Convergência Gromov-Hausdorff - Gromov–Hausdorff convergence
Em matemática , a convergência de Gromov-Hausdorff , nomeada em homenagem a Mikhail Gromov e Felix Hausdorff , é uma noção de convergência de espaços métricos que é uma generalização da convergência de Hausdorff .
Distância Gromov – Hausdorff
A distância Gromov-Hausdorff foi introduzida por David Edwards em 1975, e mais tarde foi redescoberta e generalizada por Mikhail Gromov em 1981. Esta distância mede o quão longe dois espaços métricos compactos estão de serem isométricos . Se X e Y são dois espaços métricos compactos, então d GH ( X , Y ) é definido como o ínfimo de todos os números d H ( f ( X ), g ( Y )) para todos os espaços métricos M e todos os encaixes isométricos f : X → M e g : Y → M . Aqui d H denota a distância de Hausdorff entre subconjuntos em M e a incorporação isométrica é entendida no sentido global, isto é, deve preservar todas as distâncias, não apenas as infinitesimalmente pequenas; por exemplo, nenhuma variedade Riemanniana compacta admite tal incorporação no espaço euclidiano da mesma dimensão.
A distância de Gromov-Hausdorff transforma o conjunto de todas as classes de isometria de espaços métricos compactos em um espaço métrico, denominado espaço de Gromov-Hausdorff e, portanto, define uma noção de convergência para sequências de espaços métricos compactos, denominada convergência de Gromov-Hausdorff. Um espaço métrico para o qual tal sequência converge é chamado de limite de Gromov-Hausdorff da sequência.
Algumas propriedades do espaço Gromov-Hausdorff
O espaço Gromov-Hausdorff é conectado por caminhos , completo e separável . Também é geodésico , ou seja, quaisquer dois de seus pontos são os pontos finais de uma geodésica de minimização . No sentido global, o espaço de Gromov-Hausdorff é totalmente heterogêneo, ou seja, seu grupo de isometria é trivial, mas localmente existem muitas isometrias não triviais.
Convergência de Gromov-Hausdorff pontiaguda
A convergência pontiaguda de Gromov-Hausdorff é um análogo da convergência de Gromov-Hausdorff apropriada para espaços não compactos. Um espaço métrica pontas é um par ( X , p ) que consiste de uma métrica espaço X e o ponto p em X . Uma sequência ( X n , p n ) de espaços métricos pontiagudos converge para um espaço métrico pontudo ( Y , p ) se, para cada R > 0, a sequência de bolas R fechadas em torno de p n em X n converge para o R fechado -ball em torno de p em Y no sentido usual de Gromov-Hausdorff.
Formulários
A noção de convergência de Gromov-Hausdorff foi usada por Gromov para provar que qualquer grupo discreto com crescimento polinomial é virtualmente nilpotente (isto é, contém um subgrupo nilpotente de índice finito ). Veja o teorema de Gromov sobre grupos de crescimento polinomial . (Veja também D. Edwards para um trabalho anterior.) O ingrediente chave na prova foi a observação de que, para o gráfico de Cayley de um grupo com crescimento polinomial, uma sequência de reescalonamentos converge no sentido pontiagudo de Gromov-Hausdorff.
Outro resultado simples e muito útil na geometria Riemannianos é teorema de compacidade de Gromov , o que indica que o conjunto de colectores riemannianos com Ricci curvatura ≥ c e diâmetro ≤ D é relativamente compacto no Gromov-Hausdorff métrica. Os espaços limite são espaços métricos. Propriedades adicionais nos espaços de comprimento foram comprovadas por Cheeger e Colding .
A métrica de distância Gromov-Hausdorff tem sido aplicada no campo da computação gráfica e geometria computacional para encontrar correspondências entre diferentes formas.
A distância Gromov – Hausdorff foi usada por Sormani para provar a estabilidade do modelo de Friedmann em Cosmologia. Este modelo de cosmologia não é estável com respeito a variações suaves da métrica.
Em um caso especial, o conceito de limites de Gromov-Hausdorff está intimamente relacionado à teoria de grandes desvios .
A métrica de distância Gromov-Hausdorff tem sido usada na neurociência para comparar redes cerebrais.
Referências
- ^ David A. Edwards, "The Structure of Superspace", em "Studies in Topology", Academic Press, 1975, pdf
- ^ A. Tuzhilin, "Who Invented the Gromov – Hausdorff Distance? (2016)", arXiv : 1612.00728
- ^ M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", editado por Lafontaine e Pierre Pansu , 1981.
- ^ M. Gromov, grupos de crescimento polinomial e mapas de expansão, mathematiques das publicações IHÉ.S. , 53, 1981
- ^ D.Burago, Yu.Burago, S.Ivanov, um curso em geometria métrica , AMS GSM 33, 2001.
- ^ A.Ivanov, N.Nikolaeva, A.Tuzhilin (2015), The Gromov – Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv : 1504.03830 . Para a construção explícita das geodésicas, consulte Chowdhury, S., & Mémoli, F. (2016). "Construindo Geodésicas no Espaço de Espaços Métricos Compactos." ArXiv : 1603.02385 .
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- ^ André Bellaïche (1996), "O espaço tangente na geometria sub-Riemanniana", in André Bellaïche; Jean-Jacques Risler (eds.), Geometria Sub-Riemanniana , Progress in Mathematics, 144 , Birkhauser, p. 56
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- M. Gromov. Estruturas métricas para espaços Riemannianos e não Riemannianos , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (tradução com conteúdo adicional).