Distância do grande círculo - Great-circle distance

Um diagrama ilustrando a distância do grande círculo (desenhado em vermelho) entre dois pontos em uma esfera, P e Q. Dois pontos nodais , uev, que são antípodas , também são mostrados.

A distância do grande círculo , distância ortodrômica ou distância esférica é a distância ao longo de um grande círculo .

É a distância mais curta entre dois pontos na superfície de uma esfera , medida ao longo da superfície da esfera (em oposição a uma linha reta através do interior da esfera). A distância entre dois pontos no espaço euclidiano é o comprimento de uma linha reta entre eles, mas na esfera não há linhas retas. Em espaços com curvatura , as linhas retas são substituídas por geodésicas . Geodésicas na esfera são círculos na esfera cujos centros coincidem com o centro da esfera e são chamados de 'grandes círculos'.

A determinação da distância do grande círculo é parte do problema mais geral da navegação do grande círculo , que também calcula os azimutes nos pontos finais e pontos intermediários.

Através de quaisquer dois pontos em uma esfera que não sejam pontos antípodas (diretamente opostos um ao outro), existe um grande círculo único. Os dois pontos separam o grande círculo em dois arcos. O comprimento do arco mais curto é a distância do grande círculo entre os pontos. Um grande círculo dotado de tal distância é chamado de círculo Riemanniano na geometria Riemanniana .

Entre os pontos antípodais, existem infinitos círculos grandes, e todos os arcos de grande círculo entre os pontos antípodais têm um comprimento de metade da circunferência do círculo, ou , onde r é o raio da esfera. ${\ displaystyle \ pi r}$

A Terra é quase esférica , então as fórmulas de distância do grande círculo fornecem a distância entre pontos na superfície da Terra correta em cerca de 0,5% .

O vértice é o ponto de latitude mais alta em um grande círculo.

Fórmulas

Uma ilustração do ângulo central, Δσ, entre dois pontos, P e Q. λ e φ são os ângulos longitudinais e latitudinais de P, respectivamente

Sejam e sejam a longitude e latitude geográfica em radianos de dois pontos 1 e 2, e sejam suas diferenças absolutas; então , o ângulo central entre eles, é dado pela lei esférica dos cossenos se um dos pólos for usado como um terceiro ponto auxiliar na esfera: ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ phi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}, \ phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ lambda, \ Delta \ phi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ sigma}$

{\ displaystyle \ Delta \ sigma = \ arccos {\ bigl (} \ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda) {\ bigr)}.}

O problema é normalmente expresso em termos de encontrar o ângulo central . Dado este ângulo em radianos, o comprimento real do arco d em uma esfera de raio r pode ser calculado trivialmente como ${\ displaystyle \ Delta \ sigma}$

{\ displaystyle d = r \, \ Delta \ sigma.}

Fórmulas computacionais

Em sistemas de computador com baixa precisão de ponto flutuante , a fórmula da lei esférica dos cossenos pode ter grandes erros de arredondamento se a distância for pequena (se os dois pontos estiverem separados por um quilômetro na superfície da Terra, o cosseno do ângulo central é próximo a 0,99999999 ) Para os números modernos de ponto flutuante de 64 bits , a fórmula da lei esférica dos cossenos, fornecida acima, não apresenta erros de arredondamento sérios para distâncias maiores do que alguns metros na superfície da Terra. A fórmula Haversine é numericamente melhor condicionada para pequenas distâncias:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Delta \ sigma & = \ operatorname {archav} \ left (\ operatorname {hav} \ left (\ Delta \ phi \ right) + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ operatorname {hav} \ left (\ Delta \ lambda \ right) \ right) \\ [3pt] & = 2 \ arcsin {\ sqrt {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac { \ Delta \ phi} {2}} \ right) + \ cos {\ phi _ {1}} \ cos {\ phi _ {2}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Delta \ lambda } {2}} \ right)}}. \ End {alinhado}}}

Historicamente, o uso desta fórmula foi simplificado pela disponibilidade de tabelas para a função haversine : hav ( θ ) = sin ² ( θ / 2).

