Groupoid - Groupoid

Em matemática , especialmente na teoria das categorias e na teoria da homotopia , um grupóide (menos frequentemente grupóide de Brandt ou grupo virtual ) generaliza a noção de grupo de várias maneiras equivalentes. Um grupóide pode ser visto como:

• Grupo com função parcial substituindo a operação binária ;
• Categoria em que todo morfismo é invertível. Uma categoria desse tipo pode ser vista como aumentada com uma operação unária , chamada inversa por analogia com a teoria dos grupos . Um grupóide onde há apenas um objeto é um grupo comum.

Na presença de tipagem dependente , uma categoria em geral pode ser vista como um monóide tipado e, da mesma forma, um grupóide pode ser visto simplesmente como um grupo digitado. Os morphisms tomar uma de um objeto para outro, e formar uma família dependente de tipos, assim morphisms pode ser digitado , , dizem. A composição é então uma função total:, de modo que . ${\ displaystyle g: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle h: B \ rightarrow C}$${\ displaystyle \ circ: (B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow B) \ rightarrow A \ rightarrow C}$${\ displaystyle h \ circ g: A \ rightarrow C}$

Casos especiais incluem:

• Setoides : conjuntos que vêm com uma relação de equivalência ,
• G-sets : sets equipados com uma ação de um grupo.${\ displaystyle G}$

Os grupóides são freqüentemente usados ​​para raciocinar sobre objetos geométricos , como variedades . Heinrich Brandt  ( 1927 ) introduziu grupóides implicitamente por meio dos semigrupos de Brandt .

Definições

Um grupóides é uma estrutura algébrica que consiste de um conjunto não vazio e um binário função parcial ' ' definido no . ${\ displaystyle (G, \ ast)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle G}$

Algébrico

Um grupóide é um conjunto com uma operação unária e uma função parcial . Aqui * não é uma operação binária porque não é necessariamente definida para todos os pares de elementos de . As condições precisas sob as quais é definido não são articuladas aqui e variam conforme a situação. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {} ^ {- 1}: G \ a G,}$ ${\ displaystyle *: G \ times G \ rightharpoonup G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle \ ast}$e ^-1 têm as seguintes propriedades axiomático: Para todos , e em , ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$

1. Associatividade : Seesão definidos, entãoesão definidos e são iguais. Por outro lado, se um deefor definido, então também sãoe, bem como=.${\ displaystyle a * b}$${\ displaystyle b * c}$${\ displaystyle (a * b) * c}$${\ displaystyle a * (b * c)}$${\ displaystyle (a * b) * c}$${\ displaystyle a * (b * c)}$${\ displaystyle a * b}$${\ displaystyle b * c}$${\ displaystyle (a * b) * c}$${\ displaystyle a * (b * c)}$
2. Inverso :esão sempre definidos.${\ displaystyle a ^ {- 1} * a}$${\ displaystyle a * {a ^ {- 1}}}$
3. Identidade : Sefor definido, então, e. (Os dois axiomas anteriores já mostram que essas expressões são definidas e inequívocas.)${\ displaystyle a * b}$${\ displaystyle a * b * {b ^ {- 1}} = a}$${\ displaystyle {a ^ {- 1}} * a * b = b}$

Duas propriedades fáceis e convenientes seguem a partir desses axiomas:

• ${\ displaystyle (a ^ {- 1}) ^ {- 1} = a}$,
• Se estiver definido, então .${\ displaystyle a * b}$${\ displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$

Teoria da categoria

Um grupóide é uma pequena categoria em que todo morfismo é um isomorfismo , ou seja, invertível. Mais precisamente, um grupóide G é:

• Um conjunto G ₀ de objetos ;
• Para cada par de objectos de x e y em L ₀ , existe uma (possivelmente vazio) G ( x , y ) de morphisms (ou setas ) a partir de x para y . Escrevemos f  : x → y para indicar que f é um elemento de G ( x , y ).
• Para cada objeto x , um elemento designado de G ( x , x );${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {x}}$
• Para cada triplo de objetos x , y e z , uma função ;${\ displaystyle \ mathrm {comp} _ {x, y, z}: G (y, z) \ times G (x, y) \ rightarrow G (x, z) :( g, f) \ mapsto gf}$
• Para cada par de objetos x , y uma função ;${\ displaystyle \ mathrm {inv}: G (x, y) \ rightarrow G (y, x): f \ mapsto f ^ {- 1}}$

satisfazendo, para qualquer f  : x → y , g  : y → z e h  : z → w :

