Grande círculo -Great circle

Um grande círculo divide a esfera em dois hemisférios iguais.

Em matemática , um grande círculo ou ortódromo é a interseção circular de uma esfera e um plano que passa pelo ponto central da esfera .

Qualquer arco de um grande círculo é uma geodésica da esfera, de modo que grandes círculos na geometria esférica são o análogo natural de linhas retas no espaço euclidiano . Para qualquer par de pontos não antipodais distintos na esfera, existe um único círculo maior passando por ambos. (Todo grande círculo através de qualquer ponto também passa por seu ponto antipodal, então há infinitos grandes círculos através de dois pontos antipodais.) O menor dos dois arcos de grande círculo entre dois pontos distintos na esfera é chamado de arco menor , e é o caminho de superfície mais curto entre eles. Seu comprimento de arco é a distância do grande círculo entre os pontos (a distância intrínseca em uma esfera) e é proporcional à medida do ângulo central formado pelos dois pontos e o centro da esfera.

Um grande círculo é o maior círculo que pode ser desenhado em qualquer esfera. Qualquer diâmetro de qualquer grande círculo coincide com um diâmetro da esfera e, portanto, todo grande círculo é concêntrico com a esfera e compartilha o mesmo raio . Qualquer outro círculo da esfera é chamado de círculo pequeno e é a interseção da esfera com um plano que não passa pelo seu centro. Pequenos círculos são o análogo de geometria esférica de círculos no espaço euclidiano.

Todo círculo no espaço tridimensional euclidiano é um grande círculo de exatamente uma esfera.

O disco limitado por um grande círculo é chamado de grande disco : é a interseção de uma bola e um plano que passa pelo seu centro. Em dimensões superiores, os grandes círculos na n - esfera são a intersecção da n -esfera com 2-planos que passam pela origem no espaço euclidiano R n + 1 .

Derivação de caminhos mais curtos

Para provar que o arco menor de um grande círculo é o caminho mais curto que liga dois pontos na superfície de uma esfera, pode-se aplicar o cálculo de variações a ele.

Considere a classe de todos os caminhos regulares de um ponto a outro ponto . Introduzir coordenadas esféricas de modo que coincida com o pólo norte. Qualquer curva na esfera que não intercepte nenhum dos pólos, exceto possivelmente nas extremidades, pode ser parametrizada por

desde que permitamos assumir valores reais arbitrários. O comprimento do arco infinitesimal nessas coordenadas é

Assim, o comprimento de uma curva de a é um funcional da curva dada por

De acordo com a equação de Euler-Lagrange , é minimizado se e somente se

,

onde é uma constante independente, e

Da primeira equação dessas duas, pode-se obter que

.

Integrando ambos os lados e considerando a condição de contorno, a solução real de é zero. Assim, e pode ser qualquer valor entre 0 e , indicando que a curva deve estar em um meridiano da esfera. Em coordenadas cartesianas, isso é

que é um plano passando pela origem, ou seja, o centro da esfera.

Formulários

Alguns exemplos de grandes círculos na esfera celeste incluem o horizonte celeste , o equador celeste e a eclíptica . Grandes círculos também são usados ​​como aproximações bastante precisas de geodésicas na superfície da Terra para navegação aérea ou marítima (embora não seja uma esfera perfeita ), bem como em corpos celestes esferoidais .

O equador da terra idealizada é um grande círculo e qualquer meridiano e seu meridiano oposto formam um grande círculo. Outro grande círculo é aquele que divide os hemisférios terrestre e aquático . Um grande círculo divide a terra em dois hemisférios e se um grande círculo passa por um ponto, deve passar por seu ponto antipodal .

A transformação Funk integra uma função ao longo de todos os grandes círculos da esfera.

Veja também

Referências

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