Análise harmônica -Harmonic analysis

A análise harmônica é um ramo da matemática preocupado com a investigação das conexões entre uma função e sua representação em frequência . A representação de frequência é encontrada usando a transformada de Fourier para funções na linha real ou a série de Fourier para funções periódicas. A generalização dessas transformadas para outros domínios é geralmente chamada de análise de Fourier , embora o termo às vezes seja usado de forma intercambiável com a análise harmônica. A Análise Harmônica tornou-se um vasto assunto com aplicações em áreas tão diversas quanto a teoria dos números , teoria da representação , processamento de sinal , mecânica quântica , análise de marés e neurociência .

O termo " harmônicos " originou-se da palavra grega antiga harmonikos , que significa "hábil em música". Em problemas físicos de autovalor , passou a significar ondas cujas frequências são múltiplos inteiros umas das outras, assim como as frequências dos harmônicos das notas musicais , mas o termo foi generalizado além de seu significado original.

A transformada de Fourier clássica em R n ainda é uma área de pesquisa em andamento, particularmente no que diz respeito à transformação de Fourier em objetos mais gerais, como distribuições temperadas . Por exemplo, se impusermos alguns requisitos em uma distribuição f , podemos tentar traduzir esses requisitos em termos da transformada de Fourier de f . O teorema de Paley-Wiener é um exemplo disso. O teorema de Paley-Wiener imediatamente implica que se f é uma distribuição diferente de zero de suporte compacto (isso inclui funções de suporte compacto), então sua transformada de Fourier nunca é suportada compactamente (ou seja, se um sinal é limitado em um domínio, é ilimitado no outro). Esta é uma forma muito elementar de um princípio de incerteza em um cenário de análise harmônica.

A série de Fourier pode ser convenientemente estudada no contexto dos espaços de Hilbert , o que fornece uma conexão entre a análise harmônica e a análise funcional . Existem quatro versões da transformada de Fourier, dependendo dos espaços que são mapeados pela transformação:

Análise harmônica abstrata

Um dos ramos mais modernos da análise harmônica, com raízes em meados do século XX, é a análise de grupos topológicos . As idéias motivadoras centrais são as várias transformadas de Fourier , que podem ser generalizadas para uma transformada de funções definidas em grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff .

A teoria para grupos abelianos localmente compactos é chamada de dualidade de Pontryagin .

A análise harmônica estuda as propriedades dessa dualidade e transformada de Fourier e tenta estender esses recursos para diferentes configurações, por exemplo, para o caso de grupos de Lie não abelianos .

Para grupos localmente compactos não abelianos gerais, a análise harmônica está intimamente relacionada à teoria das representações de grupos unitários. Para grupos compactos, o teorema de Peter-Weyl explica como se pode obter harmônicos escolhendo uma representação irredutível de cada classe de equivalência de representações. Essa escolha de harmônicos desfruta de algumas das propriedades úteis da transformada de Fourier clássica em termos de transportar convoluções para produtos pontuais ou, de outra forma, mostrar uma certa compreensão da estrutura de grupo subjacente. Veja também: Análise harmônica não comutativa .

Se o grupo não é nem abeliano nem compacto, nenhuma teoria geral satisfatória é atualmente conhecida ("satisfatório" significa pelo menos tão forte quanto o teorema de Plancherel ). No entanto, muitos casos específicos foram analisados, por exemplo SL n . Nesse caso, as representações em dimensões infinitas desempenham um papel crucial.

Outros ramos

Análise harmônica aplicada

Sinal de tempo do contrabaixo da nota Lá de corda aberta (55 Hz)
Transformada de Fourier do sinal de tempo do contrabaixo da nota Lá de corda aberta (55 Hz)

Muitas aplicações da análise harmônica na ciência e na engenharia começam com a ideia ou hipótese de que um fenômeno ou sinal é composto de uma soma de componentes oscilatórios individuais. As marés oceânicas e as cordas vibrantes são exemplos comuns e simples. A abordagem teórica é muitas vezes tentar descrever o sistema por uma equação diferencial ou sistema de equações para prever as características essenciais, incluindo a amplitude, frequência e fases dos componentes oscilatórios. As equações específicas dependem do campo, mas as teorias geralmente tentam selecionar equações que representam os principais princípios aplicáveis.

A abordagem experimental é geralmente adquirir dados que quantifiquem com precisão o fenômeno. Por exemplo, em um estudo de marés, o experimentalista adquiriria amostras da profundidade da água em função do tempo em intervalos espaçados suficientemente próximos para ver cada oscilação e durante uma duração suficientemente longa para incluir vários períodos oscilatórios. Em um estudo sobre cordas vibrantes, é comum que o experimentalista adquira uma forma de onda sonora amostrada a uma taxa pelo menos duas vezes maior que a da frequência mais alta esperada e por uma duração muitas vezes maior que o período da frequência mais baixa esperada.

Por exemplo, o sinal superior à direita é uma forma de onda sonora de um contrabaixo tocando uma corda aberta correspondente a uma nota lá com uma frequência fundamental de 55 Hz. A forma de onda parece oscilatória, mas é mais complexa do que uma simples onda senoidal, indicando a presença de ondas adicionais. Os diferentes componentes de onda que contribuem para o som podem ser revelados pela aplicação de uma técnica de análise matemática conhecida como transformada de Fourier , cujo resultado é mostrado na figura abaixo. Observe que há um pico proeminente em 55 Hz, mas há outros picos em 110 Hz, 165 Hz e em outras frequências correspondentes a múltiplos inteiros de 55 Hz. Nesse caso, 55 Hz é identificado como a frequência fundamental da vibração da corda e os múltiplos inteiros são conhecidos como harmônicos .

Veja também

Referências

Bibliografia

links externos