Linha (geometria) - Line (geometry)

As linhas vermelha e azul neste gráfico têm a mesma inclinação (gradiente) ; as linhas vermelha e verde têm a mesma interceptação y (cruzam o eixo y no mesmo lugar).
Uma representação de um segmento de linha .

Na geometria, a noção de linha ou linha reta foi introduzida por matemáticos antigos para representar objetos retos (ou seja, sem curvatura ) com largura e profundidade desprezíveis. As linhas são uma idealização de tais objetos, que muitas vezes são descritos em termos de dois pontos (por exemplo, ) ou referidos usando uma única letra (por exemplo, ).

Até o século XVII, as linhas eram definidas como a "[...] primeira espécie de quantidade, que tem apenas uma dimensão, a saber, comprimento, sem largura nem profundidade, e nada mais é do que o fluxo ou percurso do ponto que [ ... sairá do seu movimento imaginário algum vestígio de comprimento, isento de qualquer largura. [...] A linha reta é aquela que se estende igualmente entre suas pontas. "

Euclides descreveu uma linha como "comprimento sem largura" que "se encontra igualmente em relação aos pontos sobre si mesma"; ele introduziu vários postulados como propriedades básicas não prováveis ​​a partir das quais ele construiu toda a geometria, que agora é chamada de geometria euclidiana para evitar confusão com outras geometrias que foram introduzidas desde o final do século 19 (como geometria não euclidiana , projetiva e afim )

Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de linha está intimamente ligado à maneira como a geometria é descrita. Por exemplo, em geometria analítica , uma linha no plano é muitas vezes definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma dada equação linear , mas em um cenário mais abstrato, como geometria de incidência , uma linha pode ser um objeto independente, distinto de o conjunto de pontos que se encontram sobre ele.

Quando uma geometria é descrita por um conjunto de axiomas , a noção de uma linha geralmente é deixada indefinida (um objeto chamado primitivo ). As propriedades das linhas são então determinadas pelos axiomas que se referem a elas. Uma vantagem dessa abordagem é a flexibilidade que ela oferece aos usuários da geometria. Assim, na geometria diferencial , uma linha pode ser interpretada como geodésica (caminho mais curto entre os pontos), enquanto em algumas geometrias projetivas , uma linha é um espaço vetorial bidimensional (todas as combinações lineares de dois vetores independentes). Essa flexibilidade também vai além da matemática e, por exemplo, permite que os físicos pensem no caminho de um raio de luz como sendo uma linha.

Definições versus descrições

Todas as definições são, em última instância , de natureza circular , uma vez que dependem de conceitos que devem ter definições, uma dependência que não pode ser continuada indefinidamente sem retornar ao ponto de partida. Para evitar esse círculo vicioso, certos conceitos devem ser tomados como conceitos primitivos ; termos que não têm definição. Na geometria, é frequente o caso de o conceito de linha ser considerado primitivo. Nas situações em que a linha é um conceito definido, como na geometria coordenada , algumas outras ideias fundamentais são consideradas primitivas. Quando o conceito de linha é primitivo, o comportamento e as propriedades das linhas são ditados pelos axiomas que devem satisfazer.

Em um tratamento não axiomático ou axiomático simplificado da geometria, o conceito de uma noção primitiva pode ser muito abstrato para ser tratado. Nessa circunstância, é possível fornecer uma descrição ou imagem mental de uma noção primitiva, para dar uma base para a construção da noção sobre a qual seria formalmente baseada nos axiomas (não declarados). Descrições deste tipo podem ser referidas, por alguns autores, como definições neste estilo informal de apresentação. Estas não são definições verdadeiras e não podem ser usadas em provas formais de afirmações. A "definição" de linha nos Elementos de Euclides se enquadra nesta categoria. Mesmo no caso em que uma geometria específica está sendo considerada (por exemplo, geometria euclidiana ), não há um acordo geralmente aceito entre os autores sobre o que uma descrição informal de uma linha deve ser quando o assunto não está sendo tratado formalmente.

Na geometria euclidiana

Quando a geometria foi formalizada pela primeira vez por Euclides nos Elementos , ele definiu uma linha geral (reta ou curva) como "comprimento sem largura", com uma linha reta sendo uma linha "que se encontra uniformemente com os pontos sobre si mesma". Essas definições têm pouca utilidade, uma vez que usam termos que não são definidos por si próprios. Na verdade, o próprio Euclides não usou essas definições nesta obra e provavelmente as incluiu apenas para deixar claro ao leitor o que estava sendo discutido. Na geometria moderna, uma linha é simplesmente considerada um objeto indefinido com propriedades dadas por axiomas , mas às vezes é definida como um conjunto de pontos obedecendo a uma relação linear quando algum outro conceito fundamental é deixado indefinido.

