Ação de grupo - Group action

O grupo cíclico C 3 constituído pelas rotações de 0 °, 120 ° e 240 ° atua sobre o conjunto dos três vértices.

Em matemática , uma ação de grupo em um espaço é um homomorfismo de grupo de um determinado grupo no grupo de transformações do espaço. Da mesma forma, uma ação de grupo em uma estrutura matemática é um homomorfismo de grupo de um grupo no grupo de automorfismo da estrutura. Diz-se que o grupo atua no espaço ou estrutura. Se um grupo atua em uma estrutura, geralmente também atuará em objetos construídos a partir dessa estrutura. Por exemplo, o grupo de isometrias euclidianas atua no espaço euclidiano e também nas figuras nele desenhadas. Em particular, ele atua no conjunto de todos os triângulos . Da mesma forma, o grupo de simetrias de um poliedro atua nos vértices , nas arestas e nas faces do poliedro.

Uma ação de grupo em um espaço vetorial (de dimensão finita) é chamada de representação do grupo. Ele permite identificar muitos grupos com subgrupos de GL ( n , K ) , o grupo das matrizes inversíveis de dimensão n mais de um campo K .

O grupo simétrico S n atua em qualquer conjunto com n elementos permutando os elementos do conjunto. Embora o grupo de todas as permutações de um conjunto dependa formalmente do conjunto, o conceito de ação de grupo permite considerar um único grupo para estudar as permutações de todos os conjuntos com a mesma cardinalidade .

Definição

Esquerda ação do grupo

Se G é um grupo com elemento de identidade e , e X é um conjunto, então uma ação de grupo ( esquerda ) α de G em X é uma função

que satisfaça os dois axiomas a seguir:

Identidade:
Compatibilidade:

(com α ( g , x ) frequentemente abreviado para gx ou gx quando a ação considerada é clara no contexto):

Identidade:
Compatibilidade:

para todos g e h em L e todos X em X .

Diz-se que o grupo G atua em X (da esquerda). Um conjunto X junto com uma ação de G é chamado de G - conjunto ( esquerdo ) .

Destes dois axiomas, segue-se que para qualquer g fixo em G , a função de X para si mesma que mapeia x para gx é uma bijeção, com bijeção inversa o mapa correspondente para g −1 . Portanto, pode-se definir equivalentemente uma ação de grupo de G em X como um homomorfismo de grupo de G no grupo simétrico Sym ( X ) de todas as bijeções de X para si mesmo.

Ação de grupo certa

Da mesma forma, uma ação de grupo certa de G em X é uma função

(com α ( x , g ) muitas vezes encurtado para xg ou xg quando a ação sendo considerada é clara no contexto)

que satisfaça os axiomas análogos:

Identidade:
Compatibilidade:

para todos g e h em L e todos X em X .

A diferença entre as ações à esquerda e à direita está na ordem em que um produto gh atua em x . Para uma ação à esquerda, h atua primeiro, seguido por g segundo. Para uma ação correta, g atua primeiro, seguido por h segundo. Por causa da fórmula ( gh ) −1 = h −1 g −1 , uma ação à esquerda pode ser construída a partir de uma ação à direita compondo com a operação inversa do grupo. Além disso, a ação correta de um grupo G em X pode ser considerado como uma ação esquerda de seu grupo oposto G op em X .

Assim, para estabelecer propriedades gerais de ações de grupo, basta considerar apenas as ações de esquerda. No entanto, há casos em que isso não é possível. Por exemplo, a multiplicação de um grupo induz uma ação à esquerda e uma ação à direita no próprio grupo - multiplicação à esquerda e à direita, respectivamente.

