Equação de Hamilton-Jacobi - Hamilton–Jacobi equation

Parte de uma série sobre
Mecânica clássica
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Segunda lei do movimento
História Linha do tempo Livros didáticos
Galhos
Fundamentos
Formulações
Tópicos centrais
Rotação
Cientistas
Portal de física  Categoria
v t e

Na física , a equação de Hamilton-Jacobi , em homenagem a William Rowan Hamilton e Carl Gustav Jacob Jacobi , é uma formulação alternativa da mecânica clássica , equivalente a outras formulações, como as leis do movimento de Newton , a mecânica de Lagrang e a mecânica de Hamilton . A equação de Hamilton-Jacobi é particularmente útil na identificação de quantidades conservadas para sistemas mecânicos, o que pode ser possível mesmo quando o problema mecânico em si não pode ser resolvido completamente.

A equação de Hamilton-Jacobi também é a única formulação da mecânica na qual o movimento de uma partícula pode ser representado como uma onda. Nesse sentido, cumpriu um objetivo de longa data da física teórica (datando pelo menos de Johann Bernoulli no século XVIII) de encontrar uma analogia entre a propagação da luz e o movimento de uma partícula. A equação de onda seguida por sistemas mecânicos é semelhante, mas não idêntica à equação de Schrödinger , conforme descrito abaixo; por esse motivo, a equação de Hamilton-Jacobi é considerada a "abordagem mais próxima" da mecânica clássica à mecânica quântica .

Em matemática , a equação de Hamilton-Jacobi é uma condição necessária para descrever a geometria extrema em generalizações de problemas a partir do cálculo de variações . Pode ser entendido como um caso especial da equação de Hamilton – Jacobi – Bellman da programação dinâmica .

Notação

Variáveis ​​em negrito, como representam uma lista de coordenadas generalizadas , ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N-1}, q_ {N})}$

Um ponto sobre uma variável ou lista significa a derivada de tempo (consulte a notação de Newton ). Por exemplo,

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}}.}$

A notação de produto escalar entre duas listas do mesmo número de coordenadas é uma forma abreviada para a soma dos produtos dos componentes correspondentes, como

${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {q} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} p_ {k} q_ {k}.}$

Função principal de Hamilton

Definição

Seja a matriz Hessiana invertível. A relação ${\ textstyle H _ {\ cal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) = \ left \ {\ partial ^ {2} {\ cal {L}} / \ parcial {\ ponto {q}} ^ {i} \ parcial {\ dot {q}} ^ {j} \ direita \} _ {ij}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ cal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i} \ partial {\ dot {q}} ^ {j}}} {\ ddot {q}} ^ {j} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ cal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i} \ parcial {q} ^ {j}}} {\ ponto {q}} ^ {j} \ direita) + {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ cal {L}}} {\ parcial {\ ponto {q}} ^ {i} \ parcial t}}, \ qquad i = 1, \ ldots, n,}$

mostra que as equações de Euler-Lagrange formam um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Inverter a matriz transforma este sistema em ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle H _ {\ cal {L}}}$

${\ displaystyle {\ ddot {q}} ^ {i} = F_ {i} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t), \ i = 1, \ ldots, n.}$

Deixe um instante de tempo e um ponto no espaço de configuração serem fixados. A existência e unicidade teoremas garantir que, para cada o problema de valor inicial com as condições e tem uma solução localmente exclusivo Além disso, que haja um suficientemente pequeno intervalo de tempo tal que extremais com diferentes velocidades iniciais não iria se cruzam em Os últimos meios que, por qualquer e qualquer pode haver no máximo um extremo para o qual e a substituição na ação funcional resulta na função principal de Hamilton ${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {0} \ in M}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0},}$${\ displaystyle \ gamma | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {q} _ {0}}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {v} _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau; t_ {0}, \ mathbf {q} _ {0}, \ mathbf {v} _ {0}).}$${\ displaystyle (t_ {0}, t_ {1})}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$${\ displaystyle M \ times (t_ {0}, t_ {1}).}$${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in M}$${\ displaystyle t \ in (t_ {0}, t_ {1}),}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau; t, t_ {0}, \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0})}$${\ displaystyle \ gamma | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {q} _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma | _ {\ tau = t} = \ mathbf {q}.}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau; t, t_ {0}, \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0})}$

Fórmula para os momentos: p _i ( q , t ) = ∂S / ∂q ⁱ

Os momentos são definidos como as quantidades. Esta seção mostra que a dependência de em desaparece, uma vez que o HPF é conhecido. ${\ textstyle p_ {i} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) = \ parcial {\ cal {L}} / \ parcial {\ ponto {q}} ^ {i} .}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}}}$

De fato, deixe um instante de tempo e um ponto no espaço de configuração serem fixados. Para cada instante de tempo e um ponto Vamos ser o extremal (único) da definição de função principal do Hamilton Chame a velocidade na . Então ${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {0}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ mathbf {q},}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau; t, t_ {0}, \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0})}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, {\ dot {\ gamma}} (\ tau; t, t_ {0}, \ mathbf {q} , \ mathbf {q} _ {0}) | _ {\ tau = t}}$${\ displaystyle \ tau = t}$

