Medida de Hausdorff - Hausdorff measure

Em matemática , a medida de Hausdorff é uma generalização das noções tradicionais de área e volume para dimensões não inteiras, especificamente fractais e suas dimensões de Hausdorff . É um tipo de medida externa , nomeada em homenagem a Felix Hausdorff , que atribui um número em [0, ∞] a cada conjunto em ou, mais geralmente, em qualquer espaço métrico . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

A medida de dimensão zero de Hausdorff é o número de pontos no conjunto (se o conjunto for finito) ou ∞ se o conjunto for infinito. Da mesma forma, a medida de Hausdorff unidimensional de uma curva simples em é igual ao comprimento da curva, e a medida de Hausdorff bidimensional de um subconjunto mensurável de Lebesgue de é proporcional à área do conjunto. Assim, o conceito de medida de Hausdorff generaliza a medida de Lebesgue e suas noções de contagem, comprimento e área. Também generaliza o volume. Na verdade, existem medidas de Hausdorff d- dimensionais para qualquer d ≥ 0, que não é necessariamente um número inteiro. Essas medidas são fundamentais na teoria das medidas geométricas . Eles aparecem naturalmente na análise harmônica ou na teoria do potencial . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Definição

Deixe ser um espaço métrico . Para qualquer subconjunto , vamos denotar seu diâmetro, que é ${\ displaystyle (X, \ rho)}$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ ${\ displaystyle \ mathrm {diam} \; U}$

{\ displaystyle \ operatorname {diam} U: = \ sup \ {\ rho (x, y): x, y \ in U \}, \ quad \ operatorname {diam} \ emptyset: = 0}

Let Ser qualquer subconjunto de e um número real. Definir ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$

{\ displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S) = \ inf \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (\ operatorname {diam} U_ {i}) ^ {d} : \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} U_ {i} \ supseteq S, \ operatorname {diam} U_ {i} <\ delta \ right \},}

onde o ínfimo está acima de todas as capas contáveis de conjuntos satisfatórios . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ subset X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} U_ {i} <\ delta}$

Observe que é monótono e não aumenta, pois quanto maior , mais conjuntos de conjuntos são permitidos, fazendo com que o ínfimo não seja maior. Assim, existe , mas pode ser infinito. Deixar ${\ displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$

{\ displaystyle H ^ {d} (S): = \ sup _ {\ delta> 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S) = \ lim _ {\ delta \ to 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S).}

Pode-se ver que é uma medida externa (mais precisamente, é uma medida externa métrica ). Pelo teorema de extensão de Carathéodory , sua restrição ao campo σ dos conjuntos mensuráveis de Carathéodory é uma medida. É o chamado - medida Hausdorff dimensional de . Devido à propriedade de medida externa métrica , todos os subconjuntos de Borel são mensuráveis. ${\ displaystyle H ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle H ^ {d}}$

Na definição acima, os conjuntos na cobertura são arbitrários.

Porém, podemos exigir que os conjuntos de coberturas sejam abertos ou fechados, ou em espaços normados até mesmo convexos, que produzirão os mesmos números, portanto, a mesma medida. Ao restringir os conjuntos de cobertura a bolas, pode-se alterar as medidas, mas não altera a dimensão dos conjuntos medidos. ${\ displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Propriedades das medidas de Hausdorff

Observe que se d é um número inteiro positivo, a medida d dimensional de Hausdorff de é um reescalonamento da medida de Lebesgue d- dimensional usual que é normalizada de modo que a medida de Lebesgue do cubo unitário [0,1] ^d é 1. Na verdade, para qualquer conjunto E do Borel , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {d}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {d} (E) = 2 ^ {- d} \ alpha _ {d} H ^ {d} (E),}

onde α _d é o volume da unidade d- bola ; pode ser expresso usando a função gama de Euler

{\ displaystyle \ alpha _ {d} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {1} {2}}) ^ {d}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} + 1) }} = {\ frac {\ pi ^ {d / 2}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} + 1)}}.}

Observação . Alguns autores adotam uma definição de medida de Hausdorff ligeiramente diferente da escolhida aqui, a diferença é que ela é normalizada de tal forma que a medida d- dimensional de Hausdorff no caso do espaço euclidiano coincide exatamente com a medida de Lebesgue.