• ${\ displaystyle f \ \ mathrm {id} _ {x} = f}$e ;${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {y} \ f = f}$
• ${\ displaystyle (hg) f = h (gf)}$;
• ${\ displaystyle ff ^ {- 1} = \ mathrm {id} _ {y}}$e .${\ displaystyle f ^ {- 1} f = \ mathrm {id} _ {x}}$

Se f é um elemento de G ( x , y ), então x é chamado de fonte de f , escrito s ( f ), ey é chamado de destino de f , escrito t ( f ). Um grupóide G às vezes é denotado como , onde está o conjunto de todos os morfismos e as duas setas representam a origem e o destino. ${\ displaystyle G_ {1} \ rightrightarrows G_ {0}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1} \ a G_ {0}}$

De maneira mais geral, pode-se considerar um objeto grupóide em uma categoria arbitrária que permite produtos de fibra finita.

Comparando as definições

As definições algébricas e teóricas das categorias são equivalentes, como mostraremos agora. Dado um grupóide no sentido da teoria da categoria, seja G a união disjunta de todos os conjuntos G ( x , y ) (isto é, os conjuntos de morfismos de x a y ). Então e se tornam operações parciais em G , e de fato serão definidas em todos os lugares. Definimos ∗ como sendo e ⁻¹ como sendo , o que dá um grupóide no sentido algébrico. A referência explícita a G ₀ (e, portanto, a ) pode ser descartada. ${\ displaystyle \ mathrm {comp}}$${\ displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {comp}}$${\ displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {id}}$

Inversamente, dado um grupóide G no sentido algébrico, defina uma relação de equivalência em seus elementos por iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Seja G ₀ o conjunto de classes de equivalência de , ie . Denote a ∗ a ⁻¹ por if com . ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle a \ sim b}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle G_ {0}: = G / \! \! \ sim}$${\ displaystyle 1_ {x}}$${\ displaystyle a \ in G}$${\ displaystyle x \ in G_ {0}}$

Agora defina como o conjunto de todos os elementos f tal que existe. Dado e seu composto é definido como . Para ver se isso está bem definido, observe que desde que e existe, existe . O morfismo de identidade em x é então , e o inverso teórico da categoria de f é f ^-1 . ${\ displaystyle G (x, y)}$${\ displaystyle 1_ {x} * f * 1_ {y}}$${\ displaystyle f \ in G (x, y)}$${\ displaystyle g \ in G (y, z),}$${\ displaystyle gf: = f * g \ in G (x, z)}$${\ displaystyle (1_ {x} * f) * 1_ {y}}$${\ displaystyle 1_ {y} * (g * 1_ {z})}$${\ displaystyle (1_ {x} * f * 1_ {y}) * (g * 1_ {z}) = f * g}$${\ displaystyle 1_ {x}}$

Os conjuntos nas definições acima podem ser substituídos por classes , como geralmente é o caso na teoria das categorias.

Grupos de vértices e órbitas

Dado um grupóides L , os grupos de vértices ou grupos de isotropia ou grupos de objetos em L são os sub-grupos da forma L ( x , x ), onde X é qualquer objecto de L . Conclui-se facilmente dos axiomas acima que esses são de fato grupos, já que cada par de elementos é combinável e os inversos estão no mesmo grupo de vértices.

A órbita de um grupóides L num ponto é dado pelo conjunto contendo todos os pontos que podem ser unidos a X por um morfismo em G. Se dois pontos e estão nas mesmas órbitas, os seus grupos de vértices e são isomorfos : se é qualquer morfismo de a , então o isomorfismo dado pelo mapeamento . ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s (t ^ {- 1} (x)) \ subconjunto X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle G (x)}$${\ displaystyle G (y)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g \ to fgf ^ {- 1}}$

As órbitas formam uma partição do conjunto X, e um grupóide é denominado transitivo se tiver apenas uma órbita (equivalentemente, se estiver conectado como uma categoria). Nesse caso, todos os grupos de vértices são isomórficos (por outro lado, esta não é uma condição suficiente para a transitividade; consulte a seção abaixo para contra-exemplos).