Tipos de ações

A ação de G em X é chamada de:

  • Transitivo seXnãoévazioe se para cada parx,yemXexiste umgemGtal que g x = y . Por exemplo, a ação do grupo simétrico deXé transitiva, a ação dogrupo linear geralou dogrupo linear especialde um espaço vetorialVem V ∖ {0}é transitiva, mas a ação dogrupo ortogonalde um euclidiano o espaçoEnão é transitivo em E ∖ {0}(embora seja transitivo naesfera unitáriadeE).
  • Fiel (oueficaz ) se para cada doisgdistintos,hemGexiste umxemXtal que g x h x ; ou equivalentemente, se para cada g e emGexiste umxemXtal que g x x . Em outras palavras, numa acção grupo fiel, diferentes elementos deLinduzir permutações diferentes deX. Em termos algébricos, um grupoGatua fielmente emXse e somente se o homomorfismo correspondente ao grupo simétrico, G → Sym ( X ), tem umkerneltrivial. Assim, para uma ação fiel,G incorpora-sea umgrupo de permutaçãoemX; especificamente,Gé isomórfico à sua imagem em Sym (X). SeGnão agir fielmente emX, podemos facilmente modificar o grupo para obter uma ação fiel. Se definirmos N = { g em G  : g x = x para todo x em X }, entãoNé umsubgrupo normaldeG; na verdade, é o núcleo do homomorfismo G → Sym ( X ). Ogrupo de fatores G/Natua fielmente emXdefinindo( gN ) ⋅ x = g x . A ação original deGsobreXé fiel se e somente se N = { e }. O menor conjunto no qual uma ação fiel pode ser definida pode variar muito para grupos do mesmo tamanho. Por exemplo:
    • Três grupos de tamanho 120 são o grupo simétrico S 5 , o grupo icosaédrico e o grupo cíclico . Os menores conjuntos nos quais as ações fiéis podem ser definidas são de tamanho 5, 12 e 16, respectivamente.
    • Os grupos abelianos de tamanho 2 n incluem um grupo cíclico , bem como (o produto direto de n cópias de ), mas o último age fielmente em um conjunto de tamanho 2 n , enquanto o primeiro não pode agir fielmente em um conjunto menor que ele mesmo.
  • Livre (ousemirregularoulivre de ponto fixo) se, dadog,hemG, a existência de umxemXcom g x = h x implica g = h . Equivalentemente: segé um elemento de grupo e existe umxemXcom g x = x (isto é, segtem pelo menos um ponto fixo), entãogé a identidade. Observe que uma ação livre em um conjunto não vazio é fiel.
  • Regular (ousimplesmente transitivo ouagudamente transitivo) se for transitivo e livre; isso é equivalente a dizer que para cada doisx,yemXexiste precisamente umgemGtal que g x = y . Nesse caso,Xé chamado deespaço homogêneo principalparaGouG-toror. A ação de qualquer grupoGsobre si mesmo pela multiplicação à esquerda é regular e, portanto, também fiel. Cada grupo pode, portanto, ser incorporado no grupo simétrico em seus próprios elementos, Sym (G). Este resultado é conhecido comoteorema de Cayley.
  • n -transitivo se X tem pelo menos n elementos, e para todos distintos x 1 , ..., x n e todos distintos y 1 , ..., y n , há um g em G tal que gx k = y k para 1 ≤ kn . Uma ação 2-transitiva também é chamadaduplamente transitiva , uma ação 3-transitiva também é chamada detriplamente transitivae assim por diante. Tais ações definem classes interessantes de subgrupos nos grupos simétricos: grupos2-transitivose, mais geralmente,grupos multiplicadores transitivos. A ação do grupo simétrico em um conjunto comnelementos é sempren-transitiva; a ação dogrupo alternadoé (n - 2) -transitiva.
  • Acentuadamente n -transitive se há exatamente um talg.
  • Primitivo se é transitória e preserva a partição não trivial deX. Vejagrupo de permutação primitivapara detalhes.
  • Localmente livre se G for um grupo topológico , e houver uma vizinhança U de e em G tal que a restrição da ação a U é livre; isto é, se gx = x para algum xe algum g em U, então g = e .

Além disso, se G atua em um espaço topológico X , a ação é:

  • Vagando se todo ponto x em X tem uma vizinhança U tal queé finita. Por exemplo, a ação deonpor traduções é errante. A ação do grupo modular no semiplano de Poincaré também é errante.
  • Adequadamente descontínuo se X é um espaço localmente compacto e para cada subconjunto compacto K  ⊂  X o conjunto é finito. As ações errantes fornecidas acima também são adequadamente descontínuas. Por outro lado, a ação de on dado por é errante e livre, mas não propriamente descontínua.
  • Adequado seGé um grupo topológico e o mapa deéadequado. SeGfordiscreto, a adequação é equivalente à descontinuidade adequada para asações-G.
  • Diz-se que órbitas discretas se a órbita de cada X em X sob a acção de L é discreto em X .
  • Uma ação de espaço de cobertura se todo ponto x em X tiver uma vizinhança U tal que .