Prova  -

Enquanto a prova abaixo assume que o espaço de configuração é um subconjunto aberto da técnica subjacente se aplica igualmente a espaços arbitrários . No contexto desta prova, a letra caligráfica denota o funcional da ação, e o itálico a função principal de Hamilton. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle {\ cal {S}}}$${\ displaystyle S}$

Etapa 1. Seja um caminho no espaço de configuração e um campo vetorial ao longo . (Para cada um, o vetor é chamado de perturbação , variação infinitesimal ou deslocamento virtual do sistema mecânico no ponto ). Lembre-se de que a variação da ação no ponto da direção é dada pela fórmula ${\ displaystyle \ xi = \ xi (t)}$${\ displaystyle \ delta \ xi = \ delta \ xi (t)}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle t,}$${\ displaystyle \ delta \ xi (t)}$${\ displaystyle \ xi (t)}$ ${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ gamma, t_ {1}, t_ {0}]}$${\ displaystyle {\ cal {S}}}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ delta \ xi}$

$${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ xi, t_ {1}, t_ {0}] = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left ({\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ cal {L} }} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) \ delta \ xi \, dt + {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial \ mathbf {\ dot {q }}}} \, \ delta \ xi {\ Biggl |} _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}},}$$

onde se deve substituir e depois calcular as derivadas parciais do lado direito. (Esta fórmula segue da definição da derivada de Gateaux via integração por partes). ${\ displaystyle q ^ {i} = \ xi ^ {i} (t)}$${\ displaystyle {\ dot {q}} ^ {i} = {\ dot {\ xi}} ^ {i} (t)}$

Suponha que seja um extremo. Como agora satisfaz as equações de Euler-Lagrange, o termo integral desaparece. O ponto de partida de If é fixado, então, pela mesma lógica que foi usada para derivar as equações de Euler-Lagrange . ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {0}}$${\ displaystyle \ delta \ xi (t_ {0}) = 0.}$

$${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ xi, t; t_ {0}] = \ left. {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ parcial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right | _ {\ mathbf {\ dot {q}} = {\ dot {\ xi}} (t)} ^ {\ mathbf {q} = \ xi ( t)} \, \ delta \ xi (t).}$$

Etapa 2. Seja o (único) extremo da definição de HPF, um campo vetorial ao longo e uma variação de "compatível" com Em termos precisos,${\ displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau; \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0}, t, t_ {0})}$${\ displaystyle \ delta \ gamma = \ delta \ gamma (\ tau)}$${\ displaystyle \ gamma,}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon} = \ gamma _ {\ varepsilon} (\ tau; \ mathbf {q} _ {\ varepsilon}, \ mathbf {q} _ {0}, t, t_ {0}) }$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ delta \ gamma.}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon} | _ {\ varepsilon = 0} = \ gamma,}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {\ varepsilon} | _ {\ varepsilon = 0} = \ delta \ gamma,}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon} | _ {\ tau = t_ {0}} = \ gamma | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {q} _ {0}.}$

Por definição de HPF e derivado Gateaux,

$${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ gamma} [\ gamma, t] {\ overset {\ text {def}} {{} = {}}} \ left. {\ frac { d {\ cal {S}} [\ gamma _ {\ varepsilon}, t]} {d \ varejpsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} = \ left. {\ frac {dS (\ gamma _ { \ varepsilon} (t), t)} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} = {\ frac {\ partial S} {\ mathbf {\ partial q}}} \, \ delta \ gama (t).}$$

Aqui, levamos isso em consideração e descartamos para compactação. ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ gamma (t; \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0}, t, t_ {0})}$${\ displaystyle t_ {0}}$

Etapa 3. Agora substituímos e na expressão da Etapa 1 e comparamos o resultado com a fórmula derivada na Etapa 2. O fato de que, para o campo vetorial foi escolhido arbitrariamente, completa a prova. ${\ displaystyle \ xi = \ gamma}$${\ displaystyle \ delta \ xi = \ delta \ gamma}$${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ xi, t; t_ {0}]}$${\ displaystyle t> t_ {0},}$${\ displaystyle \ delta \ gamma}$

Formulação matemática

Dado o hamiltoniano de um sistema mecânico, a equação de Hamilton-Jacobi é uma equação diferencial parcial não linear de primeira ordem para a função principal de Hamilton , ${\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle S}$

Derivação.

