Teorema de Hahn-Banach - Hahn–Banach theorem

O teorema de Hahn-Banach é uma ferramenta central na análise funcional . Ele permite a extensão de funcionais lineares limitados definidos em um subespaço de algum espaço vetorial para todo o espaço, e também mostra que existem funcionais lineares contínuos "suficientes" definidos em cada espaço vetorial normado para tornar o estudo do espaço dual "interessante " Outra versão do teorema de Hahn-Banach é conhecida como teorema da separação de Hahn-Banach ou teorema da separação do hiperplano , e tem vários usos na geometria convexa .

História

O teorema foi nomeado em homenagem aos matemáticos Hans Hahn e Stefan Banach , que o provaram de forma independente no final dos anos 1920. O caso especial do teorema para o espaço de funções contínuas em um intervalo foi provado anteriormente (em 1912) por Eduard Helly , e um teorema de extensão mais geral, o teorema de extensão de M. Riesz , do qual o teorema de Hahn-Banach pode ser derivado , foi comprovado em 1923 por Marcel Riesz .

O primeiro teorema de Hahn-Banach foi provado por Eduard Helly em 1921, que mostrou que certos funcionais lineares definidos em um subespaço de um certo tipo de espaço normatizado ( ) tinham uma extensão da mesma norma. Helly fez isso através da técnica de primeiro provar que existe uma extensão unidimensional (onde o funcional linear tem seu domínio estendido por uma dimensão) e então usando indução . Em 1927, Hahn definiu espaços gerais de Banach e usou a técnica de Helly para provar uma versão preservadora de norma do teorema de Hahn-Banach para espaços de Banach (onde um funcional linear limitado em um subespaço tem uma extensão linear limitada da mesma norma para todo o espaço). Em 1929, Banach, que desconhecia o resultado de Hahn, generalizou-o substituindo a versão que preserva as normas pela versão de extensão dominada que usa funções sublineares . Enquanto a prova de Helly usava indução matemática, Hahn e Banach usaram indução transfinita .

O teorema de Hahn-Banach surgiu de tentativas de resolver sistemas infinitos de equações lineares. Isso é necessário para resolver problemas como o problema do momento, em que, dados todos os momentos potenciais de uma função, deve-se determinar se uma função com esses momentos existe e, em caso afirmativo, encontrá-la em termos desses momentos. Outro problema é o problema da série do cosseno de Fourier , em que dados todos os coeficientes potenciais do cosseno de Fourier deve-se determinar se uma função com esses coeficientes existe e, novamente, encontrá-la em caso afirmativo.

Riesz e Helly resolveram o problema para certas classes de espaços (como L p ([0, 1]) e C ([ a , b ])) onde descobriram que a existência de uma solução era equivalente à existência e continuidade de certos funcionais lineares. Na verdade, eles precisavam resolver o seguinte problema:

( O problema vetor ) Dada uma colecção de funcionais lineares delimitadas em um espaço normalizado X e um conjunto de escalares , determinar se existe um xX de tal forma que f i ( x ) = C i para todos os iI .

Para resolver isso, se X for reflexivo , basta resolver o seguinte problema duplo:

( O problema funcional ) Dada uma colecção de vectores num espaço normalizado X e um conjunto de escalares , determinar se existe uma delimitada linear funcional f em X , tal que f ( x i ) = c i para todos os iI .

Riesz passou a definir L p ([0, 1]) ( 1 < p <∞ ) em 1910 e os espaços l p em 1913. Ao investigar esses espaços, ele provou um caso especial do teorema de Hahn-Banach. Helly também provou um caso especial do teorema de Hahn-Banach em 1912. Em 1910, Riesz resolveu o problema funcional para alguns espaços específicos e em 1912, Helly resolveu para uma classe mais geral de espaços. Não foi até 1932 que Banach, em uma das primeiras aplicações importantes do teorema de Hahn-Banach, resolveu o problema funcional geral. O teorema a seguir estabelece o problema funcional geral e caracteriza sua solução.