Se X é um módulo diferente de zero sobre um anel R e a ação de G é R- linear, então é dito que é

  • Irredutível se não houver um submódulo invariante adequado diferente de zero.

Órbitas e estabilizadores

No composto de cinco tetraedros , o grupo de simetria é o grupo icosaédrico (rotacional) I de ordem 60, enquanto o estabilizador de um único tetraedro escolhido é o grupo tetraédrico (rotacional) T de ordem 12 e o espaço orbital I / T ( da ordem 60/12 = 5) é naturalmente identificado com o tetraedro 5 - o coset gT corresponde ao tetraedro para o qual g envia o tetraedro escolhido.

Considere um grupo G agindo sobre um conjunto X . A órbita de um elemento x em X é o conjunto de elementos em X para que x pode ser movidas por os elementos de L . A órbita de x é denotada por Gx :

As propriedades que definem um grupo de garantia de que o conjunto de órbitas de pontos ( x em) X sob a acção de G formar uma partição de X . A relação de equivalência associada é definida dizendo xy se e somente se existe um g em G com gx = y . As órbitas são então as classes de equivalência sob esta relação; dois elementos de x e y são equivalentes se e somente se as suas órbitas são os mesmos, isto é, Lx = Ly .

A acção grupo é transitória , se e apenas se tem exactamente uma órbita, ou seja, se existe X em X com LX = X . Este é o caso se e somente se Gx = X para todo x em X (dado que X não é vazio).

O conjunto de todas as órbitas de X sob a ação de G é escrito como X / G (ou, menos freqüentemente: G \ X ), e é chamado de quociente da ação. Em situações geométricas, pode ser chamado deespaço orbital , enquanto em situações algébricas pode ser chamado de espaço deco-variantes , e escritoX G , em contraste com os invariantes (pontos fixos), denotadoX G : as variantes da moeda são umquocienteenquanto os invariantes são umsubconjunto. A terminologia e notação coinvariant são usadas particularmente emcohomologia degrupoehomologia de grupo, que usam a mesma convenção sobrescrito / subscrito.

Subconjuntos invariantes

Se Y é um subconjunto de X , escreve-se GY para o conjunto { gy  : yY e gG } . Diz-se que o subconjunto Y é invariante sob G se GY = Y (que é equivalente a GYY ). Nesse caso, G também opera em Y , restringindo a ação para Y . O subconjunto Y é chamado fixo em G se gy = y para todas g em L e todos Y em Y . Cada subconjunto que é fixado em G também é invariante em G , mas não o contrário.

Cada órbita é um subconjunto invariante de X no qual G atua transitivamente . Por outro lado, qualquer subconjunto invariante de X é uma união de órbitas. A ação de G em X é transitiva se e somente se todos os elementos são equivalentes, o que significa que há apenas uma órbita.

A L-invariante elemento de X é XX tal que gx = x para todos gL . O conjunto de todos tais x é denotado X G e os chamados G-invariantes de X . Quando X é um módulo G , X G é o grupo de cohomologia zero de G com coeficientes em X , e os grupos de cohomologia superiores são os functores derivados do functor de G- variantes.

Pontos fixos e subgrupos de estabilizadores

Dado g em L e X em X com gx = x , se diz que " x é um ponto fixo de g " ou que " g correções x ". Para cada x em X , o subgrupo estabilizador de G em relação ax (também chamado de grupo de isotropia ou pequeno grupo ) é o conjunto de todos os elementos em G que fixam x :

Este é um subgrupo de G , embora normalmente não seja normal. A ação de G sobre X é livre se e somente se todos os estabilizadores forem triviais. O núcleo N do homomorphism com o grupo simétrico, L → Sym ( X ) , é dada pela intersecção dos estabilizadores L x para todos os x em X . Se N for trivial, a ação é considerada fiel (ou eficaz).

