Mecânica hamiltoniana - Hamiltonian mechanics

Sir William Rowan Hamilton

A mecânica hamiltoniana surgiu em 1833 como uma reformulação da mecânica Lagrangiana . Introduzido por Sir William Rowan Hamilton , a mecânica hamiltoniana substitui as velocidades (generalizadas) usadas na mecânica Lagrangiana por momentos (generalizados) . Ambas as teorias fornecem interpretações da mecânica clássica e descrevem os mesmos fenômenos físicos.

A mecânica hamiltoniana tem uma relação próxima com a geometria (notadamente, geometria simplética e estruturas de Poisson ) e serve como um elo entre a mecânica clássica e quântica .

Visão geral

Coordenadas do espaço de fase (p, q) e Hamiltoniano H

Deixe ser um sistema mecânico com o espaço de configuração e o Lagrangiano suave Selecione um sistema de coordenadas padrão em As quantidades são chamadas de momentos . (Também momentos generalizados , momentos conjugados e momentos canônicos ). Por um instante, a transformação de Legendre é definida como o mapa que assumiremos ter um inverso suave. Para um sistema com graus de liberdade, a mecânica de Lagrange define a função de energia

O inverso da transformação de Legendre se transforma em uma função conhecida como Hamiltoniana . Formalmente,

o que implica que

onde as velocidades são encontradas a partir da equação ( -dimensional) que, por suposição, é exclusivamente solucionável para O par ( -dimensional) é chamado de coordenadas do espaço de fase . (Também coordenadas canônicas ).

Observação de terminologia. Algumas fontes definem a transformação de Legendre como um funcional dependente do tempo

onde, como antes, a função satisfaz Sob a última definição, o Hamiltoniano é a transformação de Legendre do Lagrangiano

Da equação de Euler-Lagrange às equações de Hamilton

Nas coordenadas do espaço de fase, a equação de Euler-Lagrange ( -dimensional)

torna-se as equações de Hamilton em dimensões

Do princípio da ação estacionária às equações de Hamilton

Let Ser o conjunto de caminhos suaves para os quais e A ação funcional é definida via

onde e (veja acima). Um caminho é um ponto estacionário de (e, portanto, é uma equação de movimento) se e somente se o caminho nas coordenadas do espaço de fase obedece às equações de Hamilton.

Interpretação física básica

Uma interpretação simples da mecânica hamiltoniana vem de sua aplicação em um sistema unidimensional que consiste em uma partícula de massa m . O valor do hamiltoniano é a energia total do sistema, ou seja, a soma da energia cinética e potencial , tradicionalmente denotada por T e V , respectivamente. Aqui p é o momento mv e q é o espaço de coordenadas. Então

T é uma função de p sozinho, enquanto V é uma função de q sozinho (isto é, T e V são escleronômicos ).

Neste exemplo, a derivada temporal do momento p é igual à força newtoniana e, portanto, a primeira equação de Hamilton significa que a força é igual ao gradiente negativo de energia potencial. A derivada de tempo de q é a velocidade e, portanto, a segunda equação de Hamilton significa que a velocidade da partícula é igual à derivada de sua energia cinética em relação ao seu momento.

Exemplo

Um pêndulo esférico consiste em uma massa m movendo-se sem atrito na superfície de uma esfera . As únicas forças que agem sobre a massa são a reação da esfera e da gravidade . Coordenadas esféricas são usadas para descrever a posição da massa em termos de ( r , θ , φ ), onde r é fixo, r = l .

Pêndulo esférico : ângulos e velocidades.

O Lagrangiano para este sistema é

Assim, o hamiltoniano é

Onde

e

Em termos de coordenadas e momentos, o hamiltoniano lê

As equações de Hamilton fornecem a evolução temporal das coordenadas e momentos conjugados em quatro equações diferenciais de primeira ordem,

.

O momento , que corresponde ao componente vertical do momento angular , é uma constante de movimento. Isso é uma consequência da simetria rotacional do sistema em torno do eixo vertical. Estando ausente do hamiltoniano, o azimute é uma coordenada cíclica , o que implica a conservação de seu momento conjugado.

