetoriais de dimensão finita. O teorema de Minkowski foi generalizado para espaços vetoriais topológicos por Kolmogorov , cujo teorema afirma que os conjuntos convexos simétricos que são fechados e limitados geram a topologia de um espaço de Banach .

Os pesquisadores continuam a estudar generalizações para conjuntos em forma de estrela e outros conjuntos não convexos .

Referências

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