Deixe que x e y ser de dois elementos em X , e deixar g ser um elemento do grupo de tal modo que y = gx . Então, os dois grupos de estabilizadores G x e G y são relacionados por G y = g G x g −1 . Prova: por definição, hG y se e somente se h ⋅ ( gx ) = gx . Aplicar g −1 a ambos os lados dessa igualdade resulta em ( g −1 hg ) ⋅ x = x ; isto é, g −1 hgG x . Uma inclusão oposta segue similarmente tomando hG x e supondo x = g −1y .

O acima diz que os estabilizadores de elementos na mesma órbita são conjugados entre si. Assim, a cada órbita, podemos associar uma classe de conjugação de um subgrupo de G (ou seja, o conjunto de todos os conjugados do subgrupo). Vamos denotar a classe de conjugação de H . Então a órbita O tem tipo se o estabilizador de algum / qualquer x em O pertencer . Um tipo de órbita máxima é freqüentemente chamado de tipo de órbita principal .

Teorema do estabilizador de órbita e lema de Burnside

Órbitas e estabilizadores estão intimamente relacionados. Para um x fixo em X , considere a aplicação f : GX dada por gg · x . Por definição, a imagem f ( G ) deste mapa é a órbita G · x . A condição para que dois elementos tenham a mesma imagem é

.

Em outras palavras, se e somente se e estiver no mesmo coset para o subgrupo do estabilizador . Assim, a fibra de f sobre qualquer y em G · x está contida em tal coset, e cada coset também ocorre como uma fibra. Portanto f define uma bijeção entre o conjunto de cosets para o subgrupo do estabilizador e a órbita G · x , que envia . Este resultado é conhecido como teorema do estabilizador de órbita .

Se G é finito, então o teorema do estabilizador de órbita, juntamente com o teorema de Lagrange , dá

em outras palavras, o comprimento da órbita x vezes a ordem de seu estabilizador é a ordem do grupo. Em particular, isso implica que o comprimento da órbita é um divisor da ordem do grupo.

Exemplo: Seja G um grupo de ordem primo p atuando sobre um conjunto X com k elementos. Uma vez que cada órbita tem 1 ou p elementos, existem pelo menos órbitas de comprimento 1 que são elementos G -invariantes.

Esse resultado é especialmente útil, pois pode ser empregado para contar argumentos (normalmente em situações em que X também é finito).

Gráfico cúbico com vértices rotulados
Exemplo: podemos usar o teorema do estabilizador de órbita para contar os automorfismos de um gráfico . Considere o gráfico cúbico conforme ilustrado e deixe G denotar seu grupo de automorfismo . Então G atua sobre o conjunto de vértices {1, 2, ..., 8}, e esta ação é transitiva como pode ser visto compondo rotações em torno do centro do cubo. Assim, pelo teorema do estabilizador de órbita ,. Aplicando o teorema agora ao estabilizador G 1 , podemos obter . Qualquer elemento de G que fixa 1 deve enviar 2 para 2, 4 ou 5. Como um exemplo de tais automorfismos, considere a rotação em torno do eixo diagonal por 1 e 7 pela qual permuta 2,4,5 e 3,6,8 , e corrige 1 e 7. Assim ,. Aplicando o teorema uma terceira vez, dá . Qualquer elemento de G que fixa 1 e 2 deve enviar 3 para 3 ou 6. Refletir o cubo no plano através de 1,2,7 e 8 é um automorfismo enviando 3 para 6, portanto . Vê-se também que consiste apenas no automorfismo de identidade, pois qualquer elemento de G fixando 1, 2 e 3 deve também fixar todos os outros vértices, uma vez que são determinados por sua adjacência a 1, 2 e 3. Combinando os cálculos anteriores, podemos agora obtenha .

Um resultado intimamente relacionado ao teorema do estabilizador de órbita é o lema de Burnside :

onde X g é o conjunto de pontos fixados por g . Este resultado é útil principalmente quando G e X são finitos, quando pode ser interpretado da seguinte maneira: o número de órbitas é igual ao número médio de pontos fixados por elemento do grupo.