Derivando as equações de Hamilton

As equações de Hamilton podem ser derivadas observando como a diferença total da Lagrangiana depende do tempo, das posições generalizadas q i e das velocidades generalizadas i :

Os momentos generalizados foram definidos como

Se isso for substituído no diferencial total da Lagrangiana, obtém-se

Isso pode ser reescrito como

que após a reorganização leva a

O termo do lado esquerdo é apenas o hamiltoniano que foi definido antes, portanto

Também é possível calcular o diferencial total do Hamiltoniano H em relação ao tempo diretamente, semelhante ao que foi realizado com o Lagrangeano L acima, resultando em:

Conclui-se das duas equações independentes anteriores que seus lados direitos são iguais entre si. O resultado é

Uma vez que este cálculo foi feito fora da casca (ou seja, sem levar em consideração as equações de movimento), pode-se associar os termos correspondentes de ambos os lados desta equação para produzir:

No shell, as equações de Lagrange indicam que

Um rearranjo disso resulta

Assim, as equações de Hamilton são

As equações de Hamilton consistem em 2 n equações diferenciais de primeira ordem , enquanto as equações de Lagrange consistem em n equações de segunda ordem. As equações de Hamilton geralmente não reduzem a dificuldade de encontrar soluções explícitas, mas ainda oferecem algumas vantagens: Resultados teóricos importantes podem ser derivados, porque coordenadas e momentos são variáveis ​​independentes com papéis quase simétricos.

As equações de Hamilton têm outra vantagem sobre as equações de Lagrange: se um sistema tem uma simetria, de forma que uma coordenada não ocorre no hamiltoniano, o momento correspondente é conservado e essa coordenada pode ser ignorada nas outras equações do conjunto. Isso efetivamente reduz o problema de n coordenadas para ( n - 1) coordenadas. Na estrutura Lagrangiana, o resultado de que o momento correspondente é conservado ainda segue imediatamente, mas todas as velocidades generalizadas ainda ocorrem na Lagrangiana. Um sistema de equações em n coordenadas ainda precisa ser resolvido. As abordagens Lagrangiana e Hamiltoniana fornecem a base para resultados mais profundos na teoria da mecânica clássica e para as formulações da mecânica quântica.

Propriedades do hamiltoniano H

  • O valor do hamiltoniano é a energia total do sistema se e somente se a função de energia tiver a mesma propriedade. (Veja a definição de
  • nas soluções das equações de Hamilton.
Na verdade, e tudo, exceto o termo final, se cancela.
  • não muda sob transformações de ponto , ou seja, mudanças suaves de coordenadas espaciais. (Decorre da invariância da função de energia sob transformações de ponto. A invariância de pode ser estabelecida diretamente).
  • (Veja Derivando as equações de Hamilton).
  • (Compare as equações de Hamilton e de Euler-Lagrange ou consulte Derivando as equações de Hamilton).
  • se e apenas se
A coordenada para a qual isso é verdadeiro é chamada de cíclica (ou ignorável ). Cada coordenada cíclica reduz o número de graus de liberdade ao fazer com que o momento correspondente seja conservado e torna as equações de Hamilton mais fáceis de resolver.

Hamiltoniano de uma partícula carregada em um campo eletromagnético

Uma ilustração suficiente da mecânica hamiltoniana é dada pelo hamiltoniano de uma partícula carregada em um campo eletromagnético . Em coordenadas cartesianas, a Lagrangiana de uma partícula clássica não relativística em um campo eletromagnético é (em unidades SI ):

onde q é a carga elétrica da partícula, φ é o potencial escalar elétrico e A i são os componentes do potencial do vetor magnético que podem explicitamente depender de e .

Esta Lagrangiana, combinada com a equação de Euler-Lagrange , produz a lei de força de Lorentz

e é chamado de acoplamento mínimo .

Observe que os valores do potencial escalar e do potencial vetorial mudariam durante uma transformação de calibre , e o próprio Lagrangiano pegaria termos extras também; Mas os termos extras em Lagrange somam uma derivada de tempo total de uma função escalar e, portanto, não mudam a equação de Euler-Lagrange.

Os momentos canônicos são dados por:

Observe que os momentos canônicos não são invariantes no medidor e não são mensuráveis ​​fisicamente. No entanto, o momento cinético :

é invariável no medidor e fisicamente mensurável.

O Hamiltoniano, como a transformação de Legendre do Lagrangiano, é, portanto:

Essa equação é usada com frequência na mecânica quântica .

Sob transformação de medidor :

onde f ( r , t) é qualquer função escalar de espaço e tempo, os momentos Lagrangianos, canônicos e hamiltonianos mencionados transformados como:

que ainda produz a mesma equação de Hamilton:

Em mecânica quântica, da função de onda também irá sofrer um local de L (1) transformação do grupo durante a transformação do calibre, o que implica que todos os resultados físicos deve ser invariante sob transformações (1) locais U.

Partícula carregada relativística em um campo eletromagnético

O Lagrangiano relativístico para uma partícula ( massa de repouso e carga ) é dado por:

Assim, o momento canônico da partícula é

isto é, a soma do momento cinético e do momento potencial.

Resolvendo a velocidade, obtemos

Então o hamiltoniano é

Isso resulta na equação de força (equivalente à equação de Euler-Lagrange )

de onde se pode derivar

A derivação acima faz uso da identidade do cálculo vetorial :

Uma expressão equivalente para o hamiltoniano em função do momento relativístico (cinético) , é

Isso tem a vantagem de que o momento cinético pode ser medido experimentalmente, enquanto o momento canônico não. Observe que o hamiltoniano ( energia total ) pode ser visto como a soma da energia relativista (cinética + resto) , mais a energia potencial , .