Relação com a dimensão de Hausdorff

Acontece que pode ter um valor finito diferente de zero para no máximo um . Ou seja, a Medida de Hausdorff é zero para qualquer valor acima de certa dimensão e infinito abaixo de certa dimensão, análogo à ideia de que a área de uma linha é zero e o comprimento de uma forma 2D é, em certo sentido, infinito. Isso leva a uma das várias definições equivalentes possíveis da dimensão de Hausdorff: ${\ displaystyle H ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle \ dim _ {\ mathrm {Haus}} (S) = \ inf \ {d \ geq 0: H ^ {d} (S) = 0 \} = \ sup \ left (\ {d \ geq 0 : H ^ {d} (S) = \ infty \} \ xícara \ {0 \} \ direita),}

onde nós levamos

{\ displaystyle \ inf \ emptyset = \ infty.}

Observe que não é garantido que a medida de Hausdorff deva ser finita e diferente de zero para algum d , e de fato a medida na dimensão de Hausdorff ainda pode ser zero; neste caso, a dimensão de Hausdorff ainda atua como um ponto de inflexão entre as medidas de zero e infinito.

Generalizações

Na teoria da medida geométrica e campos relacionados, o conteúdo de Minkowski é freqüentemente usado para medir o tamanho de um subconjunto de um espaço de medida métrica. Para domínios adequados no espaço euclidiano, as duas noções de tamanho coincidem, até normalizações gerais dependendo das convenções. Mais precisamente, um subconjunto de é considerado -rectificável se for a imagem de um conjunto limitado em uma função de Lipschitz . Se , então, o conteúdo de Minkowski dimensional de um subconjunto retificável fechado de é igual a vezes a medida de Hausdorff dimensional ( Federer 1969 , Teorema 3.2.29). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle m <n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- m} \ alpha _ {m}}$ ${\ displaystyle m}$

Na geometria fractal , alguns fractais com dimensão de Hausdorff têm medida de Hausdorff de dimensão zero ou infinita . Por exemplo, quase certamente a imagem do movimento browniano planar tem dimensão de Hausdorff 2 e sua medida de Hausdorff bidimensional é zero. A fim de "medir" o "tamanho" de tais conjuntos, os matemáticos consideraram a seguinte variação na noção da medida de Hausdorff: ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle d}$

Na definição da medida é substituída por onde qualquer função monótona crescente do conjunto satisfaz

{\ displaystyle (\ operatorname {diam} U_ {i}) ^ {d}}

{\ displaystyle \ phi (U_ {i}),}

{\ displaystyle \ phi}

{\ displaystyle \ phi (\ emptyset) = 0.}

Esta é a medida de Hausdorff com função de calibre ou medida -Hausdorff. Um conjunto dimensional pode satisfazer, mas com um apropriado. Exemplos de funções de medidor incluem ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ phi,}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle H ^ {d} (S) = 0,}$ ${\ displaystyle H ^ {\ phi} (S) \ in (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ phi.}$

{\ displaystyle \ phi (t) = t ^ {2} \ log \ log {\ frac {1} {t}} \ quad {\ text {ou}} \ quad \ phi (t) = t ^ {2} \ log {\ frac {1} {t}} \ log \ log \ log {\ frac {1} {t}}.}

O primeiro dá quase certamente uma medida positiva e definitiva para o caminho browniano em quando , e o último quando . ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n> 2}$ ${\ displaystyle n = 2}$

Veja também

Referências

Evans, Lawrence C .; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoria da Medida e Propriedades Finas de Funções , CRC Press.
Federer, Herbert (1969), Teoria da medida geométrica , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1-2): 157-179, doi : 10.1007 / BF01457179.
Morgan, Frank (1988), Teoria da Medida Geométrica , Academic Press.
Rogers, CA (1998), medidas de Hausdorff , Cambridge Mathematical Library (3ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
Szpilrajn, E (1937), "La dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89, doi : 10.4064 / fm-28-1-81-89.

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