Para um extremo, onde é a velocidade inicial (consulte a discussão anterior à definição de HPF), ${\ displaystyle \ xi = \ xi (t; t_ {0}, \ mathbf {q} _ {0}, \ mathbf {v} _ {0}),}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = {\ dot {\ xi}} | _ {t = t_ {0}}}$ $${\ displaystyle {\ cal {L}} (\ xi (t), {\ dot {\ xi}} (t), t) = {\ frac {dS (\ xi (t), t)} {dt} } = \ left [{\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}} \ mathbf {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} \ right] _ {\ mathbf {\ dot {q}} = {\ dot {\ xi}} (t)} ^ {\ mathbf {q} = \ xi (t)}.}$$ A partir da fórmula e da definição baseada em coordenadas do Hamiltoniano ${\ displaystyle p_ {i} = p_ {i} (\ mathbf {q}, t)}$ $${\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ mathbf {\ dot {q}} - {\ cal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t),}$$ com a satisfação do (exclusivamente solucionável para a equação obter ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}})}$${\ textstyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ cal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}},}$ $${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = {\ cal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) - {\ frac {\ parcial S} {\ mathbf {\ partial q}}} \ mathbf {\ dot {q}} = -H \ left (\ mathbf {q}, {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q} }}, t \ right),}$$ onde e${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ xi (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ dot {\ xi}} (t).}$

Alternativamente, conforme descrito abaixo, a equação de Hamilton-Jacobi pode ser derivada da mecânica hamiltoniana , tratando-se como a função geradora de uma transformação canônica do hamiltoniano clássico ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle H = H (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N}; p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {N}; t).}$

Os momentos conjugados correspondem às primeiras derivadas de em relação às coordenadas generalizadas ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle p_ {k} = {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {k}}}.}$

Como solução para a equação de Hamilton-Jacobi, a função principal contém constantes indeterminadas, a primeira delas denotada como e a última proveniente da integração de . ${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {N}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial t}}}$

A relação entre e então descreve a órbita no espaço de fase em termos dessas constantes de movimento . Além disso, as quantidades ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

${\ displaystyle \ beta _ {k} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {k}}}, \ quad k = 1,2, \ ldots, N}$

também são constantes do movimento, e essas equações podem ser invertido para encontrar em função de todos os e constantes e tempo. ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Comparação com outras formulações da mecânica

A equação de Hamilton-Jacobi é uma equação diferencial parcial única de primeira ordem para a função das coordenadas generalizadas e o tempo . Os momentos generalizados não aparecem, exceto como derivados de . Notavelmente, a função é igual à ação clássica . ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle q_ {1}, \, q_ {2}, \ dots, q_ {N}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Para comparação, nas equações de movimento de Euler-Lagrange equivalentes da mecânica de Lagrange , os momentos conjugados também não aparecem; no entanto, essas equações são um sistema de equações geralmente de segunda ordem para a evolução temporal das coordenadas generalizadas. Da mesma forma, as equações de movimento de Hamilton são outro sistema de 2 N equações de primeira ordem para a evolução temporal das coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle p_ {1}, \, p_ {2}, \ dots, p_ {N}}$

Uma vez que o HJE é uma expressão equivalente de um problema de minimização integral como o princípio de Hamilton , o HJE pode ser útil em outros problemas de cálculo de variações e, de forma mais geral, em outros ramos da matemática e da física , como sistemas dinâmicos , geometria simplética e o caos quântico . Por exemplo, as equações de Hamilton-Jacobi podem ser usadas para determinar a geodésica em uma variedade Riemanniana , um problema variacional importante na geometria Riemanniana .

Derivação usando uma transformação canônica

Qualquer transformação canônica envolvendo uma função geradora tipo 2 leva às relações ${\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ parcial G_ {2} \ over \ parcial \ mathbf {q}}, \ quad \ mathbf {Q} = {\ parcial G_ {2} \ over \ parcial \ mathbf {P }}, \ quad K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ partial G_ {2} \ over \ partial t}}$

e as equações de Hamilton em termos das novas variáveis e do novo hamiltoniano têm a mesma forma: ${\ displaystyle \ mathbf {P}, \, \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {P}}} = - {\ parcial K \ over \ partial \ mathbf {Q}}, \ quad {\ dot {\ mathbf {Q}}} = + {\ parcial K \ over \ partial \ mathbf {P}}.}$

Para derivar o HJE, uma função geradora é escolhida de tal forma que ela fará o novo hamiltoniano . Portanto, todas as suas derivadas também são zero, e as equações de Hamilton transformadas tornam-se triviais ${\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t)}$${\ displaystyle K = 0}$

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {P}}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} = 0}$

assim, as novas coordenadas generalizadas e momentos são constantes de movimento . Como são constantes, neste contexto os novos momentos generalizados são normalmente denotados , ou seja, e as novas coordenadas generalizadas são tipicamente denotadas como , so . ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {N}}$${\ displaystyle P_ {m} = \ alpha _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \, \ beta _ {2}, \ dots, \ beta _ {N}}$${\ displaystyle Q_ {m} = \ beta _ {m}}$