Teorema  (O problema funcional)  -  Seja X um espaço normalizado real ou complexo, I um conjunto não vazio, ( c i ) iI uma família de escalares, e ( x i ) iI uma família de vetores em X .

Existe um funcional linear contínuo f em X tal que f ( x i ) = c i para todo iI se e somente se existe um K > 0 tal que para qualquer escolha de escalares ( s i ) iI onde todos mas finitamente muitos s i são 0, temos necessariamente

Pode-se usar o teorema acima para deduzir o teorema de Hahn-Banach. Se X for reflexivo, então este teorema resolve o problema do vetor.

Teorema de Hahn-Banach

Teorema (Hahn-Banach)  -  Defina K como R ou C e seja X um espaço vetorial K. Se f  : MK é um funcional K -linear em um subespaço K- linear M e p  : XR uma função sublinear não negativa, tal que

| f ( m ) | ≤ p ( m )     para todos mM .

então existe um K -linear F  : XK tal que

F ( m ) = f ( m )     para todo mM ,
| F ( x ) | ≤ p ( x )     para todos os xX .

A extensão F é, em geral, não especificado exclusivamente por f ea prova dá nenhum método explícito a respeito de como encontrar F .

É possível relaxar um pouco a condição sub aditividade em p , exigindo apenas que para todo x , yX e todos os escalares um e b satisfazendo | a | + | b | ≤ 1 ,

p ( ax + por ) ≤ | a | p ( x ) + | b | p ( y ) .

É ainda possível relaxar a homogeneidade positiva e as condições de subaditividade em p , exigindo apenas que p seja convexo.

O projeto Mizar formalizou completamente e verificou automaticamente a prova do teorema de Hahn – Banach no arquivo HAHNBAN.

Prova

No caso complexo, os C pressupostos -linearity exigir que M = N + Ni por algum espaço vectorial real N . Além disso, para todo vetor xN , f ( ix ) = if ( x ) . Assim, a parte real de um funcional linear já determina o comportamento do funcional linear como um todo, e provar o caso real será suficiente.

Primeiro, notamos o resultado inicial de Helly: se M tem codimensão 1, então Hahn-Banach é fácil.

Lema  (teorema da extensão dominada unidimensional)  -  Seja X um espaço vetorial real, p  : XR uma função sublinear, f  : MR um funcional linear em um subespaço vetorial adequado MX tal que fp em M (isto é, f ( m ) ≤ p ( m ) para todos mm ), e xX um vector não em H . Existe uma extensão linear F  : MR xR de f para MR x = span { M , x } tal que Fp em MR x .

Prova  -

Para provar este lema, deixe m , nM . Pelas propriedades de linearidade de nossas funções,

- p (- x - n ) - f ( n ) ≤ p ( m + x ) - f ( m ) .

Em particular, deixe

e
Então concluímos "a desigualdade decisiva" que para qualquer ab . Portanto, seja c ∈ [ a , b ] e defina F ( m + rx ) = f ( m ) + rc ; então
F ( m + rx ) ≤ p ( m ) + rcp ( m + rx )

A desigualdade reversa é semelhante.

Agora aplicar o lema de Zorn : as eventuais prorrogações de f são parcialmente ordenados por extensão um do outro, para que haja uma extensão máxima F . Pelo resultado da codimensão-1, se F não for definido em todos os X , então ele pode ser estendido posteriormente. Assim, F deve ser definido em todos os lugares, como afirmado.

Em espaços localmente convexos

Na forma acima, o funcional a ser estendido já deve estar limitado por uma função sublinear. Em algumas aplicações, isso pode fechar para desvirtuar a questão . No entanto, em espaços localmente convexos , qualquer funcional contínuo já está limitado pela norma , que é sublinear. Alguém assim tem

Extensões contínuas em espaços localmente convexos  -  Let X ser localmente convexa topológica vector de espaço ao longo de K (ou R ou C ), M um subespaço vector de X , e f uma funcional linear contínuo em H . Então f tem uma extensão linear contínuo a todos X . Se a topologia em X surge de uma norma , então a norma de f é preservada por esta extensão.