Da geometria simplética às equações de Hamilton

Geometria de sistemas hamiltonianos

O hamiltoniano pode induzir uma estrutura simplética em uma variedade uniforme e uniforme M 2 n de várias maneiras diferentes, mas equivalentes, as mais conhecidas entre as quais são as seguintes:

Como uma forma 2 simplética fechada não degenerada ω. De acordo com o teorema de Darboux , em uma pequena vizinhança em torno de qualquer ponto em M em coordenadas locais adequadas existe a forma simplética

As coordenadas locais p , q são então chamadas canônicas ou simpléticas .

A forma permite construir um isomorfismo naturais do espaço tangente e o espaço cotangent Isto é feito através do mapeamento de um vector para a 1-forma , onde para uma arbitrária Devido à bilinearity e não degenerescência de e o facto de que o mapeamento é de facto um isomorfismo linear . Este isomorfismo é natural porque não muda com a mudança de coordenadas na repetição para cada terminamos com um isomorfismo entre o espaço de dimensão infinita de campos vetoriais suaves e aquele de formas 1 suaves. Para todo e

(Em termos algébricos, dir-se-ia que os -módulos e são isomórficos). Se então, para cada fixo e é conhecido como um campo vetorial hamiltoniano . A respectiva equação diferencial em

é chamada de equação de Hamilton . Aqui e está o valor (dependente do tempo) do campo vetorial em

Um sistema hamiltoniano pode ser entendido como um feixe de fibras E ao longo do tempo R , com as fibras E t , tR , sendo o espaço de posição. O Lagrangiano é, portanto, uma função no feixe de jato J sobre E ; tomar a transformada de Legendre fibrosa da Lagrangiana produz uma função no feixe dual ao longo do tempo, cuja fibra em t é o espaço cotangente T E t , que vem equipado com uma forma simplética natural , e esta última função é a Hamiltoniana. A correspondência entre a mecânica Lagrangiana e a Hamiltoniana é alcançada com a forma única tautológica .

Qualquer função suave de valor real H em uma variedade simplética pode ser usada para definir um sistema hamiltoniano . A função H é conhecida como "o hamiltoniano" ou "a função de energia". A variedade simplética é então chamada de espaço de fase . O hamiltoniano induz um campo vetorial especial na variedade simplética, conhecido como campo vetorial hamiltoniano .

O campo vetorial hamiltoniano induz um fluxo hamiltoniano na variedade. Esta é uma família de transformações de um parâmetro da variedade (o parâmetro das curvas é comumente chamado de "o tempo"); em outras palavras, uma isotopia de simplectomorfismos , a partir da identidade. Pelo teorema de Liouville , cada simplectomorfismo preserva a forma do volume no espaço de fase . A coleção de simplectomorfismos induzidos pelo fluxo hamiltoniano é comumente chamada de "mecânica hamiltoniana" do sistema hamiltoniano.

A estrutura simplética induz um colchete de Poisson . O colchete de Poisson fornece ao espaço de funções na variedade a estrutura de uma álgebra de Lie .

Se F e G são funções suaves em M, então a função suave ω 2 ( IdG , IdF ) está adequadamente definida; é chamado de colchete de Poisson das funções F e G e é denotado { F , G }. O colchete de Poisson tem as seguintes propriedades:

  1. bilinearidade
  2. antissimetria
  3. ( Regra de Leibniz )
  4. ( Identidade Jacobi )
  5. não degenerescência: se o ponto x em M não é crítico para F, então existe uma função suave G tal que .

Dada uma função f

se houver uma distribuição de probabilidade , ρ , então (uma vez que a velocidade do espaço de fase tem divergência zero e a probabilidade é conservada), sua derivada convectiva pode ser mostrada como zero e assim

Isso é chamado de teorema de Liouville . Cada função suave G sobre a variedade simplética gera uma família de simplectomorfismos de um parâmetro e se { G , H } = 0 , então G é conservado e os simplectomorfismos são transformações de simetria .

Um hamiltoniano pode ter várias quantidades conservadas G i . Se a variedade simplética tem dimensão 2 ne existem n quantidades conservadas funcionalmente independentes G i que estão em involução (isto é, { G i , G j } = 0 ), então o hamiltoniano é Liouville integrável . O teorema de Liouville-Arnold diz que, localmente, qualquer hamiltoniano integrável de Liouville pode ser transformado por meio de um simplectomorfismo em um novo hamiltoniano com as quantidades conservadas G i como coordenadas; as novas coordenadas são chamadas de coordenadas do ângulo de ação . O hamiltoniano transformado depende apenas do G i e, portanto, as equações de movimento têm a forma simples

para alguma função F . Existe um campo inteiro focado em pequenos desvios de sistemas integráveis ​​regidos pelo teorema KAM .