Subgroupoides e morfismos

Um subgrupo de é uma subcategoria que é, em si, um grupóide. É denominado largo ou completo se for largo ou completo como uma subcategoria, ou seja, respectivamente, se ou para todos . ${\ displaystyle G \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle H \ rightrightarrows Y}$${\ displaystyle X = Y}$${\ displaystyle G (x, y) = H (x, y)}$${\ displaystyle x, y \ in Y}$

Um morfismo de grupóide é simplesmente um functor entre dois grupóides (teóricos da categoria).

Tipos particulares de morfismos de grupóides são de interesse. Um morfismo de grupóides é denominado fibração se para cada objeto de e para cada morfismo de começar em existe um morfismo de começar em tal . Uma fibração é chamada de morfismo de cobertura ou cobertura de grupóides, se ainda assim for única. Os morfismos de cobertura de grupóides são especialmente úteis porque podem ser usados ​​para modelar mapas de espaços de cobertura . ${\ displaystyle p: E \ para B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p (e) = b}$${\ displaystyle e}$

Também é verdade que a categoria de morfismos de cobertura de um dado grupóide é equivalente à categoria de ações do grupóide em conjuntos. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Exemplos

Topologia

Dado um espaço topológico , deixe ser o conjunto . Os morfismos de um ponto a outro são classes de equivalência de caminhos contínuos de para , com dois caminhos sendo equivalentes se forem homotópicos . Dois desses morfismos são compostos seguindo primeiro o primeiro caminho, depois o segundo; a equivalência de homotopia garante que essa composição seja associativa . Este grupóide é denominado grupóide fundamental de , denotado (ou, às vezes, ). O grupo fundamental usual é então o grupo de vértices para o ponto . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ Pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ displaystyle x}$

As órbitas do grupóide fundamental são os componentes conectados por trajetória de . Conseqüentemente, o grupóide fundamental de um espaço conectado por caminho é transitivo, e recuperamos o fato conhecido de que os grupos fundamentais em qualquer ponto de base são isomórficos. Além disso, neste caso, o grupóide fundamental e os grupos fundamentais são equivalentes como categorias (ver a seção abaixo para a teoria geral). ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle X}$

Uma extensão importante desta ideia é considerar o grupóide fundamental onde é um conjunto escolhido de "pontos de base". Aqui está um subgrupo (amplo) de , onde se considera apenas os caminhos cujos pontos de extremidade pertencem . O conjunto pode ser escolhido de acordo com a geometria da situação em questão. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Relação de equivalência

Se for um setoide , ou seja, um conjunto com uma relação de equivalência , um grupóide "representando" essa relação de equivalência pode ser formado da seguinte forma: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ sim}$

• Os objetos do grupóide são os elementos de ;${\ displaystyle X}$
• Para quaisquer dois elementos e in , há um único morfismo de a (denotar por ) se e somente se ;${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (y, x)}$${\ displaystyle x \ sim y}$
• A composição de e é .${\ displaystyle (z, y)}$${\ displaystyle (y, x)}$${\ displaystyle (z, x)}$

Os grupos de vértices deste grupóide são sempre triviais; além disso, este grupóide é em geral não transitivo e suas órbitas são precisamente as classes de equivalência. Existem dois exemplos extremos:

• Se cada elemento de está em relação com todos os outros elementos de , obtemos o par grupóide de , que tem o todo como conjunto de setas e que é transitivo.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ times X}$
• Se cada elemento de está apenas em relação consigo mesmo, obtém-se a unidade grupóide , que tem como conjunto de setas , e que é completamente intransitiva (todo singleton é uma órbita).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle s = t = id_ {X}}$${\ displaystyle \ {x \}}$

Exemplos

Por exemplo, se é um bom surjective submersão de variedades suaves , então é uma relação de equivalência desde que tem uma topologia isomorphic à topologia quociente de sob o mapa surjective de espaços topológicos. Se escrevermos, obteremos um grupóide${\ displaystyle f: X_ {0} \ a Y}$ ${\ displaystyle X_ {0} \ times _ {Y} X_ {0} \ subconjunto X_ {0} \ times X_ {0}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {1} = X_ {0} \ times _ {Y} X_ {0}}$

${\ displaystyle X_ {1} \ rightrightarrows X_ {0}}$

que às vezes é chamado de grupóide banal de uma submersão sobrejetiva de variedades lisas.