Em termos da teoria das categorias , o campo K é um objeto injetivo na categoria de espaços vetoriais localmente convexos.

Relação com o axioma de escolha

A prova acima usa o lema de Zorn, que é equivalente ao axioma da escolha . Sabe-se agora (veja abaixo) que o lema do ultrafiltro (ou equivalentemente, o teorema do ideal primo Booleano ), que é ligeiramente mais fraco do que o axioma de escolha, é na verdade forte o suficiente.

O teorema de Hahn-Banach é equivalente ao seguinte:

(∗): Em toda álgebra booleana B existe uma "carga de probabilidade", isto é: um mapa não constante finitamente aditivo de B em [0, 1] .

(O teorema ideal primo booleano é equivalente à afirmação de que sempre há cargas de probabilidade não constantes que assumem apenas os valores 0 e 1.)

Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , pode-se mostrar que o teorema de Hahn-Banach é suficiente para derivar a existência de um conjunto mensurável não-Lebesgue. Além disso, o teorema de Hahn-Banach implica o paradoxo de Banach-Tarski .

Para espaços separáveis ​​de Banach , DK Brown e SG Simpson provaram que o teorema de Hahn – Banach segue de WKL 0 , um subsistema fraco da aritmética de segunda ordem que assume a forma do lema de Kőnig restrito a árvores binárias como um axioma. Na verdade, eles provam que, sob um conjunto fraco de suposições, os dois são equivalentes, um exemplo de matemática reversa .

"Hahn-Banach geométrica" ​​(teoremas de separação Hahn-Banach)

O elemento-chave do teorema de Hahn-Banach é fundamentalmente um resultado sobre a separação de dois conjuntos convexos: {- p (- x - n ) - f ( n ): nM }, e { p ( m + x ) - f ( m ): mM }. Esse tipo de argumento aparece amplamente na geometria convexa , na teoria da otimização e na economia . Os lemas para esse fim derivados do teorema original de Hahn-Banach são conhecidos como teoremas de separação de Hahn-Banach .

Teorema  -  Seja X um espaço vetorial topológico localmente convexo real e sejam A e B subconjuntos convexos não vazios. Se Int Um ≠ ∅ e B ∩ Int A = ∅ então existe uma funcional linear contínuo f em X de modo a que sup f ( A ) ≤ inf f ( B ) e f ( um ) <inf f ( B ) para todos uma ∈ Int A (tal f é necessariamente diferente de zero).

Freqüentemente, supõe-se que os conjuntos convexos têm estrutura adicional; ou seja, que eles são abertos ou compactos . Nesse caso, a conclusão pode ser substancialmente reforçada:

Teorema  -  Let X ser um verdadeiro espaço vetorial topológico e escolha A , B convexas subconjuntos disjuntos não vazios de X .

  • Se A estiver aberto, A e B são separados por um hiperplano (fechado) . Explicitamente, isto significa que não existe um mapa linear contínuo f  : XK e sR tal que f ( um ) < sf ( b ) para todos umaA , bB . Se A e B estiverem abertos, o lado direito também pode ser considerado estrito.
  • Se X é localmente convexa, Um é compacta, e B fechado, em seguida, um e B são estritamente separadas : existe uma contínua linear mapa f  : XK e s , tR tal que f ( um ) < t < s < f ( b ) para todos umaa , bb .

Se X for complexo, as mesmas afirmações serão válidas, mas para a parte real de f .

Um corolário importante é conhecido como teorema geométrico de Hahn-Banach ou teorema de Mazur .