Configurando a função geradora igual à função principal de Hamilton, mais uma constante arbitrária : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ alpha}}, t) = S (\ mathbf {q}, t) + A,}$

o HJE surge automaticamente

${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial \ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}} \ , \ rightarrow \, H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ partial G_ {2} \ over \ partial t} = 0 \, \ rightarrow \, H \ left (\ mathbf { q}, {\ frac {\ parcial S} {\ parcial \ mathbf {q}}}, t \ direita) + {\ parcial S \ sobre \ parcial t} = 0.}$

Quando resolvidos , eles também nos fornecem as equações úteis ${\ displaystyle S (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ alpha}}, t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {Q} = {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ partial S \ over \ partial {\ boldsymbol {\ alpha}}},}$

ou escrito em componentes para maior clareza

${\ displaystyle Q_ {m} = \ beta _ {m} = {\ frac {\ partial S (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ alpha}}, t)} {\ partial \ alpha _ {m} }}.}$

Idealmente, essas N equações podem ser invertidas para encontrar as coordenadas generalizadas originais como uma função das constantes e , assim, resolver o problema original. ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}, \, {\ boldsymbol {\ beta}},}$${\ displaystyle t}$

Ação e funções de Hamilton

A função principal S de Hamilton e a função clássica H estão intimamente relacionadas à ação . O diferencial total de é: ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle dS = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {i}}} dq_ {i} + {\ frac {\ parcial S} {\ parcial t}} dt}$

então a derivada de tempo de S é

${\ displaystyle {\ frac {dS} {dt}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + { \ frac {\ partial S} {\ partial t}} = \ sum _ {i} p_ {i} {\ dot {q}} _ {i} -H = L.}$

Portanto,

${\ displaystyle S = \ int L \, dt,}$

então S é na verdade a ação clássica mais uma constante indeterminada.

Quando H não depende explicitamente do tempo,

${\ displaystyle W = S + Et = S + Ht = \ int (L + H) \, dt = \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q},}$

neste caso, W é o mesmo que ação abreviada .

Separação de variáveis

O HJE é mais útil quando pode ser resolvido por meio da separação aditiva de variáveis , que identifica diretamente constantes de movimento . Por exemplo, o tempo t pode ser separado se o hamiltoniano não depender explicitamente do tempo. Nesse caso, a derivada de tempo no HJE deve ser uma constante, geralmente denotada ( ), dando a solução separada ${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial t}}}$${\ displaystyle -E}$

${\ displaystyle S = W (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N}) - Et}$

onde a função independente do tempo é às vezes chamada de função característica de Hamilton . A equação reduzida de Hamilton-Jacobi pode então ser escrita ${\ displaystyle W (\ mathbf {q})}$

${\ displaystyle H \ left (\ mathbf {q}, {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}} \ right) = E.}$

Para ilustrar a separabilidade de outras variáveis, uma certa coordenada generalizada e sua derivada são assumidas para aparecerem juntas como uma única função ${\ displaystyle q_ {k}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {k}}}}$

${\ displaystyle \ psi \ left (q_ {k}, {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {k}}} \ right)}$

no hamiltoniano

${\ displaystyle H = H (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {k-1}, q_ {k + 1}, \ ldots, q_ {N}; p_ {1}, p_ {2 }, \ ldots, p_ {k-1}, p_ {k + 1}, \ ldots, p_ {N}; \ psi; t).}$

Nesse caso, a função S pode ser particionada em duas funções, uma que depende apenas de q _k e outra que depende apenas das demais coordenadas generalizadas

${\ displaystyle S = S_ {k} (q_ {k}) + S _ {\ text {rem}} (q_ {1}, \ ldots, q_ {k-1}, q_ {k + 1}, \ ldots, q_ {N}, t).}$

A substituição dessas fórmulas na equação de Hamilton-Jacobi mostra que a função ψ deve ser uma constante (denotada aqui como ), resultando em uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$${\ displaystyle S_ {k} (q_ {k}),}$

${\ displaystyle \ psi \ left (q_ {k}, {\ frac {dS_ {k}} {dq_ {k}}} \ right) = \ Gamma _ {k}.}$

Em casos afortunados, a função pode ser separada completamente em funções${\ displaystyle S}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle S_ {m} (q_ {m}),}$

${\ displaystyle S = S_ {1} (q_ {1}) + S_ {2} (q_ {2}) + \ cdots + S_ {N} (q_ {N}) - Et.}$

Nesse caso, o problema recai em equações diferenciais ordinárias . ${\ displaystyle N}$

A separabilidade de S depende tanto do hamiltoniano quanto da escolha das coordenadas generalizadas . Para coordenadas ortogonais e hamiltonianos que não têm dependência do tempo e são quadráticos nos momentos generalizados, será completamente separável se a energia potencial for aditivamente separável em cada coordenada, onde o termo de energia potencial para cada coordenada é multiplicado pelo fator dependente da coordenada em o termo de momento correspondente do hamiltoniano (as condições de Staeckel ). Para ilustração, vários exemplos em coordenadas ortogonais são trabalhados nas próximas seções. ${\ displaystyle S}$