Čech groupoid

Um grupóide de Čech ^{pg 5} é um tipo especial de grupóide associado a uma relação de equivalência dada por uma tampa aberta de alguma variedade . Seus objetos são dados pela união disjunta${\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} = \ coprod U_ {i}}$

e suas setas são as interseções

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} = \ coprod U_ {ij}}$

Os mapas de origem e destino são dados pelos mapas induzidos

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} s = \ phi _ {j}: U_ {ij} \ to U_ {j} \\ t = \ phi _ {i}: U_ {ij} \ to U_ {i} \ fim {alinhado}}}$

e o mapa de inclusão

${\ displaystyle \ varepsilon: U_ {i} \ a U_ {ii}}$

dando a estrutura de um grupóide. Na verdade, isso pode ser estendido ainda mais definindo

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = {\ mathcal {G}} _ {1} \ times _ {{\ mathcal {G}} _ {0}} \ cdots \ times _ {{\ mathcal {G}} _ {0}} {\ mathcal {G}} _ {1}}$

como o produto de fibra literado onde o representa -tuples de flechas compostáveis. O mapa da estrutura do produto de fibra é implicitamente o mapa de destino, uma vez que${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} U_ {ijk} & \ to & U_ {ij} \\\ downarrow && \ downarrow \\ U_ {ik} & \ to & U_ {i} \ end {matrix}}}$

é um diagrama cartesiano em que os mapas são os mapas de destino. Esta construção pode ser vista como um modelo para alguns ∞-grupóides . Além disso, outro artefato dessa construção são os k-cociclos${\ displaystyle U_ {i}}$

${\ displaystyle [\ sigma] \ in {\ check {H}} ^ {k} ({\ mathcal {U}}, {\ underline {A}})}$

pois alguns feixes constantes de grupos abelianos podem ser representados como uma função

${\ displaystyle \ sigma: \ coprod U_ {i_ {1} \ cdots i_ {k}} \ para A}$

dando uma representação explícita das classes de cohomologia.

Ação em grupo

Se o grupo atua no conjunto , podemos formar o grupo de ação (ou grupo de transformação ) que representa essa ação do grupo da seguinte maneira: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$

• Os objetos são os elementos de ;${\ displaystyle X}$
• Para quaisquer dois elementos e em , os morphisms de para correspondem aos elementos de tal modo que ;${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle gx = y}$
• A composição de morfismos interpreta a operação binária de .${\ displaystyle G}$

Mais explicitamente, o grupo de ação é uma pequena categoria com e e com mapas de origem e destino e . Freqüentemente, é denotado (ou para uma ação correta). A multiplicação (ou composição) no grupóide é então definida fornecida . ${\ displaystyle \ mathrm {ob} (C) = X}$${\ displaystyle \ mathrm {hom} (C) = G \ vezes X}$${\ displaystyle s (g, x) = x}$${\ displaystyle t (g, x) = gx}$${\ displaystyle G \ ltimes X}$${\ displaystyle X \ rtimes G}$${\ displaystyle (h, y) (g, x) = (hg, x)}$${\ displaystyle y = gx}$

Para no , o grupo vértice é constituído por aqueles com , que é apenas o subgrupo isotropia a para a acção dado (que é por grupos de vértice são também chamados grupos de isotropia). Da mesma forma, as órbitas da ação grupóide são a órbita da ação grupal, e o grupóide é transitivo se e somente se a ação do grupo é transitiva . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (g, x)}$${\ displaystyle gx = x}$${\ displaystyle x}$

Outra forma de descrever -sets é a categoria do functor , onde é o grupóide (categoria) com um elemento e isomórfico ao grupo . Com efeito, cada functor desta categoria define um conjunto e para cada em (isto é, para cada morfismo em ) induz uma bijeç~ao  : . A estrutura categórica do functor nos assegura que define uma ação-no conjunto . O functor representável (único)  : é a representação de Cayley de . Na verdade, este functor é isomórfico para e então envia para o conjunto que é por definição o "conjunto" e o morfismo de (isto é, o elemento de ) para a permutação do conjunto . Deduzimos da incorporação de Yoneda que o grupo é isomórfico ao grupo , um subgrupo do grupo de permutações de . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle [\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Set}]}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X = F (\ mathrm {Gr})}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$ ${\ displaystyle F_ {g}}$${\ displaystyle X \ to X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr} \ to \ mathrm {Set}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr}, -)}$${\ displaystyle \ mathrm {ob} (\ mathrm {Gr})}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Gr})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F_ {g}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ {F_ {g} \ mid g \ in G \}}$${\ displaystyle G}$