Em uma formulação axiomática da geometria euclidiana, como a de Hilbert (os axiomas originais de Euclides continham várias falhas que foram corrigidas por matemáticos modernos), afirma-se que uma linha tem certas propriedades que a relacionam a outras linhas e pontos . Por exemplo, para quaisquer dois pontos distintos, há uma única linha que os contém e quaisquer duas linhas distintas se cruzam em no máximo um ponto. Em duas dimensões (ou seja, o plano euclidiano ), duas linhas que não se cruzam são chamadas de paralelas . Em dimensões superiores, duas linhas que não se cruzam são paralelas se estiverem contidas em um plano ou inclinadas se não estiverem.

Qualquer coleção de linhas finitas divide o plano em polígonos convexos (possivelmente ilimitados); esta partição é conhecida como um arranjo de linhas .

Em coordenadas cartesianas

As linhas em um plano cartesiano ou, mais geralmente, em coordenadas afins , são caracterizadas por equações lineares . Mais precisamente, cada linha (incluindo linhas verticais) é o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas ( x , y ) satisfazem uma equação linear ; isso é,

onde a , b e c são números reais fixos (chamados coeficientes ) de modo que a e b não sejam ambos zero. Usando esta forma, as linhas verticais correspondem às equações com b = 0.

Pode-se ainda supor c = 1 ou c = 0 , dividindo tudo por c se não for zero.

Existem muitas maneiras variantes de escrever a equação de uma linha que podem ser convertidas de uma para outra por manipulação algébrica. O formulário acima é às vezes chamado de formulário padrão . Se o termo constante for colocado à esquerda, a equação torna-se

e isso às vezes é chamado de forma geral da equação. No entanto, essa terminologia não é universalmente aceita e muitos autores não distinguem essas duas formas.

Esses formulários (consulte Equação linear para outros formulários) geralmente são nomeados pelo tipo de informação (dados) sobre a linha necessária para escrever o formulário. Alguns dos dados importantes de uma linha são sua inclinação, interceptação x , pontos conhecidos na linha e interceptação y.

A equação da linha que passa por dois pontos diferentes e pode ser escrita como

.

Se x 0x 1 , esta equação pode ser reescrita como

ou

Equações paramétricas

Equações paramétricas também são usadas para especificar linhas, particularmente naquelas em três dimensões ou mais porque em mais de duas dimensões as linhas não podem ser descritas por uma única equação linear.

Em três dimensões, as linhas são frequentemente descritas por equações paramétricas:

Onde:

x , y e z são todas funções da variável independente t que varia sobre os números reais.
( x 0 , y 0 , z 0 ) é qualquer ponto da linha.
a , b e c estão relacionados à inclinação da linha, de modo que o vetor de direção ( a , b , c ) seja paralelo à linha.

As equações paramétricas para linhas em dimensões superiores são semelhantes, pois são baseadas na especificação de um ponto na linha e um vetor de direção.

Como uma nota, as linhas em três dimensões também podem ser descritas como as soluções simultâneas de duas equações lineares

tais que e não são proporcionais (as relações implicam ). Isso ocorre porque, em três dimensões, uma única equação linear geralmente descreve um plano e uma linha é o que é comum a dois planos que se cruzam distintos.

Forma de inclinação-interceptação

Em duas dimensões , a equação para linhas não verticais é frequentemente fornecida na forma de declive-interceptação :

Onde:

m é a inclinação ou gradiente da linha.
b é a interceptação em y da linha.
x é a variável independente da função y = f ( x ).

A inclinação da linha através dos pontos e , quando , é dada por e a equação desta linha pode ser escrita .

Forma normal

A forma normal (também chamada de forma normal de Hesse , em homenagem ao matemático alemão Ludwig Otto Hesse ), é baseada no segmento normal de uma determinada linha, que é definido como o segmento de linha traçado da origem perpendicular à linha. Este segmento une a origem com o ponto mais próximo da linha à origem. A forma normal da equação de uma linha reta no plano é dada por:

onde é o ângulo de inclinação do segmento normal (o ângulo orientado do vetor unitário do eixo x para este segmento) e p é o comprimento (positivo) do segmento normal. A forma normal pode ser derivada da forma padrão dividindo todos os coeficientes por

Ao contrário das formas de declive-interceptar e interceptam, esta forma pode representar qualquer linha, mas também requer apenas dois parâmetros finitas, e p , a ser especificados. Se p > 0 , então é definido exclusivamente o módulo 2 π . Por outro lado, se a linha passa pela origem ( c = p = 0 ), descarta-se c / | c | termo para calcular e , e segue-se que só é definido o módulo π .