Exemplos em vários sistemas de coordenadas

Coordenadas esféricas

Em coordenadas esféricas, o hamiltoniano de uma partícula livre movendo-se em um potencial conservativo U pode ser escrito

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left [p_ {r} ^ {2} + {\ frac {p _ {\ theta} ^ {2}} {r ^ {2}}} + {\ frac {p _ {\ phi} ^ {2}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ right] + U (r, \ theta, \ phi).}$

A equação de Hamilton-Jacobi é completamente separável nessas coordenadas, desde que existam funções: tais que podem ser escritas na forma análoga ${\ displaystyle U_ {r} (r), U _ {\ theta} (\ theta), U _ {\ phi} (\ phi)}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U (r, \ theta, \ phi) = U_ {r} (r) + {\ frac {U _ {\ theta} (\ theta)} {r ^ {2}}} + {\ frac {U_ {\ phi} (\ phi)} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}.}$

Substituição da solução completamente separada

${\ displaystyle S = S_ {r} (r) + S _ {\ theta} (\ theta) + S _ {\ phi} (\ phi) -Et}$

no rendimento HJE

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {r}} {dr}} \ right) ^ {2} + U_ {r} (r) + {\ frac {1 } {2mr ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dS _ {\ theta}} {d \ theta}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ theta} (\ theta) \ right ] + {\ frac {1} {2mr ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [\ left ({\ frac {dS _ {\ phi}} {d \ phi}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ phi} (\ phi) \ right] = E.}$

Esta equação pode ser resolvida por sucessivas integrações de equações diferenciais ordinárias , começando com a equação para${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ phi}} {d \ phi}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ phi} (\ phi) = \ Gamma _ {\ phi}}$

onde é uma constante do movimento que elimina a dependência da equação de Hamilton-Jacobi ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {r}} {dr}} \ right) ^ {2} + U_ {r} (r) + {\ frac {1 } {2mr ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dS _ {\ theta}} {d \ theta}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ theta} (\ theta) + { \ frac {\ Gamma _ {\ phi}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] = E.}$

A próxima equação diferencial ordinária envolve a coordenada generalizada${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ theta}} {d \ theta}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ theta} (\ theta) + {\ frac {\ Gamma _ {\ phi }} {\ sin ^ {2} \ theta}} = \ Gamma _ {\ theta}}$

onde é novamente uma constante do movimento que elimina a dependência e reduz o HJE à equação diferencial ordinária final${\ displaystyle \ Gamma _ {\ theta}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {r}} {dr}} \ right) ^ {2} + U_ {r} (r) + {\ frac {\ Gama _ {\ theta}} {2mr ^ {2}}} = E}$

cuja integração completa a solução para . ${\ displaystyle S}$

Coordenadas cilíndricas elípticas

O hamiltoniano em coordenadas cilíndricas elípticas pode ser escrito

${\ displaystyle H = {\ frac {p _ {\ mu} ^ {2} + p _ {\ nu} ^ {2}} {2ma ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ direita)}} + {\ frac {p_ {z} ^ {2}} {2m}} + U (\ mu, \ nu, z)}$

onde o focos das elipses estão localizados em na -axis. A equação de Hamilton-Jacobi é completamente separável nessas coordenadas, desde que tenha uma forma análoga ${\ displaystyle \ pm a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U (\ mu, \ nu, z) = {\ frac {U _ {\ mu} (\ mu) + U _ {\ nu} (\ nu)} {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}} + U_ {z} (z)}$

onde: , e são funções arbitrárias. Substituição da solução completamente separada ${\ displaystyle U _ {\ mu} (\ mu)}$${\ displaystyle U _ {\ nu} (\ nu)}$${\ displaystyle U_ {z} (z)}$

${\ displaystyle S = S _ {\ mu} (\ mu) + S _ {\ nu} (\ nu) + S_ {z} (z) -Et}$ nos rendimentos HJE

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {z}} {dz}} \ right) ^ {2} + U_ {z} (z) + {\ frac {1 } {2ma ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right)}} \ left [\ left ({\ frac {dS _ {\ mu}} {d \ mu}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dS _ {\ nu}} {d \ nu}} \ right) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ {\ mu} ( \ mu) + 2ma ^ {2} U _ {\ nu} (\ nu) \ direita] = E.}$

Separando a primeira equação diferencial ordinária

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {z}} {dz}} \ right) ^ {2} + U_ {z} (z) = \ Gamma _ {z }}$

produz a equação de Hamilton-Jacobi reduzida (após reorganização e multiplicação de ambos os lados pelo denominador)

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ mu}} {d \ mu}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dS _ {\ nu}} {d \ nu}} \ direita) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ {\ mu} (\ mu) + 2ma ^ {2} U _ {\ nu} (\ nu) = 2ma ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2 } \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right) \ left (E- \ Gamma _ {z} \ right)}$

que por si só pode ser separada em duas equações diferenciais ordinárias independentes

