Expressão fundamental - Ground expression
Na lógica matemática , um termo básico de um sistema formal é um termo que não contém nenhuma variável . Da mesma forma, uma fórmula básica é uma fórmula que não contém nenhuma variável.
Na lógica de primeira ordem com a identidade , a frase Q ( um ) ∨ P ( b ) é uma fórmula de solo, com uma e b sendo símbolos constantes. Uma expressão básica é um termo básico ou fórmula básica.
Exemplos
Considere as seguintes expressões na lógica de primeira ordem sobre uma assinatura contendo um símbolo constante 0 para o número 0, um símbolo de função unária s para a função sucessora e um símbolo de função binária + para adição.
- s (0), s ( s (0)), s ( s ( s (0))), ... são termos básicos,
- 0 + 1, 0 + 1 + 1, ... são termos básicos,
- x + s (1) e s ( x ) são termos, mas não termos básicos,
- s (0) = 1 e 0 + 0 = 0 são fórmulas básicas,
Definição formal
O que se segue é uma definição formal para linguagens de primeira ordem . Seja dada uma linguagem de primeira ordem, com C o conjunto de símbolos constantes, V o conjunto de variáveis (individuais), F o conjunto de operadores funcionais e P o conjunto de símbolos predicados .
Termos do solo
Os termos básicos são termos que não contêm variáveis. Eles podem ser definidos por recursão lógica (fórmula-recursão):
- Elementos de C são termos básicos;
- Se f ∈ F é um símbolo de função n -ary e α 1 , α 2 , ..., α n são termos básicos , então f (α 1 , α 2 , ..., α n ) é um termo básico.
- Cada termo básico pode ser dado por uma aplicação finita das duas regras acima (não há outros termos básicos; em particular, predicados não podem ser termos básicos).
Grosso modo, o universo Herbrand é o conjunto de todos os termos básicos.
Átomo fundamental
Um predicado fundamental , átomo fundamental ou literal fundamental é uma fórmula atômica cujos termos de argumento são termos básicos.
Se p ∈ P é um símbolo de predicado n -ary e α 1 , α 2 , ..., α n são termos básicos , então p (α 1 , α 2 , ..., α n ) é um predicado básico ou básico átomo.
Grosso modo, a base de Herbrand é o conjunto de todos os átomos do solo, enquanto uma interpretação de Herbrand atribui um valor de verdade a cada átomo do solo na base.
Fórmula básica
Uma fórmula básica ou cláusula fundamental é uma fórmula sem variáveis.
As fórmulas com variáveis livres podem ser definidas por recursão sintática da seguinte forma:
- As variáveis livres de um átomo não fundado são todas as variáveis que ocorrem nele.
- As variáveis livres de ¬ p são as mesmas de p . As variáveis livres de p ∨ q , p ∧ q , p → q são aquelas variáveis livres de p ou variáveis livres de q .
- As variáveis livres de ∀ x p e ∃ x p são as variáveis livres de p exceto x .
Referências
- Dalal, M. (2000), "Logic-based computer programming paradigms", em Rosen, KH; Michaels, JG (eds.), Handbook of discrete and combinatorial mathematics , p. 68
- Hodges, Wilfrid (1997), A Short Model theory , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
- Lógica de primeira ordem: sintaxe e semântica