h-cobordismo - h-cobordism

Na topologia geométrica e na topologia diferencial , um cobordismo ( n  + 1) -dimensional W entre as variedades n- dimensionais M e N é um h -cobordismo (o h significa equivalência de homotopia ) se os mapas de inclusão

${\ displaystyle M \ hookrightarrow W \ quad {\ mbox {e}} \ quad N \ hookrightarrow W}$

são equivalências de homotopia.

O teorema h -cobordismo fornece condições suficientes para um h -cobordismo ser trivial, isto é, ser C -isomórfico ao cilindro M × [ 0,1 ]. Aqui, C se refere a qualquer uma das categorias de variedades suaves , lineares por partes ou topológicas .

O teorema foi provado pela primeira vez por Stephen Smale, pelo qual recebeu a Medalha Fields e é um resultado fundamental na teoria das variedades de alta dimensão. Para começar, isso prova quase imediatamente a conjectura generalizada de Poincaré .

Fundo

Antes de Smale provar esse teorema, os matemáticos ficaram paralisados ​​ao tentar entender variedades de dimensão 3 ou 4 e presumiram que os casos de dimensão superior eram ainda mais difíceis. O teorema h -cobordismo mostrou que variedades (simplesmente conectadas) de dimensão de pelo menos 5 são muito mais fáceis do que as de dimensão 3 ou 4. A prova do teorema depende do " truque de Whitney " de Hassler Whitney , que desembaraça geometricamente e emaranhado de maneira homóloga esferas de dimensão complementar em uma variedade de dimensões> 4. Uma razão informal pela qual variedades de dimensão 3 ou 4 são incomumente difíceis é que o truque não funciona em dimensões inferiores, que não têm espaço para desemaranhamento.

Declaração precisa do teorema h -cobordismo

Seja n pelo menos 5 e seja W um h -cobordismo compacto ( n  + 1) -dimensional entre M e N na categoria C = Diff , PL ou Top tal que W , M e N estejam simplesmente conectados , então W é C -isomórfico a M × [0, 1]. O isomorfismo pode ser escolhido para ser a identidade em M × {0}.

Isso significa que a equivalência de homotopia entre M e N (ou, entre M × [0, 1], W e N × [0, 1]) é homotópica a um C -isomorfismo.

Versões dimensionais inferiores

Para n = 4, o teorema h -cobordismo é verdadeiro topologicamente (provado por Michael Freedman usando um truque de Whitney 4-dimensional), mas é falso PL e suavemente (como mostrado por Simon Donaldson ).

Para n = 3, o teorema h -cobordismo para variedades suaves não foi provado e, devido à conjectura de Poincaré tridimensional , é equivalente à difícil questão em aberto de se a esfera 4 tem estruturas suaves não padronizadas .

Para n = 2, o teorema h -cobordismo é equivalente à conjectura de Poincaré afirmada por Poincaré em 1904 (um dos Problemas do Milênio ) e foi provado por Grigori Perelman em uma série de três artigos em 2002 e 2003, onde ele segue Richard S O programa de Hamilton usando o fluxo de Ricci .

Para n = 1, o teorema h -cobordismo é vacuamente verdadeiro, uma vez que não existe uma variedade unidimensional fechada simplesmente conectada.

Para n = 0, o teorema h -cobordismo é trivialmente verdadeiro: o intervalo é o único cobordismo conectado entre 0-variedades conectadas.

Um esboço de prova

Uma função de Morse induz uma decomposição de alça de W , ou seja, se houver um único ponto crítico de índice k in , então o cobordismo ascendente é obtido anexando uma alça de k . O objetivo da prova é encontrar uma decomposição de manipuladores sem nenhum manipulador de modo que a integração do campo vetorial gradiente diferente de zero de f forneça o difeomorfismo desejado para o cobordismo trivial. ${\ displaystyle f: W \ to [a, b]}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ([c, c '])}$${\ displaystyle W_ {c '}}$${\ displaystyle W_ {c}}$

Isso é conseguido por meio de uma série de técnicas.

1) Reorganização da manivela

Primeiro, queremos reorganizar todas as alças por ordem para que as alças de ordem inferior sejam anexadas primeiro. A questão é: quando podemos deslizar uma alça- i de uma alça- j ? Isso pode ser feito por uma isotopia radial, desde que a esfera de fixação i e a esfera do cinturão j não se cruzem. Queremos, portanto, o que é equivalente a . ${\ displaystyle (i-1) + (nj) \ leq \ dim \ parcial W-1 = n-1}$${\ displaystyle i \ leq j}$

Em seguida, definimos o complexo da cadeia de alça deixando ser o grupo abeliano livre nas alças k e definindo enviando uma alça k para , onde é o número de interseção da esfera de fixação k e a  esfera de cinto ( k - 1) . ${\ displaystyle (C _ {*}, \ partial _ {*})}$${\ displaystyle C_ {k}}$${\ displaystyle \ partial _ {k}: C_ {k} \ to C_ {k-1}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {k}}$${\ displaystyle \ sum _ {\ beta} \ langle h _ {\ alpha} ^ {k} \ mid h _ {\ beta} ^ {k-1} \ rangle h _ {\ beta} ^ {k-1}}$${\ displaystyle \ langle h _ {\ alpha} ^ {k} \ mid h _ {\ beta} ^ {k-1} \ rangle}$