A integrabilidade dos campos vetoriais hamiltonianos é uma questão em aberto. Em geral, os sistemas hamiltonianos são caóticos ; conceitos de medida, completude, integrabilidade e estabilidade são mal definidos.

Variedades Riemannianas

Um caso especial importante consiste naqueles hamiltonianos que são formas quadráticas , ou seja, hamiltonianos que podem ser escritos como

onde ⟨,⟩ q é um produto interno que varia suavemente nas fibras T
q
Q
, o espaço cotangente ao ponto q no espaço de configuração , às vezes chamado de cométrico. Este hamiltoniano consiste inteiramente no termo cinético .

Se considerarmos uma variedade Riemanniana ou uma variedade pseudo-Riemanniana , a métrica Riemanniana induz um isomorfismo linear entre os feixes tangente e cotangente. (Veja isomorfismo musical ). Usando este isomorfismo, pode-se definir uma cométrica. (Em coordenadas, a matriz que define a cométrica é o inverso da matriz que define a métrica.) As soluções para as equações de Hamilton-Jacobi para este hamiltoniano são as mesmas que as geodésicas na variedade. Em particular, o fluxo hamiltoniano, neste caso, é a mesma coisa que o fluxo geodésico . A existência de tais soluções e a integridade do conjunto de soluções são discutidas em detalhes no artigo sobre geodésicas . Veja também Geodésica como fluxos hamiltonianos .

Variedades sub-riemannianas

Quando o cométrico é degenerado, ele não é invertível. Nesse caso, não se tem uma variedade Riemanniana, pois não se tem uma métrica. No entanto, o hamiltoniano ainda existe. No caso em que o cométrico é degenerado em todos os pontos q da variedade do espaço de configuração Q , de modo que o posto do cométrico é menor que a dimensão da variedade Q , tem-se uma variedade sub-Riemanniana .

O Hamiltoniano, neste caso, é conhecido como um Hamiltoniano sub-Riemanniano . Cada um desses hamiltonianos determina exclusivamente o cométrico e vice-versa. Isso implica que cada variedade sub-Riemanniana é determinada exclusivamente por seu hamiltoniano sub-Riemanniano, e que o inverso é verdadeiro: cada variedade sub-Riemanniana tem um hamiltoniano sub-Riemanniano único. A existência de geodésicas sub-Riemannianas é dada pelo teorema de Chow-Rashevskii .

O grupo contínuo de Heisenberg com valor real fornece um exemplo simples de uma variedade sub-Riemanniana. Para o grupo de Heisenberg, o hamiltoniano é dado por

p z não está envolvido no hamiltoniano.

Álgebras de Poisson

Os sistemas hamiltonianos podem ser generalizados de várias maneiras. Em vez de simplesmente olhando para a álgebra de funções suaves sobre uma variedade simplética , mecânica hamiltoniana pode ser formulada em geral comutativos unital verdadeira álgebras de Poisson . Um estado é um contínuo linear funcional na álgebra de Poisson (equipado com alguns adequado topologia ) de tal modo que para qualquer elemento Uma da álgebra, A 2 mapeia para um número real não-negativo.

Uma outra generalização é dada pela dinâmica de Nambu .

Generalização para a mecânica quântica através do colchete de Poisson

As equações de Hamilton acima funcionam bem para a mecânica clássica , mas não para a mecânica quântica , uma vez que as equações diferenciais discutidas assumem que se pode especificar a posição exata e o momento da partícula simultaneamente em qualquer ponto no tempo. No entanto, as equações podem ser mais generalizado para então ser estendido para aplicar a mecânica quântica, bem como para a mecânica clássica, por meio da deformação da álgebra de Poisson mais de p e q para o álgebra de suportes Moyal .

Especificamente, a forma mais geral da equação de Hamilton é

onde F é uma função de p e q , e H é o hamiltoniano. Para descobrir as regras para avaliar um colchete de Poisson sem recorrer a equações diferenciais, consulte Álgebra de Lie ; um colchete de Poisson é o nome do colchete de Lie em uma álgebra de Poisson . Esses colchetes de Poisson podem então ser estendidos para colchetes de Moyal que comportam uma álgebra de Lie inequivalente, como provado por Hilbrand J. Groenewold , e assim descrever a difusão mecânica quântica no espaço de fase (ver a formulação do espaço de fase e a transformada de Wigner-Weyl ). Esta abordagem mais algébrica não só permite, em última análise, estender as distribuições de probabilidade no espaço de fase para distribuições de quase probabilidade de Wigner , mas, no mero ajuste clássico de colchetes de Poisson, também fornece mais poder para ajudar a analisar as quantidades conservadas relevantes em um sistema.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos