A conjectura de Goldbach - Goldbach's conjecture

Conjectura de Goldbach

Carta de Goldbach para Euler datada de 7 de junho de 1742 (latim-alemão)
Campo	Teoria dos Números
Conjecturado por	Christian Goldbach
Conjecturado em	1742
Problema aberto	sim
Consequências	A conjectura fraca de Goldbach

A conjectura de Goldbach é um dos problemas não resolvidos mais antigos e mais conhecidos na teoria dos números e em toda a matemática . Ele afirma que todo número inteiro par maior que 2 é a soma de dois números primos .

Foi demonstrado que a conjectura é válida para todos os números inteiros menores que 4 × 10 ¹⁸ , mas permanece não comprovada, apesar do esforço considerável.

História

Em 7 de junho de 1742, o matemático alemão Christian Goldbach escreveu uma carta a Leonhard Euler (carta XLIII), na qual ele propôs a seguinte conjectura:

Goldbach estava seguindo a convenção agora abandonada de considerar 1 como um número primo , de forma que uma soma de unidades seria de fato uma soma de primos. Ele então propôs uma segunda conjectura na margem de sua carta, que implica a primeira:

Euler respondeu em uma carta datada de 30 de junho de 1742 e lembrou Goldbach de uma conversa anterior que eles tiveram ( "... então Ew vormals mit mir comunicirt haben ..." ), na qual Goldbach observou que a primeira dessas duas conjecturas seria siga a partir da declaração

Na verdade, isso é equivalente à sua segunda conjectura marginal. Na carta datada de 30 de junho de 1742, Euler afirmou:

Dass ... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
Que ... todo número par é uma soma de dois primos, considero um teorema totalmente certo, embora não possa prová-lo.

Cada uma das três conjecturas acima tem um análogo natural em termos da definição moderna de um primo, sob o qual 1 é excluído. Uma versão moderna da primeira conjectura é:

Uma versão moderna da conjectura marginal é:

E uma versão moderna da conjectura mais antiga de Goldbach da qual Euler o lembrou é:

Essas versões modernas podem não ser inteiramente equivalentes às declarações originais correspondentes. Por exemplo, se houvesse um número inteiro par maior do que 4, para um primo, que não pudesse ser expresso como a soma de dois primos no sentido moderno, então seria um contra-exemplo à versão moderna da terceira conjectura (sem ser um contra-exemplo à versão original). A versão moderna é, portanto, provavelmente mais forte (mas para confirmar isso, seria necessário provar que a primeira versão, livremente aplicada a qualquer número inteiro positivo , não poderia excluir a existência de tal contra-exemplo específico ). Em qualquer caso, as declarações modernas têm as mesmas relações umas com as outras que as declarações mais antigas. Ou seja, a segunda e a terceira afirmações modernas são equivalentes e ambas implicam na primeira afirmação moderna. ${\ displaystyle N = p + 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N}$

A terceira afirmação moderna (equivalente à segunda) é a forma pela qual a conjectura é geralmente expressa hoje. É também conhecida como conjectura de Goldbach " forte ", "uniforme" ou "binária". Uma forma mais fraca da segunda declaração moderna, conhecida como " conjectura fraca de Goldbach ", a "conjectura estranha de Goldbach" ou a "conjectura ternária de Goldbach", afirma que

Uma prova para a conjectura fraca foi proposta em 2013 por Harald Helfgott . A prova de Helfgott ainda não apareceu em uma publicação revisada por pares, embora tenha sido aceita para publicação na série Annals of Mathematics Studies em 2015, e está passando por uma nova revisão e revisão desde então. A conjectura fraca seria um corolário da conjectura forte: se n - 3 é a soma de dois primos, então n é a soma de três primos. No entanto, a implicação inversa e, portanto, a forte conjectura de Goldbach permanecem não comprovadas.

Resultados verificados

Para pequenos valores de n , a conjectura de Goldbach forte (e, portanto, a conjectura de Goldbach fraca) pode ser verificada diretamente. Por exemplo, em 1938, Nils Pipping laboriosamente verificou a conjectura até n  ≤ 10 ⁵ . Com o advento dos computadores, muitos mais valores de n foram verificados; T. Oliveira e Silva executou uma pesquisa de computador distribuída que verificou a conjectura para n  ≤ 4 × 10 ¹⁸ (e verificou duas vezes até 4 × 10 ¹⁷ ) em 2013. Um registro desta pesquisa é que3 325 581 707 333 960 528 é o menor número que não pode ser escrito como a soma de dois primos, onde um é menor que 9781.

Justificativa heurística

As considerações estatísticas que se concentram na distribuição probabilística de números primos apresentam evidências informais em favor da conjectura (nas formas fraca e forte) para inteiros suficientemente grandes : quanto maior o número inteiro, mais maneiras existem para esse número ser representado como a soma de dois ou três outros números, e o mais "provável" torna-se que pelo menos uma dessas representações consiste inteiramente de primos.

Número de maneiras de escrever um número par n como a soma de dois primos (4 ≤  n  ≤ 1.000), (sequência A002375 no OEIS )

Número de maneiras de escrever um número par n como a soma de dois primos (4 ≤  n  ≤ 1 000 000 )

Uma versão muito grosseira do argumento probabilístico heurístico (para a forma forte da conjectura de Goldbach) é a seguinte. O teorema dos números primos afirma que um inteiro m selecionado aleatoriamente tem aproximadamente uma chance de ser primo. Assim, se n é um número inteiro grande, mesmo e m é um número entre 3 e n / 2, em seguida, pode-se esperar que a probabilidade de m e n  -  m simultaneamente ser primo de ser . Se alguém seguir essa heurística, pode-se esperar que o número total de maneiras de escrever um grande número inteiro n como a soma de dois primos ímpares seja aproximadamente ${\ displaystyle 1 / \ ln m}$${\ displaystyle 1 {\ big /} {\ big [} \ ln m \, \ ln (nm) {\ big]}}$

${\ displaystyle \ sum _ {m = 3} ^ {n / 2} {\ frac {1} {\ ln m}} {\ frac {1} {\ ln (nm)}} \ aprox {\ frac {n } {2 (\ ln n) ^ {2}}}.}$

Visto que essa quantidade vai para o infinito à medida que n aumenta, esperaríamos que todo grande e par inteiro tivesse não apenas uma representação como a soma de dois primos, mas na verdade muitas dessas representações. ${\ displaystyle \ ln n \ ll {\ sqrt {n}}}$

Este argumento heurístico é um tanto impreciso, porque assume que os eventos de m e n  -  m sendo primos são estatisticamente independentes uns dos outros. Por exemplo, se m é ímpar, então n  -  m também é ímpar, e se m é par, então n  -  m é par, uma relação não trivial porque, além do número 2, apenas números ímpares podem ser primos. Da mesma forma, se n é divisível por 3 e m já era um primo distinto de 3, então n  -  m também seria coprime de 3 e, portanto, seria ligeiramente mais provável de ser primo do que um número geral. Seguindo este tipo de análise com mais cuidado, GH Hardy e John Edensor Littlewood em 1923 conjecturaram (como parte de sua conjectura da tupla principal de Hardy-Littlewood ) que para qualquer c  ≥ 2 fixo , o número de representações de um grande inteiro n como a soma de c primos com deve ser assintoticamente igual a ${\ displaystyle n = p_ {1} + \ cdots + p_ {c}}$${\ displaystyle p_ {1} \ leq \ cdots \ leq p_ {c}}$

${\ displaystyle \ left (\ prod _ {p} {\ frac {p \ gamma _ {c, p} (n)} {(p-1) ^ {c}}} \ right) \ int _ {2 \ leq x_ {1} \ leq \ cdots \ leq x_ {c}: x_ {1} + \ cdots + x_ {c} = n} {\ frac {dx_ {1} \ cdots dx_ {c-1}} {\ ln x_ {1} \ cdots \ ln x_ {c}}},}$

onde o produto é sobre todos os primos p , e é o número de soluções para a equação na aritmética modular , sujeito às restrições . Esta fórmula foi rigorosamente comprovada como assintoticamente válida para c  ≥ 3 a partir do trabalho de Ivan Matveevich Vinogradov , mas ainda é apenas uma conjectura quando . No último caso, a fórmula acima simplifica para 0 quando n é ímpar e para ${\ displaystyle \ gamma _ {c, p} (n)}$${\ displaystyle n = q_ {1} + \ cdots + q_ {c} \ mod p}$ ${\ displaystyle q_ {1}, \ ldots, q_ {c} \ neq 0 \ mod p}$${\ displaystyle c = 2}$

${\ displaystyle 2 \ Pi _ {2} \ left (\ prod _ {p \ mid n; p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ right) \ int _ {2} ^ {n} {\ frac {dx} {(\ ln x) ^ {2}}} \ approx 2 \ Pi _ {2} \ left (\ prod _ {p \ mid n; p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ right) {\ frac {n} {(\ ln n) ^ {2}}}}$

quando n é par, onde é a constante prima gêmea de Hardy-Littlewood${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$

${\ displaystyle \ Pi _ {2}: = \ prod _ {\ textstyle {p \; {\ rm {prime}} \ atop p \ geq 3}} \ left (1 - {\ frac {1} {(p -1) ^ {2}}} \ right) \ approx 0.660161815846869573927812110014 \ dots}$

Isso às vezes é conhecido como conjectura estendida de Goldbach . A forte conjectura de Goldbach é de fato muito semelhante à conjectura do primo gêmeo , e acredita-se que as duas conjecturas tenham dificuldade aproximadamente comparável.

As funções de partição de Goldbach mostradas aqui podem ser exibidas como histogramas, que ilustram as equações acima. Veja o cometa de Goldbach para mais informações.

O cometa de Goldbach também sugere que há limites superior e inferior estreitos no número de representantes e que o módulo 6 de 2n desempenha um papel no número de representações.

O número de representações é sobre , de e o teorema dos números primos. Se cada c for composto, então ele deve ter um fator primo menor ou igual à raiz quadrada de , pelo método descrito na divisão experimental . ${\ displaystyle n \ ln n}$${\ displaystyle 2n = p + c}$${\ displaystyle 2n}$

Isso leva a uma expectativa de representações. ${\ displaystyle {\ frac {n \ ln n} {\ sqrt {2n}}} = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \ ln n}$

Resultados rigorosos

A forte conjectura de Goldbach é muito mais difícil do que a fraca conjectura de Goldbach . Usando o método de Vinogradov, Nikolai Chudakov , Johannes van der Corput e Theodor Estermann mostraram que quase todos os números pares podem ser escritos como a soma de dois primos (no sentido de que a fração de números pares que podem ser escritos tende para 1). Em 1930, Lev Schnirelmann provou que qualquer número natural maior que 1 pode ser escrito como a soma de não mais que C números primos, onde C é uma constante efetivamente computável; veja densidade de Schnirelmann . A constante de Schnirelmann é o menor número C com esta propriedade. O próprio Schnirelmann obteve C  < 800 000 . Esse resultado foi posteriormente realçado por vários autores, como Olivier Ramaré , que em 1995 mostrou que todo número par n ≥ 4 é na verdade a soma de no máximo 6 primos. O resultado mais conhecido atualmente decorre da prova da conjectura de Goldbach fraca de Harald Helfgott , que implica diretamente que todo número par n ≥ 4 é a soma de no máximo 4 primos.

Em 1924, Hardy e Littlewood mostraram, sob a suposição da hipótese generalizada de Riemann, que o número de números pares até X violando a conjectura de Goldbach é muito menor do que para c pequeno . ${\ displaystyle X ^ {(1/2) + c}}$

Chen Jingrun mostrou em 1973, usando os métodos da teoria da peneira, que todo número par suficientemente grande pode ser escrito como a soma de dois primos ou um primo e um semiprimo (o produto de dois primos). Veja o teorema de Chen para mais informações.

Em 1975, Hugh Montgomery e Robert Charles Vaughan mostraram que a "maioria" dos números pares são expressos como a soma de dois primos. Mais precisamente, eles mostraram que existem constantes positivas c e C tais que, para todos os números N suficientemente grandes , todo número par menor que N é a soma de dois primos, com no máximo exceções. Em particular, o conjunto de inteiros pares que não são a soma de dois primos tem densidade zero. ${\ displaystyle CN ^ {1-c}}$

Em 1951, Yuri Linnik provou a existência de uma constante K tal que todo número par suficientemente grande é a soma de dois primos e no máximo K potências de 2. Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta descobriram em 2002 que K = 13 trabalhos.

Problemas relacionados

Embora a conjectura de Goldbach implique que todo número inteiro positivo maior que um pode ser escrito como uma soma de no máximo três primos, nem sempre é possível encontrar essa soma usando um algoritmo ganancioso que usa o maior número primo possível em cada etapa. A sequência Pillai rastreia os números que requerem o maior número de primos em suas representações gananciosas.

Problemas semelhantes à conjectura de Goldbach existem em que os primos são substituídos por outros conjuntos particulares de números, como os quadrados:

• Foi provado por Lagrange que todo número inteiro positivo é a soma de quatro quadrados . Veja o problema de Waring e o problema relacionado de Waring-Goldbach em somas de potências dos primos.
• Hardy e Littlewood listaram como sua Conjectura I: "Todo grande número ímpar ( n > 5) é a soma de um primo e o dobro de um primo" ( Mathematics Magazine , 66.1 (1993): 45–47). Essa conjectura é conhecida como conjectura de Lemoine e também é chamada de conjectura de Levy .
• A conjectura de Goldbach para os números práticos , uma sequência de inteiros do tipo primo, foi declarada por Margenstern em 1984 e provada por Melfi em 1996: todo número par é a soma de dois números práticos.
• Um reforço da conjectura de Goldbach proposta por Harvey Dubner afirma que todo número par maior que 4.208 é a soma de dois primos gêmeos . Apenas 33 inteiros iguais menores que 4.208 não são a soma de dois primos gêmeos. Dubner verificou computacionalmente que esta lista está completa até 2 × 10 ¹⁰ . Uma prova dessa conjectura mais forte não implicaria apenas na conjectura de Goldbach, mas também na conjectura do primo gêmeo .

Na cultura popular

Conjectura de Goldbach ( chinês :哥德巴赫 猜想) é o título da biografia do matemático e teórico dos números chinês Chen Jingrun , escrita por Xu Chi .

A conjectura é um ponto central na trama do romance de 1992 Uncle Petros and Goldbach's Conjecture do escritor grego Apostolos Doxiadis , no conto " Sixty Million Trillion Combinations " de Isaac Asimov e também no romance de mistério de 2008 No One You Know de Michelle Richmond .

A conjectura de Goldbach faz parte do enredo do filme espanhol Fermat's Room, de 2007 .

Referências

Leitura adicional

• Deshouillers, J.-M .; Effinger, G .; te Riele, H .; Zinoviev, D. (1997). "Um teorema completo de Vinogradov com três primos sob a hipótese de Riemann" (PDF) . Anúncios eletrônicos de pesquisa da American Mathematical Society . 3 (15): 99–104. doi : 10.1090 / S1079-6762-97-00031-0 .
• Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). "O conjunto excepcional no problema de Goldbach" (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. doi : 10.4064 / aa-27-1-353-370 .
• Terence Tao provou que todos os números ímpares são, no máximo, a soma de cinco primos .
• Goldbach Conjecture at MathWorld .

links externos

• Mídia relacionada à conjectura de Goldbach no Wikimedia Commons
• "Goldbach problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Carta original de Goldbach para Euler - formato PDF (em alemão e latim)
• A conjectura de Goldbach , parte das Prime Pages de Chris Caldwell.
• Verificação da conjectura de Goldbach , busca distribuída por computador de Tomás Oliveira e Silva.