2) Tratamento do cancelamento

Em seguida, queremos "cancelar" as alças. A ideia é que anexar uma alça- k pode criar um buraco que pode ser preenchido anexando uma  alça ( k + 1) . Isso implicaria que e, portanto, a entrada na matriz de seria . No entanto, quando essa condição é suficiente? Ou seja, quando podemos cancelar geometricamente as alças se essa condição for verdadeira? A resposta está em analisar cuidadosamente quando o manifold permanece simplesmente conectado após a remoção das esferas de fixação e da correia em questão, e encontrar um disco embutido usando o truque de Whitney . Esta análise leva ao requisito de que n deve ser pelo menos 5. Além disso, durante a prova, é necessário que o cobordismo não tenha alças 0-, 1-, n - ou ( n  + 1) que é obtido pela próxima técnica . ${\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {k}}$${\ displaystyle h _ {\ beta} ^ {k + 1}}$${\ displaystyle \ partial _ {k + 1} h _ {\ beta} ^ {k + 1} = \ pm h _ {\ alpha} ^ {k}}$${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$${\ displaystyle \ partial _ {k + 1}}$${\ displaystyle \ pm 1}$

3) Lidar com a negociação

A ideia da negociação de alças é criar um par de cancelamento de ( k  + 1) - e ( k  + 2) - alças de modo que uma determinada alça k cancele com a alça ( k  + 1) deixando para trás a ( k  + 2) )-lidar com. Para fazer isso, considere o núcleo da alça k, que é um elemento em . Este grupo é trivial, pois W é um h -cobordismo. Assim, existe um disco que pode engordar a um par de cancelamento como desejado, contanto que pode incorporar este disco para o limite de W . Esta incorporação existe se . Uma vez que estamos assumindo que n é pelo menos 5, isso significa que k é 0 ou 1. Finalmente, considerando o negativo da função de Morse fornecida, - f , podemos virar a decomposição do manipulador de cabeça para baixo e também remover o n - e ( n  + 1) - manipula conforme desejado. ${\ displaystyle \ pi _ {k} (W, M)}$${\ displaystyle D ^ {k + 1}}$${\ displaystyle \ dim \ partial W-1 = n-1 \ geq 2 (k + 1)}$

4) Alça deslizante

Finalmente, queremos ter certeza de que fazer operações de linha e coluna corresponde a uma operação geométrica. Na verdade, não é difícil mostrar (o melhor feito por um desenho) que correr um k -Identificador sobre outra k -Identificador substitui por na base de . ${\ displaystyle \ partial _ {k}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {k}}$${\ displaystyle h _ {\ beta} ^ {k}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {k}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {k} \ pm h _ {\ beta} ^ {k}}$${\ displaystyle C_ {k}}$

A prova do teorema segue agora: o complexo da cadeia de alças é exato desde então . Assim, uma vez que são gratuitos. Então , que é uma matriz inteira, restringe-se a um morfismo invertível que pode assim ser diagonalizado por meio de operações elementares de linha (deslizamento de manivela) e deve ter apenas na diagonal porque é invertível. Assim, todos os identificadores são emparelhados com um único outro identificador de cancelamento, produzindo uma decomposição sem identificadores. ${\ displaystyle H _ {*} (W, M; \ mathbb {Z}) = 0}$${\ displaystyle C_ {k} \ cong \ operatorname {coker} \ parcial _ {k + 1} \ oplus \ operatorname {im} \ parcial _ {k + 1}}$${\ displaystyle C_ {k}}$${\ displaystyle \ partial _ {k}}$${\ displaystyle \ pm 1}$

O teorema s -cobordismo

Se a suposição de que M e N estão simplesmente conectados for descartada, os h -cobordismos não precisam ser cilindros; a obstrução é exatamente a torção de Whitehead τ ( W , M ) da inclusão . ${\ displaystyle M \ hookrightarrow W}$

Precisamente, o teorema s -cobordismo (o s significa equivalência de homotopia simples ), provado independentemente por Barry Mazur , John Stallings e Dennis Barden , afirma (suposições como acima, mas onde M e N não precisam ser simplesmente conectados):

Um h -cobordismo é um cilindro se e somente se a torção de Whitehead τ ( W , M ) desaparecer.

A torção desaparece se e somente se a inclusão não for apenas uma equivalência de homotopia, mas uma equivalência de homotopia simples . ${\ displaystyle M \ hookrightarrow W}$

Observe que não é necessário presumir que a outra inclusão também é uma equivalência de homotopia simples - que segue do teorema. ${\ displaystyle N \ hookrightarrow W}$

Categoricamente, os h -cobordismos formam um grupóide .

Então, uma declaração mais precisa do teorema de s -cobordismo é que as classes de isomorfismo deste grupóide (até C -isomorfismo de h -cobordismos) são torsores para os respectivos grupos de Whitehead Wh (π), onde${\ displaystyle \ pi \ cong \ pi _ {1} (M) \ cong \ pi _ {1} (W) \ cong \ pi _ {1} (N).}$

Veja também

• Semi- s -cobordismo

Notas

Referências

• Freedman, Michael H ; Quinn, Frank (1990). Topologia de 4 variedades . Princeton Mathematical Series. 39 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3. (Isso faz o teorema para variedades topológicas de 4).
• Milnor, John , Lectures on the h-cobordism teorema , notas de L. Siebenmann e J. Sondow, Princeton University Press , Princeton, NJ, 1965. v + 116 pp. Isso dá a prova para variedades suaves.
• Rourke, Colin Patrick; Sanderson, Brian Joseph, Introdução à topologia linear por partes , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Berlin-New York, 1982. ISBN  3-540-11102-6 . Isso prova o teorema para variedades PL.
• S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math., 84 (1962) pp. 387-399
• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "h-cobordism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press