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ mu}} {d \ mu}} \ right) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ {\ mu} (\ mu) + 2ma ^ {2} \ left (\ Gamma _ {z} -E \ right) \ sinh ^ {2} \ mu = \ Gamma _ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ nu}} {d \ nu}} \ right) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ {\ nu} (\ nu) + 2ma ^ {2} \ left (\ Gamma _ {z} -E \ right) \ sin ^ {2} \ nu = \ Gamma _ {\ nu}}$

que, quando resolvidos, fornecem uma solução completa para . ${\ displaystyle S}$

Coordenadas cilíndricas parabólicas

O hamiltoniano em coordenadas cilíndricas parabólicas pode ser escrito

${\ displaystyle H = {\ frac {p _ {\ sigma} ^ {2} + p _ {\ tau} ^ {2}} {2m \ left (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ right) }} + {\ frac {p_ {z} ^ {2}} {2m}} + U (\ sigma, \ tau, z).}$

A equação de Hamilton-Jacobi é completamente separável nessas coordenadas, desde que tenha uma forma análoga ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U (\ sigma, \ tau, z) = {\ frac {U _ {\ sigma} (\ sigma) + U _ {\ tau} (\ tau)} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ { 2}}} + U_ {z} (z)}$

onde , e são funções arbitrárias. Substituição da solução completamente separada ${\ displaystyle U _ {\ sigma} (\ sigma)}$${\ displaystyle U _ {\ tau} (\ tau)}$${\ displaystyle U_ {z} (z)}$

${\ displaystyle S = S _ {\ sigma} (\ sigma) + S _ {\ tau} (\ tau) + S_ {z} (z) -Et + {\ text {constante}}}$

no rendimento HJE

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {z}} {dz}} \ right) ^ {2} + U_ {z} (z) + {\ frac {1 } {2m \ left (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ right)}} \ left [\ left ({\ frac {dS _ {\ sigma}} {d \ sigma}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dS _ {\ tau}} {d \ tau}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ sigma} (\ sigma) + 2mU _ {\ tau} (\ tau) \ direita] = E.}$

Separando a primeira equação diferencial ordinária

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {z}} {dz}} \ right) ^ {2} + U_ {z} (z) = \ Gamma _ {z }}$

produz a equação de Hamilton-Jacobi reduzida (após reorganização e multiplicação de ambos os lados pelo denominador)

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ sigma}} {d \ sigma}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dS _ {\ tau}} {d \ tau}} \ direita) ^ {2} + 2mU _ {\ sigma} (\ sigma) + 2mU _ {\ tau} (\ tau) = 2m \ esquerda (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ direita) \ esquerda ( E- \ Gamma _ {z} \ right)}$

que por si só pode ser separada em duas equações diferenciais ordinárias independentes

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ sigma}} {d \ sigma}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ sigma} (\ sigma) + 2m \ sigma ^ {2} \ left ( \ Gamma _ {z} -E \ right) = \ Gamma _ {\ sigma}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dS _ {\ tau}} {d \ tau}} \ right) ^ {2} + 2mU _ {\ tau} (\ tau) + 2m \ tau ^ {2} \ left ( \ Gamma _ {z} -E \ right) = \ Gamma _ {\ tau}}$

que, quando resolvidos, fornecem uma solução completa para . ${\ displaystyle S}$

Ondas e partículas

Frentes e trajetórias de ondas ópticas

O HJE estabelece uma dualidade entre trajetórias e frentes de onda. Por exemplo, em óptica geométrica, a luz pode ser considerada como “raios” ou ondas. A frente de onda pode ser definida como a superfície que a luz emitida em determinado momento atingiu . Os raios de luz e as frentes de onda são duais: se um é conhecido, o outro pode ser deduzido. ${\ textstyle {\ cal {C}} _ ​​{t}}$${\ textstyle t = 0}$${\ textstyle t}$

Mais precisamente, a óptica geométrica é um problema variacional onde a "ação" é o tempo de viagem ao longo de um caminho,${\ textstyle T}$

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {c}} \ int _ {A} ^ {B} n \, ds}$$

e é um comprimento de arco infinitesimal. A partir da formulação acima, pode-se calcular os caminhos dos raios usando a formulação de Euler-Lagrange; alternativamente, pode-se calcular as frentes de onda resolvendo a equação de Hamilton-Jacobi. Conhecer um leva a conhecer o outro. ${\ textstyle n}$${\ textstyle ds}$

A dualidade acima é muito geral e se aplica a todos os sistemas que derivam de um princípio variacional: calcule as trajetórias usando as equações de Euler-Lagrange ou as frentes de onda usando a equação de Hamilton-Jacobi.