Fixando um grupo G , o conjunto de diferenças formais de conjuntos G finitos forma um anel denominado anel de Burnside de G , onde a adição corresponde à união disjunta e a multiplicação ao produto cartesiano .

Exemplos

  • o a ação trivial de qualquer grupoGem qualquer conjuntoXé definida por g x = x para todogemGe todoxemX; isto é, cada elemento grupo induz apermutação de identidadeemX.
  • Em cada grupo G , multiplicação esquerda é uma acção de L em L : gx = gx para todos g , x em L . Esta ação é gratuito e transitivo (regular), e constitui a base de uma prova rápida do teorema de Cayley - que cada grupo é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico de permutações do conjunto G .
  • Em cada grupo G com subgrupo H , multiplicação esquerda é uma acção de G no conjunto de classes laterais G / H : gaH = GAH para todos g , um em L . Em particular, se H não contém subgrupos normais não triviais de G, isso induz um isomorfismo de G para um subgrupo do grupo de permutação de grau [G: H] .
  • Em todo grupo G , a conjugação é uma ação de G sobre G : gx = gxg −1 . Uma notação exponencial é comumente usada para a variante de ação certa: x g = g −1 xg ; satisfaz ( x g ) h = x gh .
  • Em cada grupo G com subgrupo H , a conjugação é uma acção de G em conjugados de H : gK = GKG -1 para todos g em G e K conjugados de H .
  • O grupo simétrico S n e seus subgrupos atuam no conjunto {1, ..., n } permutando seus elementos
  • O grupo de simetria de um poliedro atua sobre o conjunto de vértices desse poliedro. Também atua no conjunto de faces ou no conjunto de arestas do poliedro.
  • O grupo de simetria de qualquer objeto geométrico atua no conjunto de pontos desse objeto.
  • O grupo de automorfismo de um espaço vetorial (ou gráfico , ou grupo, ou anel ...) atua no espaço vetorial (ou conjunto de vértices do gráfico, ou grupo, ou anel ...).
  • O grupo linear geral GL ( n , K ) e seus subgrupos, particularmente seus subgrupos de Lie (incluindo o grupo linear especial SL ( n , K ) , grupo ortogonal O ( n , K ) , grupo ortogonal especial SO ( n , K ) , e grupo simplético Sp ( n , K ) ) são grupos de Lie que atuam no espaço vetorial K n . As operações de grupo são dadas multiplicando as matrizes dos grupos com os vetores de K n .
  • O grupo linear geral GL ( n , Z ) atua sobre Z n por ação da matriz natural. As órbitas de sua ação são classificadas pelo máximo divisor comum de coordenadas do vetor em Z n .
  • O grupo afim atua transitivamente nos pontos de um espaço afim , e o subgrupo V do grupo afim (isto é, um espaço vetorial) tem ação transitiva e livre (ou seja, regular ) nesses pontos; na verdade, isso pode ser usado para dar uma definição de um espaço afim .
  • O grupo linear projetivo PGL ( n + 1, K ) e seus subgrupos, particularmente seus subgrupos de Lie, que são grupos de Lie que atuam no espaço projetivo P n ( K ). Este é um quociente da ação do grupo linear geral no espaço projetivo. Particularmente notável é PGL (2, K ) , as simetrias da linha projetiva, que é nitidamente 3-transitiva, preservando a razão cruzada ; o grupo Möbius PGL (2, C ) é de particular interesse.
  • As isometrias do plano atuam no conjunto de imagens e padrões 2D, como os padrões de papel de parede . A definição pode ser mais precisa especificando o que se entende por imagem ou padrão, por exemplo, uma função de posição com valores em um conjunto de cores. As isometrias são, na verdade, um exemplo de grupo afim (ação).
  • Os conjuntos atuados por um grupo G compreendem a categoria de conjuntos G em que os objetos são conjuntos G e os morfismos são homomorfismos de conjuntos G : funções f  : XY tais que g ⋅ ( f ( x )) = f ( gx ) para cada g em L .
  • O grupo de Galois de uma extensão de campo L / K atua no campo L, mas tem apenas uma ação trivial sobre os elementos do subcampo K. Os subgrupos de Gal (L / K) correspondem aos subcampos de L que contêm K, ou seja, campo intermediário extensões entre L e K.
  • O grupo aditivo dos números reais ( R , +) atua no espaço de fase de sistemas " bem comportados " na mecânica clássica (e em sistemas dinâmicos mais gerais ) por tradução no tempo : se t está em R e x está na fase espaço, então x descreve um estado do sistema e t + x é definido como o estado do sistema t segundos depois se t for positivo ou - t segundos atrás se t for negativo.
  • O grupo aditivo dos números reais ( R , +) atua sobre o conjunto de funções reais de uma variável real de várias maneiras, com ( tf ) ( x ) igual a, por exemplo, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe t ) , f ( x ) e t , f ( x + t ) e t , ou f ( xe t ) + t , mas não f ( xe t + t ) .
  • Dada uma ação de grupo de G em X , podemos definir uma ação induzida de G no conjunto de potência de X , definindo gU = { gu  : uU } para todo subconjunto U de X e todo g em G . Isso é útil, por exemplo, no estudo da ação do grande grupo Mathieu em um conjunto de 24 e no estudo da simetria em certos modelos de geometrias finitas .
  • Os quatérnions com norma 1 (os versores ), como um grupo multiplicativo, agem em R 3 : para qualquer quatérnion z = cos α / 2 + v sin α / 2 , o mapeamento f ( x ) = z x z é um rotação no sentido anti-horário através de um ângulo α em torno de um eixo dado por um vetor unitário v ; z é a mesma rotação; veja quatérnions e rotação espacial . Observe que esta não é uma ação fiel porque o quaternion −1 deixa todos os pontos onde estavam, assim como o quaternion 1.
  • Dado deixou G -sets , há uma esquerda G -conjunto cujos elementos são G mapas equivariante e, com a esquerda G -action dado por (onde " " indica multiplicação junto ). Este conjunto G tem a propriedade de que seus pontos fixos correspondam a mapas equivariantes ; mais geralmente, é um objeto exponencial na categoria de G -sets.