Teorema (Mazur)  -  Let M ser um subespaço vector da topológica de espaço vectorial X . Suponha que K seja um subconjunto aberto convexo não vazio de X com KM = ∅ . Depois, há um fechada hiperplana (codimens~ao-1 vetor subespaço) NX que contém M , mas a partir de restos disjuntos K .

Para ver que o teorema de Mazur segue dos teoremas de separação de Hahn-Banach, observe que M é convexo e aplique o primeiro marcador. O teorema de Mazur esclarece que subespaços de vetores (mesmo aqueles que não são fechados) podem ser caracterizados por funcionais lineares.

Corolário  (Separação de um subespaço e um conjunto convexo aberto)  -  Let X ser um espaço vectorial localmente convexa, M um subespaço vetor, e L um aberta não-vazia convexa subconjunto disjunto de M . Então existe um funcional linear contínuo f em X tal que f ( m ) = 0 para todo mM e Re f > 0 em U

Hiperplanos de suporte

Como os pontos são trivialmente convexos , o Hahn-Banach geométrico implica que os funcionais podem detectar a fronteira de um conjunto. Em particular, seja X um espaço vetorial topológico real e AX convexo com Int A ≠ ∅ . Se , em seguida, há uma funcional que está desaparecendo em um 0 , mas suportado no interior de um .

Chame um espaço normalizado de X liso se em cada ponto x em sua esfera unitária existe um hiperplano fechado exclusivo para a esfera unitária em x . Köthe mostrou em 1983 que um espaço normado é liso em um ponto x se e somente se a norma é Gateaux diferenciável naquele ponto.

Bairros balanceados ou separados

Deixe U ser um convexo equilibrada vizinhança de 0 em um localmente convexa topológica vector espaço X e suponha xX não é um elemento de U . Então existe um funcional linear contínuo f em X tal que

sup | f ( U ) | ≤ | f ( x ) | .

Formulários

O teorema de Hahn-Banach é o primeiro sinal de uma filosofia importante na análise funcional : para entender um espaço, deve-se entender seus funcionais contínuos .

Por exemplo, subespaços lineares são caracterizados por funcionais: se X é um espaço vetorial normado com subespaço linear M (não necessariamente fechado) e se z é um elemento de X não no fechamento de M , então existe um mapa linear contínuo f  : XK com f ( x ) = 0 para todo x em M , f ( z ) = 1 e || f || = dist ( z , M ) -1 . (Para ver isso, observe que dist (·, M) é uma função sublinear.) Além disso, se z é um elemento de X , então existe um mapa linear contínuo f  : XK tal que f ( z ) = || z || e || f || ≤ 1 . Isso implica que a injeção natural J de um espaço normalizado X em seu duplo dual V ′ ′ é isométrica.

Esse último resultado também sugere que o teorema de Hahn-Banach pode frequentemente ser usado para localizar uma topologia "melhor" na qual trabalhar. Por exemplo, muitos resultados na análise funcional assumem que um espaço é Hausdorff ou localmente convexo . No entanto, suponha que X seja um espaço vetorial topológico, não necessariamente de Hausdorff ou localmente convexo , mas com um conjunto aberto M não vazio, próprio, convexo . Então, o Hahn-Banach geométrico implica que há um hiperplano separando M de qualquer outro ponto. Em particular, deve existir um funcional diferente de zero em X - isto é, o espaço dual contínuo X * não é trivial. Considerando X com a topologia fraca induzida por X * , então X torna-se localmente convexo; pelo segundo marcador do Hahn-Banach geométrico, a topologia fraca neste novo espaço separa os pontos . Assim, X com essa topologia fraca torna-se Hausdorff . Isso às vezes permite que alguns resultados de espaços vetoriais topológicos localmente convexos sejam aplicados a espaços não-Hausdorff e não localmente convexos.

Equações diferenciais parciais

O teorema de Hahn-Banach é frequentemente útil quando se deseja aplicar o método de estimativas a priori . Suponha que queremos resolver o linear equação diferencial Pu = f para u , com f dada em algum espaço de Banach X . Se nós temos o controle sobre o tamanho da u em termos de e podemos pensar em u como um limitado linear funcional em um espaço adequado de funções de teste de g , então podemos ver f como um funcional linear por adjunção: . Em primeiro lugar, esta funcional é definida somente na imagem de P , mas usando o teorema Hahn-Banach, podemos tentar estender a toda a codomain X . O funcional resultante é frequentemente definido como uma solução fraca para a equação .

Caracterizando espaços reflexivos de Banach

Teorema  -  Um espaço de Banach real é reflexivo se e somente se cada par de subconjuntos convexos fechados disjuntos não vazios, um dos quais é limitado, pode ser estritamente separado por um hiperplano.

Exemplo da teoria de Fredholm

Para ilustrar uma aplicação real do teorema de Hahn-Banach, vamos agora provar um resultado que segue quase inteiramente do teorema de Hahn-Banach.

Proposição  -  Suponhamos que X é um Hausdorff localmente convexa TVS sobre o campo K e Y é um subespaço vector de X que é TVS-isomorfo a K I para alguns conjunto eu . Em seguida, Y é um fechado e complementadas subespaço vector de X .

Prova  -

Uma vez que K I é um TVS completa assim é Y , e uma vez que qualquer subconjunto completo de um Hausdorff TVS está fechada, Y é um subconjunto fechado de X . Seja f = ( f i ) iI  : YK I um isomorfismo TVS, de forma que cada f i  : YK é um funcional linear sobrejetivo contínuo. Pelo teorema Hahn-Banach, que pode estender-se cada f i a um funcional linear contínuo F i  : XK em X . Seja F  : = ( F i ) iI  : XK I então F é uma sobreposição linear contínua tal que sua restrição a Y é F | Y = ( F i | Y ) iI = ( f i ) iI = f . Segue-se que se definirmos P  : = f −1F  : XY então a restrição a Y desta aplicação linear contínua P | Y  : YY é o mapa de identidade 1 Y em Y , para P | Y = f −1F | Y = f -1f = 1 Y . Então, em particular, P é uma projeção linear contínua em Y (ou seja, PP = P ). Assim, Y é complementado em X e X = Y ⊕ ker P na categoria de TVSs. ∎

Pode-se utilizar o resultado acima para mostrar que cada sub espaço fechado vector de R N é complementado e tanto televisões de isomorfos dimensionais ou então finitos para R N .

Generalizações

Template geral

Existem agora muitas outras versões do teorema de Hahn-Banach. O modelo geral para as várias versões do teorema de Hahn – Banach apresentado neste artigo é o seguinte:

X é um espaço vetorial, p é uma função sublinear em X (possivelmente uma seminorma ), M é um subespaço vetorial de X (possivelmente fechado) ef é um funcional linear em M que satisfaz | f | ≤ p em M (e possivelmente algumas outras condições). Conclui-se então que existe uma extensão linear F de f a X tal que | F | ≤ p em X (possivelmente com propriedades adicionais).

Para seminários

Hahn – Banach para seminormes  -  Se M é um subespaço vetorial de X , p é uma seminorma em M , eq é uma seminorma em X tal que pq | M , então existe uma seminorma P em X tal que P | M = p e Pq .

A prova é executada da seguinte forma:

Lema  -  Seja M um subespaço vetorial de um espaço vetorial real ou complexo X , seja D um disco absorvente em X , e seja f um funcional linear em M tal que | f | ≤ 1 em MD . Então existe um funcional linear F em X estendendo f tal que | F | ≤ 1 em D .

seja S a casca convexa de { mM  : p ( x ) ≤ 1} ∪ { xX  : q ( x ) ≤ 1} . Observe que S é um disco absorvente em X e chame seu funcional de Minkowski q . Em seguida, p = P em H e Pq em X .