Embora esta fórmula seja precisa para a maioria das distâncias em uma esfera, ela também sofre de erros de arredondamento para o caso especial (e um tanto incomum) de pontos antípodas. Uma fórmula que é precisa para todas as distâncias é o seguinte caso especial da fórmula de Vincenty para um elipsóide com eixos maiores e menores iguais:

{\ displaystyle \ Delta \ sigma = \ arctan {\ frac {\ sqrt {\ left (\ cos \ phi _ {2} \ sin (\ Delta \ lambda) \ right) ^ {2} + \ left (\ cos \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda) \ right) ^ {2}}} {\ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda)}}.}

Versão vetorial

Uma outra representação de fórmulas semelhantes, mas utilizando vectores normais em vez de latitude e longitude para descrever as posições, é encontrada por meio de 3D álgebra vetor , utilizando o produto escalar , produto cruzado , ou uma combinação de:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Delta \ sigma & = \ arccos \ left (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2} \ right) \\ & = \ arcsin \ esquerda | \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2} \ right | \\ & = \ arctan {\ frac {\ left | \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2} \ right |} {\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}}} \\\ end {alinhado}}}

onde e são os normais para o elipsóide nas duas posições 1 e 2. Similarmente às equações acima baseadas em latitude e longitude, a expressão baseada em arctan é a única que está bem condicionada para todos os ângulos . A expressão baseada em arctan requer a magnitude do produto vetorial sobre o produto escalar. ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {2}}$

Da duração do acorde

Uma linha através do espaço tridimensional entre pontos de interesse em uma Terra esférica é a corda do grande círculo entre os pontos. O ângulo central entre os dois pontos pode ser determinado a partir do comprimento da corda. A distância do grande círculo é proporcional ao ângulo central.

O comprimento da corda do grande círculo,, pode ser calculado da seguinte forma para a esfera unitária correspondente, por meio da subtração cartesiana : ${\ displaystyle C_ {h} \, \!}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Delta {X} & = \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {2} - \ cos \ phi _ {1} \ cos \ lambda _ {1}; \\\ Delta {Y} & = \ cos \ phi _ {2} \ sin \ lambda _ {2} - \ cos \ phi _ {1} \ sin \ lambda _ {1}; \\\ Delta {Z} & = \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1}; \\ C & = {\ sqrt {(\ Delta {X}) ^ {2} + (\ Delta {Y}) ^ {2 } + (\ Delta {Z}) ^ {2}}} \ end {alinhado}}}

O ângulo central é:

{\ displaystyle \ Delta \ sigma = 2 \ arcsin {\ frac {C} {2}}.}

Raio para a Terra esférica

Raios equatorial ( a ), polar ( b ) e médio da Terra, conforme definido na revisão do Sistema Geodésico Mundial de 1984 . ( Sem escala .)

A forma da Terra se assemelha a uma esfera achatada (um esferóide ) com raio equatorial de 6.378.137 km; distância do centro do esferóide a cada pólo é 6356,7523142 km. Ao calcular o comprimento de uma linha curta norte-sul no equador, o círculo que melhor se aproxima dessa linha tem um raio de (que é igual ao reto semi-latus do meridiano ), ou 6335,439 km, enquanto o esferóide nos pólos é mais aproximado por uma esfera de raio , ou 6.399.594 km, uma diferença de 1%. Contanto que uma Terra esférica seja assumida, qualquer fórmula única para distância na Terra só é garantida como correta dentro de 0,5% (embora uma melhor precisão seja possível se a fórmula se destinar a ser aplicada apenas a uma área limitada). Usando o raio médio da terra , (para o elipsóide WGS84 ) significa que no limite de pequeno achatamento, o erro relativo médio quadrático nas estimativas para distância é minimizado. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ textstyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a ^ {2}} {b}}}$ ${\ textstyle R_ {1} = {\ frac {1} {3}} (2a + b) \ approx 6371,009 {\ text {km}}}$