A frente de onda no tempo , para um sistema inicialmente no tempo , é definida como a coleção de pontos desse tipo . Se for conhecido, o momento é deduzido imediatamente.${\ textstyle t}$${\ textstyle \ mathbf {q} _ {0}}$${\ textstyle t_ {0}}$${\ textstyle \ mathbf {q}}$${\ textstyle S (\ mathbf {q}, t) = {\ text {const}}}$${\ textstyle S (\ mathbf {q}, t)}$

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}}.}$$

Uma vez conhecido, tangentes às trajetórias são calculadas resolvendo a equação${\ textstyle \ mathbf {p}}$${\ textstyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = {\ boldsymbol {p}}}$$

pois , onde está o Lagrangiano. As trajetórias são então recuperadas do conhecimento de . ${\ textstyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$${\ textstyle {\ cal {L}}}$${\ textstyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$

Relação com a equação de Schrödinger

Mais informações: Aproximação Eikonal

As isosuperfícies da função podem ser determinadas em qualquer momento

de uma onda ${\ displaystyle S (\ mathbf {q}, t)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

${\ displaystyle \ psi = \ psi _ {0} e ^ {iS / \ hbar}}$

onde é uma constante (constante de

. A equação de Hamilton-Jacobi é então reescrita como ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi -U \ psi = {\ frac {\ hbar} {i}} {\ frac {\ partial \ psi } {\ parcial t}}}$

que é a equação de Schrödinger .

Por outro lado, começando com a equação de Schrödinger e nosso ansatz para , pode-se deduzir que ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left (\ nabla S \ right) ^ {2} + U + {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = {\ frac {i \ hbar } {2m}} \ nabla ^ {2} S.}$

O limite clássico ( ) da equação de Schrödinger acima torna-se idêntico à seguinte variante da equação de Hamilton-Jacobi, ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left (\ nabla S \ right) ^ {2} + U + {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = 0.}$

Formulários

HJE em um campo gravitacional

Usando a relação energia-momento na forma

${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} P _ {\ alpha} P _ {\ beta} - (mc) ^ {2} = 0}$

para uma partícula de massa de

da ação , ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle P _ {\ alpha}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle P _ {\ alpha} = - {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ alpha}}}}$

dá a equação de Hamilton-Jacobi na geometria determinada pela métrica : ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ beta}}} - (mc) ^ {2} = 0,}$

em outras palavras, em um campo gravitacional .

HJE em campos eletromagnéticos

Para uma partícula de massa de

no vácuo, a equação de Hamilton-Jacobi em geometria determinada pelo tensor métrico tem uma forma ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle A_ {i} = (\ phi, \ mathrm {A})}$${\ displaystyle g ^ {ik} = g_ {ik}}$

${\ displaystyle g ^ {ik} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {e} {c}} A_ {i} \ right) \ left ( {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {k}}} + {\ frac {e} {c}} A_ {k} \ right) = m ^ {2} c ^ {2}}$

e pode ser resolvido para a função de ação principal de Hamilton para obter uma solução adicional para a trajetória e o momento da partícula: ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle x = - {\ frac {e} {c \ gamma}} \ int A_ {z} \, d \ xi,}$

${\ displaystyle y = - {\ frac {e} {c \ gamma}} \ int A_ {y} \, d \ xi,}$

${\ displaystyle z = - {\ frac {e ^ {2}} {2c ^ {2} \ gamma ^ {2}}} \ int (\ mathrm {A} ^ {2} - {\ overline {\ mathrm { A} ^ {2}}}) \, d \ xi,}$

${\ displaystyle \ xi = ct - {\ frac {e ^ {2}} {2 \ gamma ^ {2} c ^ {2}}} \ int (\ mathrm {A} ^ {2} - {\ overline { \ mathrm {A} ^ {2}}}) \, d \ xi,}$

${\ displaystyle p_ {x} = - {\ frac {e} {c}} A_ {x}}$, ${\ displaystyle p_ {y} = - {\ frac {e} {c}} A_ {y},}$

${\ displaystyle p_ {z} = {\ frac {e ^ {2}} {2 \ gamma c}} (\ mathrm {A} ^ {2} - {\ overline {\ mathrm {A} ^ {2}} }),}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = c \ gamma + {\ frac {e ^ {2}} {2 \ gamma c}} (\ mathrm {A} ^ {2} - {\ overline {\ mathrm { A} ^ {2}}}),}$

onde e com a média do ciclo do potencial vetorial. ${\ displaystyle \ xi = ct-z}$${\ displaystyle \ gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + {\ frac {e ^ {2}} {c ^ {2}}} {\ overline {A}} ^ {2} }$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {A}}}}$

Uma onda circularmente polarizada

No caso de polarização circular ,

${\ displaystyle E_ {x} = E_ {0} \ sin \ omega \ xi _ {1}}$, ${\ displaystyle E_ {y} = E_ {0} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle A_ {x} = {\ frac {cE_ {0}} {\ omega}} \ cos \ omega \ xi _ {1}}$, ${\ displaystyle A_ {y} = - {\ frac {cE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1}.}$