Em coordenadas polares

Em um plano cartesiano , as coordenadas polares ( r , θ ) estão relacionadas às coordenadas cartesianas pelas equações

Em coordenadas polares, a equação de uma linha que não passa pela origem - o ponto com coordenadas (0, 0) - pode ser escrita

com r > 0 e Aqui, p é o comprimento (positivo) do segmento de linha perpendicular à linha e delimitado pela origem e a linha, e é o ângulo (orientado) do eixo x a este segmento.

Pode ser útil para expressar a equação em termos do ângulo entre o x -axis e a linha. Neste caso, a equação se torna

com r > 0 e

Estas equações podem ser derivados a partir da forma normal da equação de linha, definindo e e, em seguida, aplicar a identidade diferença de ângulo para seno ou co-seno.

Essas equações também podem ser comprovadas geometricamente aplicando-se definições de triângulo retângulo de seno e cosseno ao triângulo retângulo que tem um ponto da linha e a origem como vértices, e a linha e sua perpendicular através da origem como lados.

As formas anteriores não se aplicam a uma reta passando pela origem, mas uma fórmula mais simples pode ser escrita: as coordenadas polares dos pontos de uma reta passando pela origem e fazendo um ângulo com o eixo x , são os pares tais naquela

Como uma equação vetorial

A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A e B é dada por (onde λ é um escalar ).

Se um é vector de OA e b é vector OB , então a equação da linha pode ser escrita: .

Um raio começando no ponto A é descrito limitando λ. Um raio é obtido se λ ≥ 0, e o raio oposto vem de λ ≤ 0.

Em dimensões superiores

No espaço tridimensional , uma equação de primeiro grau nas variáveis x , y e z define um plano, então duas dessas equações, desde que os planos que originam não sejam paralelos, definem uma linha que é a interseção dos planos. De maneira mais geral, no espaço n- dimensional n -1 equações de primeiro grau nas variáveis ​​de coordenada n definem uma linha sob condições adequadas.

De um modo mais geral espaço euclidiano , R n (e, analogamente, em todos os outros espaço afim ), a linha L passando através de dois pontos diferentes a e b (considerado como vectores) é o subconjunto

A direção da reta vai de a ( t = 0) para b ( t = 1), ou seja, na direção do vetor b  -  a . Diferentes escolhas de a e b podem produzir a mesma linha.

Pontos colineares

Três pontos são considerados colineares se estiverem na mesma linha. Normalmente, três pontos determinam um plano , mas no caso de três pontos colineares isso não acontece.

Em coordenadas afins , no espaço n- dimensional os pontos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) e Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) são colineares se a matriz

tem uma classificação menor que 3. Em particular, para três pontos no plano ( n = 2), a matriz acima é quadrada e os pontos são colineares se e somente se seu determinante for zero.

Equivalentemente para três pontos em um plano, os pontos são colineares se e somente se a inclinação entre um par de pontos for igual à inclinação entre qualquer outro par de pontos (neste caso, a inclinação entre o par de pontos restante será igual às outras inclinações) . Por extensão, k pontos em um plano são colineares se e somente se qualquer ( k –1) pares de pontos têm as mesmas inclinações de pares.

Na geometria euclidiana , a distância euclidiana d ( a , b ) entre dois pontos a e b pode ser usada para expressar a colinearidade entre três pontos por:

Os pontos de um , b e c são colineares se e somente se d ( x , um ) = d ( C , um ) e d ( x , b ) = d ( c , b ) implica x = c .

No entanto, existem outras noções de distância (como a distância de Manhattan ) para as quais essa propriedade não é verdadeira.

Nas geometrias em que o conceito de linha é uma noção primitiva , como pode ser o caso em algumas geometrias sintéticas , outros métodos de determinação da colinearidade são necessários.

Tipos de linhas

Em certo sentido, todas as linhas na geometria euclidiana são iguais, pois, sem coordenadas, não se pode distingui-las umas das outras. No entanto, as linhas podem desempenhar papéis especiais em relação a outros objetos na geometria e ser divididas em tipos de acordo com essa relação. Por exemplo, com relação a uma cônica (um círculo , elipse , parábola ou hipérbole ), as linhas podem ser:

  • linhas tangentes , que tocam a cônica em um único ponto;
  • linhas secantes , que cruzam a cônica em dois pontos e passam por seu interior;
  • linhas externas, que não encontram a cônica em nenhum ponto do plano euclidiano; ou
  • uma diretriz , cuja distância de um ponto ajuda a estabelecer se o ponto está na cônica.