Ações de grupo e grupóides

A noção de ação grupal pode ser contextualizada de forma mais ampla, utilizando-se a ação grupóide associada à ação grupal, permitindo, assim, técnicas da teoria grupóide como apresentações e fibrações . Além disso, os estabilizadores da ação são os grupos de vértices, e as órbitas da ação são os componentes do grupóide de ação. Para obter mais detalhes, consulte o livro Topologia e grupóides referenciados abaixo.

Este grupóide de ação vem com um morfismo p :  G ′G que é um morfismo de cobertura de grupóides . Isso permite uma relação entre tais morfismos e mapas de cobertura na topologia.

Morphisms e isomorfismos entre G -sets

Se X e Y são duas L -sets, um morfismo de X para Y é uma função f  : XY tal que f ( gx ) = gf ( x ) para todos g em L e todos X em X . Morphisms de G -sets também são chamados de mapas equivariantes ou G-mapas .

A composição de dois morfismos é novamente um morfismo. Se um morfismo f é bijetivo, então seu inverso também é um morfismo. Neste caso, F é chamado um isomorfismo , e os dois L -sets X e Y são chamados isomorfo ; para todos os efeitos práticos, conjuntos G isomórficos são indistinguíveis.

Alguns exemplos de isomorfismos:

  • Toda ação regular de G é isomórfica à ação de G sobre G dada pela multiplicação à esquerda.
  • Cada ação G livre é isomórfica a G × S , onde S é algum conjunto e G atua em G × S por multiplicação à esquerda na primeira coordenada. ( S pode ser considerado o conjunto de órbitas X / G. )
  • Cada transitivo L acção é isomorfa a multiplicação esquerda por G no conjunto de classes laterais esquerdos de algum subgrupo H de L . ( H pode ser considerado o grupo estabilizador de qualquer elemento do conjunto G original .)

Com essa noção de morfismo, a coleção de todos os conjuntos G forma uma categoria ; esta categoria é um topos de Grothendieck (na verdade, assumindo uma metalógica clássica, este topos será até booleano).