Portanto

${\ displaystyle x = - {\ frac {ecE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle y = - {\ frac {ecE_ {0}} {\ omega}} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle p_ {x} = - {\ frac {eE_ {0}} {\ omega}} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle p_ {y} = {\ frac {eE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

onde , implicando a partícula se movendo ao longo de uma trajetória circular com um raio permanente e um valor invariável de momento direcionado ao longo de um vetor de campo magnético. ${\ displaystyle \ xi _ {1} = \ xi / c}$${\ displaystyle ecE_ {0} / \ gamma \ omega ^ {2}}$${\ displaystyle eE_ {0} / \ omega ^ {2}}$

Uma onda plana monocromática linearmente polarizada

Para a onda plana, monocromática e linearmente polarizada com um campo direcionado ao longo do eixo${\ displaystyle E}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle E_ {y} = E_ {0} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle A_ {y} = - {\ frac {cE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

portanto

${\ displaystyle x = {\ text {const}},}$

${\ displaystyle y_ {0} = - {\ frac {ecE_ {0}} {\ gamma \ omega ^ {2}}},}$

${\ displaystyle y = y_ {0} \ cos \ omega \ xi _ {1}}$, ${\ displaystyle z = C_ {z} y_ {0} \ sin 2 \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle C_ {z} = {\ frac {eE_ {0}} {8 \ gamma \ omega}}}$, ${\ displaystyle \ gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + {\ frac {e ^ {2} E_ {0} ^ {2}} {2 \ omega ^ {2}}}, }$

${\ displaystyle p_ {x} = 0,}$

${\ displaystyle p_ {y, 0} = {\ frac {eE_ {0}} {\ omega}},}$

${\ displaystyle p_ {y} = p_ {y, 0} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle p_ {z} = - 2C_ {z} p_ {y, 0} \ cos 2 \ omega \ xi _ {1}}$

implicando a trajetória da partícula em 8 com um longo eixo orientado ao longo do vetor de campo elétrico . ${\ displaystyle E}$

Uma onda eletromagnética com um campo magnético solenoidal

Para a onda eletromagnética com campo magnético axial (solenoidal):

${\ displaystyle E = E _ {\ phi} = {\ frac {\ omega \ rho _ {0}} {c}} B_ {0} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle A _ {\ phi} = - \ rho _ {0} B_ {0} \ sin \ omega \ xi _ {1} = - {\ frac {L_ {s}} {\ pi \ rho _ {0} N_ {s}}} I_ {0} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

portanto

${\ displaystyle x = {\ text {constant}},}$

${\ displaystyle y_ {0} = - {\ frac {e \ rho _ {0} B_ {0}} {\ gamma \ omega}},}$

${\ displaystyle y = y_ {0} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle z = C_ {z} y_ {0} \ sin 2 \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle C_ {z} = {\ frac {e \ rho _ {0} B_ {0}} {8c \ gamma}},}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + {\ frac {e ^ {2} \ rho _ {0} ^ {2} B_ {0} ^ {2}} { 2c ^ {2}}},}$

${\ displaystyle p_ {x} = 0,}$

${\ displaystyle p_ {y, 0} = {\ frac {e \ rho _ {0} B_ {0}} {c}},}$

${\ displaystyle p_ {y} = p_ {y, 0} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

${\ displaystyle p_ {z} = - 2C_ {z} p_ {y, 0} \ cos 2 \ omega \ xi _ {1},}$

onde é a magnitude do campo magnético em um solenóide com o raio efetivo , indutividade , número de enrolamentos e uma magnitude da corrente elétrica através dos enrolamentos do solenóide. O movimento da partícula ocorre ao longo da trajetória da figura 8 no plano perpendicular ao eixo do solenóide com ângulo de azimute arbitrário devido à simetria axial do campo magnético do solenóide. ${\ displaystyle B_ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle L_ {s}}$${\ displaystyle N_ {s}}$${\ displaystyle I_ {0}}$${\ displaystyle yz}$${\ displaystyle \ varphi}$

Veja também

• Transformação canônica
• Constante de movimento
• Campo de vetor hamiltoniano
• Equação de Hamilton-Jacobi-Einstein
• Aproximação WKB
• Coordenadas do ângulo de ação

Referências

Leitura adicional

• Hamilton, W. (1833). "Sobre um método geral de expressão dos caminhos da luz e dos planetas pelos coeficientes de uma função característica" (PDF) . Revisão da Universidade de Dublin : 795–826.
• Hamilton, W. (1834). "Sobre a aplicação à dinâmica de um método matemático geral anteriormente aplicado à óptica" (PDF) . Relatório da British Association : 513–518.
• Fetter, A. & Walecka, J. (2003). Mecânica Teórica de Partículas e Continua . Dover Books. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Mecânica . Amsterdã: Elsevier.
• Sakurai, JJ (1985). Mecânica Quântica Moderna . Benjamin / Cummings Publishing. ISBN 978-0-8053-7501-5.
• Jacobi, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik , CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (em alemão), Berlin: G. Reimer, OL  14009561M
• Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "The Early History of Hamilton-Jacobi Dynamics". Centaurus . 44 (3–4): 161–227. doi : 10.1111 / j.1600-0498.2002.tb00613.x . PMID  17357243 .