Separação geométrica

Hahn-Banach sanduíche teorema  -  Let S ser qualquer subconjunto de um vetor de reais espaço X , deixe p ser uma função sublinear em X , e deixe f  : SR ser qualquer mapa. Se existirem números positivos a e b tais que para todos os x , yS ,

então existe uma funcional linear F em X de modo a que Fp em X e fF em S .

Extensão linear máxima

Teorema  (Andenaes, 1970)  -  Seja M um subespaço vetorial de um espaço vetorial real X , p seja uma função sublinear em X , f seja um funcional linear em M tal que fp em M , e seja S qualquer subconjunto de X . Então existe um funcional linear F em X que estende f , satisfaz F ≤ p em X , e é (pontualmente) máximo no seguinte sentido: se G é um funcional linear em X estendendo f e satisfazendo Gp em X , então LF implica que L = F em S .

Vetor avaliado por Hahn – Banach

Teorema  -  Sejam X e Y espaços vetoriais sobre o mesmo campo, M um subespaço vetorial de X e f  : MY um mapa linear. Então existe um mapa linear F  : XY que estende f .

Para funções não lineares

O seguinte teorema de Mazur-Orlicz (1953) é equivalente ao teorema de Hahn-Banach.

Mazur-Orlicz teorema  -  Let T ser qualquer conjunto, r  : TR ser qualquer mapa de valor real, X ser um espaço real ou complexo vector, v  : TX ser qualquer mapa, e p ser uma função sublinear em X . Então, o seguinte é equivalente:

  1. existe um linear funcional valorizados reais- F em X de modo a que Fp em X e RFv em T ;
  2. para qualquer número inteiro positivo n , qualquer sequência s 1 , ..., s n de números reais não negativos e qualquer sequência t 1 , ..., t n de elementos de T ,

O seguinte teorema caracteriza quando qualquer função escalar em X (não necessariamente linear) tem uma extensão linear contínua para todos X .

Teorema  (O princípio extensão)  -  Que f uma função de valor escalar em um subconjunto S de um topológica de espaço vectorial X . Então existe um funcional linear contínuo F em X estendendo f se e somente se existe uma seminorma contínua p em X tal que

para todos os inteiros positivos ne todas as sequências finitas ( a i )n
i = 1
de escalares e elementos ( s i )n
i = 1
de S .

Conversar

Seja X um espaço vetorial topológico. Um subespaço vetorial M de X tem a propriedade de extensão se qualquer funcional linear contínuo em M pode ser estendido para um funcional linear contínuo em X , e dizemos que X tem a propriedade de extensão Hahn-Banach ( HBEP ) se todo subespaço vetorial de X tem a propriedade de extensão.

O teorema de Hahn-Banach garante que todo espaço localmente convexo de Hausdorff possui o HBEP. Para espaços vetoriais topológicos metrizáveis completos , há um inverso, devido a Kalton: todo TVS metrizável completo com a propriedade de extensão Hahn-Banach é localmente convexo. Por outro lado, um espaço vetorial X de dimensão incontável, dotado da melhor topologia vetorial , então este é um espaço vetorial topológico com a propriedade de extensão Hahn-Banach que não é localmente convexa nem metrizável.

Um vector subespaço H de um TVS X tem a propriedade de separação se, para cada elemento de X tal que xM , existe uma funcional linear contínuo f em X , tal que f ( x ) ≠ 0 e F ( m ) = 0 para todos mm . Claramente, o espaço dual contínuo de um TVS X separa pontos em X se e somente se {0} tem a propriedade de separação. Em 1992, Kakol provou que qualquer infinito dimensional espaço vetorial X , existem televisões de topologias em X que não têm o HBEP apesar de ter funcionais contínuos lineares suficientes para o espaço dual contínua para pontos separados em X . No entanto, se X for um TVS, então todo subespaço vetorial de X terá a propriedade de extensão se e somente se todo subespaço vetorial de X tiver a propriedade de separação.

Veja também

Referências

Bibliografia