Ações de grupo contínuas

Um frequentemente considera as ações do grupo contínuos : o grupo G é um grupo topológico, X é um espaço topológico, e o mapa G × XX é contínua com respeito à topologia produto de G × X . O espaço X também é chamado de espaço G neste caso. Isso é de fato uma generalização, uma vez que cada grupo pode ser considerado um grupo topológico usando a topologia discreta . Todos os conceitos introduzidos acima ainda trabalho neste contexto, no entanto, definir morphisms entre G -spaces ser contínuas mapas compatíveis com a ação do G . O quociente X / G herda a topologia de quociente de X e é chamado de espaço de quociente da ação. As afirmações acima sobre isomorfismos para ações regulares, livres e transitivas não são mais válidas para ações de grupo contínuas.

Se X é um espaço de cobertura regular de outro espaço topológico Y , então a ação do grupo de transformação de deck em X é adequadamente descontínua, além de livre. Cada ação livre e devidamente descontínua de um grupo G em um espaço topológico conectado por caminho X surge desta maneira: o mapa quociente XX / G é um mapa de cobertura regular, e o grupo de transformação de deck é a ação dada de G em X . Por outro lado, se X é simplesmente ligado, o grupo fundamental de X / L será isomorfo a L .

Esses resultados foram generalizados no livro Topology and Groupoids referenciado abaixo para obter o grupóide fundamental do espaço orbital de uma ação descontínua de um grupo discreto em um espaço de Hausdorff, como, em condições locais razoáveis, o grupóide de órbita do grupóide fundamental de o espaço. Isso permite cálculos como o grupo fundamental do quadrado simétrico de um espaço X , ou seja, o espaço orbital do produto de X consigo mesmo sob a ação de torção do grupo cíclico de ordem 2 enviando ( x , y ) para ( y , x ) .

Uma acção de um grupo L de um espaço localmente compacto X é cocompact se existe um subconjunto compacto Um de X tal que GA = X . Para uma acção propriamente descontínuo, cocompactness é equivalente a compacidade do espaço quociente X / L .

A ação de G em X é dita adequada se o mapeamento G × XX × X que envia ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) é um mapa adequado .

Ação em grupo fortemente contínua e pontos suaves

Uma ação de grupo de um grupo topológico G em um espaço topológico X é dita fortemente contínua se para todo x em X , o mapa ggx é contínuo em relação às respectivas topologias. Tal ação induz uma ação no espaço de funções contínuas em X definindo ( gf ) ( x ) = f ( g −1x ) para cada g em G , f uma função contínua em X e x em X . Observe que, embora toda ação de grupo contínua seja fortemente contínua, o inverso em geral não é verdadeiro.

O subespaço de pontos suaves para a ação é o subespaço de X dos pontos x tal que ggx é suave, ou seja, é contínuo e todas as derivadas são contínuas.

Variantes e generalizações

Também podemos considerar ações de monoides em conjuntos, usando os mesmos dois axiomas acima. No entanto, isso não define mapas bijetivos e relações de equivalência. Veja ação de semigrupo .

Em vez de ações em conjuntos, podemos definir ações de grupos e monoids em objetos de uma categoria arbitrária: comece com um objeto X de alguma categoria, e, em seguida, definir uma ação em X como um homomorphism monoid no monoid de endomorfismos de X . Se X tiver um conjunto subjacente, todas as definições e fatos declarados acima podem ser transportados. Por exemplo, se tomarmos a categoria de espaços vetoriais, obteremos representações de grupos desta maneira.

Podemos ver um grupo G como uma categoria com um único objeto em que todo morfismo é invertível. Uma ação de grupo (à esquerda) nada mais é do que um functor (covariante) de G para a categoria de conjuntos , e uma representação de grupo é um functor de G para a categoria de espaços vetoriais . Um morfismo entre G-sets é então uma transformação natural entre os functores de ação de grupo. Por analogia, uma ação de um grupóide é um functor do grupóide para a categoria de conjuntos ou para alguma outra categoria.

Além das ações contínuas de grupos topológicos em espaços topológicos, também costumamos considerar ações suaves de grupos de Lie em variedades suaves , ações regulares de grupos algébricos em variedades algébricas e ações de esquemas de grupo em esquemas . Todos esses são exemplos de objetos de grupo agindo sobre objetos de suas respectivas categorias.

Galeria

Veja também

Notas

Citações

Referências

links externos