No contexto da determinação do paralelismo na geometria euclidiana, uma transversal é uma linha que cruza duas outras linhas que podem ou não ser paralelas entre si.

Para curvas algébricas mais gerais , as linhas também podem ser:

  • linhas i- secantes, encontrando a curva em i pontos contados sem multiplicidade, ou
  • assíntotas , das quais uma curva se aproxima arbitrariamente sem tocá-la.

Com relação aos triângulos , temos:

Para um quadrilátero convexo com no máximo dois lados paralelos, a linha de Newton é a linha que conecta os pontos médios das duas diagonais .

Para um hexágono com vértices situados em uma cônica, temos a linha de Pascal e, no caso especial em que a cônica é um par de linhas, temos a linha de Pappus .

Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que nunca se cruzam. As linhas que se cruzam compartilham um único ponto em comum. As linhas coincidentes coincidem - cada ponto que está em um deles também está no outro.

Linhas perpendiculares são linhas que se cruzam em ângulos retos .

No espaço tridimensional , as linhas oblíquas são linhas que não estão no mesmo plano e, portanto, não se cruzam.

Em geometria projetiva

Em muitos modelos de geometria projetiva , a representação de uma linha raramente está de acordo com a noção de "curva reta" como é visualizada na geometria euclidiana. Na geometria elíptica , vemos um exemplo típico disso. Na representação esférica da geometria elíptica, as linhas são representadas por grandes círculos de uma esfera com pontos diametralmente opostos identificados. Em um modelo diferente de geometria elíptica, as linhas são representadas por planos euclidianos que passam pela origem. Mesmo que essas representações sejam visualmente distintas, elas satisfazem todas as propriedades (como dois pontos determinando uma linha única) que as tornam representações adequadas para linhas nesta geometria.

Extensões

Raio

Dada uma linha e qualquer ponto A nela, podemos considerar A decompondo essa linha em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de raio e o ponto A é chamado de ponto inicial . É também conhecido como meia-linha , um meio-espaço unidimensional . O ponto A é considerado um membro do raio. Intuitivamente, um raio consiste naqueles pontos em uma linha que passa por A e prossegue indefinidamente, começando em A , em uma direção apenas ao longo da linha. No entanto, para usar este conceito de raio em provas, é necessária uma definição mais precisa.

Dada pontos distintos A e B , eles determinam um raio único, com ponto inicial A . Como dois pontos definir uma linha original, este raio é constituído por todos os pontos entre um e B (incluindo A e B ) e todos os pontos C na linha através de um e B de tal modo que B é entre A e C . Isto é, às vezes, também expressa como o conjunto de todos os pontos C de tal modo que um não é entre B e C . Um ponto D , na linha determinada por um e B , mas não no raio do ponto inicial Um determinado por B , vai determinar o outro raio do ponto inicial A . Com relação ao raio AB , o raio AD é chamado de raio oposto .

Raio

Assim, diríamos que dois pontos diferentes, A e B , definem uma linha e uma decomposição desta linha na união disjunta de um segmento aberto ( A ,  B ) e dois raios, BC e AD (o ponto D não é desenhado no diagrama, mas está à esquerda de A na linha AB ). Esses não são raios opostos, pois têm pontos iniciais diferentes.

Na geometria euclidiana, dois raios com uma extremidade comum formam um ângulo .

A definição de um raio depende da noção de intermediação de pontos em uma linha. Segue-se que os raios existem apenas para geometrias para as quais existe essa noção, tipicamente geometria euclidiana ou geometria afim sobre um campo ordenado . Por outro lado, os raios não existem na geometria projetiva nem na geometria sobre um campo não ordenado, como os números complexos ou qualquer campo finito .

Segmento de linha

Um segmento de linha é uma parte de uma linha que é limitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos da linha entre seus pontos finais. Dependendo de como o segmento de linha é definido, qualquer um dos dois pontos finais pode ou não fazer parte do segmento de linha. Dois ou mais segmentos de linha podem ter algumas das mesmas relações das linhas, como paralelas, intersecção ou inclinação, mas ao contrário das linhas, eles podem ser nenhum destes, se forem coplanares e não se cruzarem ou forem colineares .

Geodésica

O "encurtamento" e "retidão" de uma linha, interpretados como a propriedade de que a distância ao longo da linha entre quaisquer dois de seus pontos é minimizada (ver desigualdade triangular ), pode ser generalizada e leva ao conceito de geodésica em espaços métricos .

Veja também

Notas

Referências

links externos