Conjunto finito

Considere a ação do grupo de no conjunto finito que leva cada número ao seu negativo, então e . O quociente grupóide é o conjunto de classes de equivalência desta ação de grupo , e tem uma ação de grupo sobre ela. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle X = \ {- 2, -1,0,1,2 \}}$${\ displaystyle -2 \ mapsto 2}$${\ displaystyle 1 \ mapsto -1}$${\ displaystyle [X / G]}$${\ displaystyle \ {[0], [1], [2] \}}$${\ displaystyle [0]}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$

Variedade de quociente

Qualquer grupo finito que mapeia para dar uma ação de grupo no espaço afim (já que este é o grupo dos automorfismos). Então, um quociente grupóide pode ser uma das formas , que tem um ponto com estabilizador na origem. Exemplos como esses formam a base para a teoria dos orbifolds . Outra família de orbifolds comumente estudada são os espaços projetivos ponderados e subespaços deles, como os orbifolds Calabi-Yau . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle GL (n)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ displaystyle [\ mathbb {A} ^ {n} / G]}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (n_ {1}, \ ldots, n_ {k})}$

Produto de fibra de grupóides

Dado um diagrama de grupóides com morfismos de grupóides

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} && X \\ && \ downarrow \\ Y & \ rightarrow & Z \ end {alinhado}}}$

onde e , podemos formar o grupóide cujos objetos são triplos , onde , e em . Os morfismos podem ser definidos como um par de morfismos onde e de modo que, para triplos , há um diagrama comutativo em de , e o . ${\ displaystyle f: X \ a Z}$${\ displaystyle g: Y \ a Z}$${\ displaystyle X \ times _ {Z} Y}$${\ displaystyle (x, \ phi, y)}$${\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} (X)}$${\ displaystyle y \ in {\ text {Ob}} (Y)}$${\ displaystyle \ phi: f (x) \ to g (y)}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$${\ displaystyle \ alpha: x \ to x '}$${\ displaystyle \ beta: y \ to y '}$${\ displaystyle (x, \ phi, y), (x ', \ phi', y ')}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f (\ alpha): f (x) \ a f (x ')}$${\ displaystyle g (\ beta): g (y) \ to g (y ')}$${\ displaystyle \ phi, \ phi '}$

Álgebra homológica

Um complexo de dois termos

${\ displaystyle C_ {1} {\ overset {d} {\ rightarrow}} C_ {0}}$

de objetos em uma categoria Abeliana concreta podem ser usados ​​para formar um grupóide. Tem como objetos o conjunto e como setas o conjunto ; o morfismo de origem é apenas a projeção em, enquanto o morfismo de destino é a adição de projeção em composto com e projeção em . Ou seja, dado , temos ${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {1} \ oplus C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle c_ {1} + c_ {0} \ in C_ {1} \ oplus C_ {0}}$

${\ displaystyle t (c_ {1} + c_ {0}) = d (c_ {1}) + c_ {0}.}$

Claro, se a categoria abeliana é a categoria de feixes coerentes em um esquema, então esta construção pode ser usada para formar uma pré - feixe de grupóides.

Quebra-cabeças

Embora os quebra-cabeças como o Cubo de Rubik possam ser modelados usando a teoria dos grupos (veja o grupo Cubo de Rubik ), certos quebra-cabeças são melhor modelados como grupóides.

As transformações dos quinze quebra-cabeças formam um grupóide (não um grupo, pois nem todos os movimentos podem ser compostos). Este grupóide atua nas configurações.

Mathieu groupoid

O grupóide Mathieu é um grupóide introduzido por John Horton Conway que atua em 13 pontos, de modo que os elementos que fixam um ponto formam uma cópia do grupo Mathieu M ₁₂ .

Relação com grupos

Estruturas semelhantes a grupos
	Totalidade	Associatividade	Identidade	Invertibilidade	Comutatividade
Semigroupoide	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário
Categoria Pequena	Desnecessário	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário
Groupoid	Desnecessário	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário
Magma	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário
Quasigroup	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário
Magma Unital	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário
Ciclo	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário
Semigrupo	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário	Desnecessário
Semigrupo Inverso	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório	Desnecessário
Monóide	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Desnecessário
Monóide comutativo	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário	Obrigatório
Grupo	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Desnecessário
Grupo abeliano	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório	Obrigatório
^ α Fechamento, que é usado em muitas fontes, é um axioma equivalente à totalidade, embora definido de forma diferente.

Se um grupóide tem apenas um objeto, o conjunto de seus morfismos forma um grupo . Usando a definição algébrica, tal grupóide é literalmente apenas um grupo. Muitos conceitos da teoria dos grupos generalizam-se para grupóides, com a noção de functor substituindo a de homomorfismo de grupo .

Cada grupóide transitivo / conectado - isto é, como explicado acima, aquele em que quaisquer dois objetos estão conectados por pelo menos um morfismo - é isomórfico a um grupóide de ação (conforme definido acima) . Por transitividade, haverá apenas uma órbita sob a ação. ${\ displaystyle (G, X)}$

Observe que o isomorfismo que acabamos de mencionar não é único e não há escolha natural . A escolha de tal isomorfismo para um grupóide transitivo equivale essencialmente a escolher um objeto , um isomorfismo de grupo de a , e para cada outro , do que um morfismo de a . ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle G (x_ {0})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x}$

Se um grupóide não é transitivo, ele é isomórfico a uma união disjunta de grupóides do tipo acima, também chamados de seus componentes conectados (possivelmente com grupos e conjuntos diferentes para cada componente conectado). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$

Em termos da teoria da categoria, cada componente conectado de um grupóide é equivalente (mas não isomórfico ) a um grupóide com um único objeto, ou seja, um único grupo. Assim, qualquer grupóide é equivalente a um multiconjunto de grupos não relacionados. Em outras palavras, para equivalência em vez de isomorfismo, não é necessário especificar os conjuntos , mas apenas os grupos. Por exemplo, ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G.}$

• O grupóide fundamental de é equivalente à coleção dos grupos fundamentais de cada componente conectado por caminho de , mas um isomorfismo requer a especificação do conjunto de pontos em cada componente;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• O conjunto com a relação de equivalência é equivalente (como um grupóide) a uma cópia do grupo trivial para cada classe de equivalência , mas um isomorfismo requer a especificação do que é cada classe de equivalência:${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sim}$
• O conjunto equipado com uma ação do grupo é equivalente (como um grupóide) a uma cópia de para cada órbita da ação, mas um isomorfismo requer a especificação de qual conjunto é cada órbita.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

O colapso de um grupóide em uma mera coleção de grupos perde algumas informações, mesmo do ponto de vista da categoria teórica, porque não é natural . Assim, quando os grupóides surgem em termos de outras estruturas, como nos exemplos acima, pode ser útil manter o grupóide inteiro. Caso contrário, deve-se escolher uma forma de ver cada um em termos de um único grupo, e essa escolha pode ser arbitrária. No exemplo da topologia , seria necessário fazer uma escolha coerente de caminhos (ou classes de equivalência de caminhos) de cada ponto para cada ponto no mesmo componente conectado por caminho. ${\ displaystyle G (x)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Como um exemplo mais esclarecedor, a classificação de grupóides com um endomorfismo não se reduz a considerações puramente teóricas de grupo. Isso é análogo ao fato de que a classificação de espaços vetoriais com um endomorfismo não é trivial.

Os morfismos de grupóides vêm em mais tipos do que os de grupos: temos, por exemplo, fibrações , morfismos abrangentes , morfismos universais e morfismos quocientes . Assim, um subgrupo de um grupo produz uma ação de no conjunto de cosets de in e, portanto, um morfismo de cobertura de, digamos, a , onde é um grupóide com grupos de vértices isomórficos a . Desta forma, as apresentações do grupo podem ser "elevadas" a apresentações do grupóide , sendo esta uma forma útil de obter informações sobre as apresentações do subgrupo . Para obter mais informações, consulte os livros de Higgins e de Brown nas Referências. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$

Categoria de grupóides

A categoria cujos objetos são grupóides e cujos morfismos são morfismos grupóides é chamada de categoria grupóide , ou categoria de grupóides , e é denotada por Grpd .

A categoria Grpd é, como a categoria das pequenas categorias, cartesiana fechada : para qualquer grupóide podemos construir um grupóide cujos objetos são os morfismos e cujas setas são as equivalências naturais dos morfismos. Portanto, se são apenas grupos, essas setas são as conjugações de morfismos. O principal resultado é que para qualquer grupóide existe uma bijeção natural ${\ displaystyle H, K}$${\ displaystyle \ operatorname {GPD} (H, K)}$${\ displaystyle H \ a K}$${\ displaystyle H, K}$${\ displaystyle G, H, K}$

${\ displaystyle \ operatorname {Grpd} (G \ times H, K) \ cong \ operatorname {Grpd} (G, \ operatorname {GPD} (H, K)).}$

Este resultado é interessante mesmo que todos os grupóides sejam apenas grupos. ${\ displaystyle G, H, K}$

Outra propriedade importante do Grpd é que ele é completo e cocompleto .

Relação com Gato

A inclusão tem um adjunto esquerdo e direito : ${\ displaystyle i: \ mathbf {Grpd} \ to \ mathbf {Cat}}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (C [C ^ {- 1}], G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (C, i (G))}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (i (G), C) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (G, \ mathrm {Core} (C))}$

Aqui, denota a localização de uma categoria que inverte todo morfismo e denota a subcategoria de todos os isomorfismos. ${\ displaystyle C [C ^ {- 1}]}$${\ displaystyle \ mathrm {Core} (C)}$

Relação com sSet

O functor de nervo incorpora Grpd como uma subcategoria completa da categoria de conjuntos simpliciais. O nervo de um grupóide é sempre um complexo de Kan . ${\ displaystyle N: \ mathbf {Grpd} \ to \ mathbf {sSet}}$

O nervo tem um adjunto esquerdo

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (\ pi _ {1} (X), G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {sSet}} (X, N (G))}$

Aqui, denota o grupóide fundamental do conjunto simplicial X. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Groupoids em Grpd

Há uma estrutura adicional que pode ser derivada de grupóides internos à categoria de grupóides, grupóides duplos . Como Grpd é uma categoria 2, esses objetos formam uma categoria 2 em vez de uma categoria 1, pois há uma estrutura extra. Essencialmente, são grupóides com functores${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1}, {\ mathcal {G}} _ {0}}$

${\ displaystyle s, t: {\ mathcal {G}} _ {1} \ to {\ mathcal {G}} _ {0}}$

e uma incorporação dada por um functor de identidade

${\ displaystyle i: {\ mathcal {G}} _ {0} \ to {\ mathcal {G}} _ {1}}$

Uma maneira de pensar sobre esses 2-grupóides é que eles contêm objetos, morfismos e quadrados que podem se compor vertical e horizontalmente. Por exemplo, determinados quadrados

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ to & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \ end {matriz}}}$ e ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ to & \ bullet \ end {matriz}}}$

com o mesmo morfismo, eles podem ser unidos verticalmente dando um diagrama${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ to & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ para & \ bullet \ end {matriz}}}$

que pode ser convertido em outro quadrado, compondo as setas verticais. Existe uma lei de composição semelhante para anexos horizontais de quadrados.

Grupóides com estruturas geométricas

Ao estudar objetos geométricos, os grupóides emergentes freqüentemente carregam uma topologia , transformando-os em grupóides topológicos , ou mesmo alguma estrutura diferenciável , transformando-os em grupóides de Lie . Esses últimos objetos também podem ser estudados em termos de seus algebróides de Lie associados , em analogia à relação entre grupos de Lie e álgebras de Lie .

Os grupóides que surgem da geometria geralmente possuem outras estruturas que interagem com a multiplicação dos grupóides. Por exemplo, na geometria de Poisson tem-se a noção de um grupóide simplético , que é um grupóide de Lie dotado de uma forma simplética compatível . Da mesma forma, pode-se ter grupóides com uma métrica Riemanniana compatível , ou estrutura complexa , etc.

Veja também

• Groupoid cohomology
• ∞-grupóide
• 2 grupos
• Teoria do tipo de homotopia
• Categoria inversa
• Álgebra grupóide (não deve ser confundida com grupóide algébrica )
• R-algebróide

Notas

Referências

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• -, Teoria de grupo dimensional superior Explica como o conceito de grupóide levou a grupóides homotópicos de dimensão superior, com aplicações na teoria da homotopia e na cohomologia de grupo . Muitas referências.
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• grupóide fundamental em nLab
• núcleo em nLab