Equação de calor - Heat equation

Gráfico animado da evolução da temperatura em uma placa de metal quadrada conforme previsto pela equação do calor. A altura e a vermelhidão indicam a temperatura em cada ponto. O estado inicial tem uma região em forma de casco uniformemente quente (vermelho) rodeada por uma região uniformemente fria (amarelo). Com o passar do tempo, o calor se difunde para a região fria.

Em matemática e física , a equação do calor é uma certa equação diferencial parcial . As soluções da equação do calor às vezes são conhecidas como funções calóricas . A teoria da equação do calor foi desenvolvida pela primeira vez por Joseph Fourier em 1822 com o propósito de modelar como uma quantidade, como o calor, se difunde por uma determinada região.

Como equação diferencial parcial parabólica prototípica , a equação do calor está entre os tópicos mais amplamente estudados na matemática pura e sua análise é considerada fundamental para o campo mais amplo das equações diferenciais parciais . A equação do calor também pode ser considerada em variedades Riemannianas , levando a muitas aplicações geométricas. Seguindo o trabalho de Subbaramiah Minakshisundaram e Åke Pleijel , a equação do calor está intimamente relacionada com a geometria espectral . Uma variante não linear seminal da equação do calor foi introduzida na geometria diferencial por James Eells e Joseph Sampson em 1964, inspirando a introdução do fluxo de Ricci por Richard Hamilton em 1982 e culminando na prova da conjectura de Poincaré por Grigori Perelman em 2003. Certo soluções da equação do calor conhecidas como núcleos de calor fornecem informações sutis sobre a região em que são definidos, conforme exemplificado por meio de sua aplicação ao teorema do índice de Atiyah-Singer .

A equação do calor, junto com suas variantes, também é importante em muitos campos da ciência e da matemática aplicada . Na teoria da probabilidade , a equação do calor está conectada ao estudo de passeios aleatórios e movimento browniano por meio da equação de Fokker-Planck . A equação de Black-Scholes da matemática financeira é uma pequena variante da equação do calor, e a equação de Schrödinger da mecânica quântica pode ser considerada uma equação do calor no tempo imaginário . Na análise de imagens , a equação do calor às vezes é usada para resolver a pixelização e identificar bordas . Seguindo a introdução de Robert Richtmyer e John von Neumann dos métodos de "viscosidade artificial", soluções de equações de calor têm sido úteis na formulação matemática de choques hidrodinâmicos . Soluções da equação do calor também receberam muita atenção na literatura de análise numérica , começando na década de 1950 com o trabalho de Jim Douglas, DW Peaceman e Henry Rachford Jr.

Declaração da equação

Em matemática, se dado um subconjunto aberto U de R n e um subintervalo I de R , diz-se que uma função u  : U × IR é uma solução da equação do calor se

onde ( x 1 ,…, x n , t ) denota um ponto geral do domínio. É típico referir-se a t como "tempo" ex 1 , ..., x n como "variáveis ​​espaciais", mesmo em contextos abstratos onde essas frases falham em ter seu significado intuitivo. A coleção de variáveis ​​espaciais é freqüentemente referida simplesmente como x . Para qualquer dado valor de T , do lado direito da equação é a laplaciana da função u (⋅, t ): LR . Como tal, a equação do calor é muitas vezes escrita de forma mais compacta como

Em contextos de física e engenharia, especialmente no contexto de difusão através de um meio, é mais comum fixar um sistema de coordenadas cartesianas e então considerar o caso específico de uma função u ( x , y , z , t ) de três variáveis ​​espaciais ( x , y , z ) e a variável de tempo t . Diz-se então que u é uma solução da equação do calor se

em que α é um coeficiente positivo denominado difusividade térmica do meio. Além de outros fenômenos físicos, esta equação descreve o fluxo de calor em um meio homogêneo e isotrópico, com u ( x , y , z , t ) sendo a temperatura no ponto ( x , y , z ) e no tempo t . Se o meio não for homogêneo e isotrópico, então α não seria um coeficiente fixo e, em vez disso, dependeria de ( x , y , z ) ; a equação também teria uma forma ligeiramente diferente. Na literatura de física e engenharia, é comum usar 2 para denotar o Laplaciano, ao invés de .

Em matemática, bem como em física e engenharia, é comum usar a notação de Newton para derivadas de tempo, de modo que é usado para denotar ∂u/∂t. Observe também que a capacidade de usar ou 2 para denotar o Laplaciano, sem referência explícita às variáveis ​​espaciais, é um reflexo do fato de que o Laplaciano é independente da escolha do sistema de coordenadas. Em termos matemáticos, dir-se-ia que o Laplaciano é "invariante em termos de translação e rotação". Na verdade, é (falando vagamente) o operador diferencial mais simples que possui essas simetrias. Isso pode ser tomado como uma justificativa significativa (e puramente matemática) do uso do Laplaciano e da equação do calor na modelagem de quaisquer fenômenos físicos homogêneos e isotrópicos, dos quais a difusão do calor é o principal exemplo.

A "constante de difusividade" α freqüentemente não está presente em estudos matemáticos da equação do calor, enquanto seu valor pode ser muito importante na engenharia. Esta não é uma grande diferença, pelo seguinte motivo. Vamos u ser uma função com

Defina uma nova função . Então, de acordo com a regra da cadeia , tem-se

 

 

 

 

( )

Assim, existe uma maneira direta de traduzir entre soluções da equação do calor com um valor geral de α e soluções da equação do calor com α = 1 . Assim, para fins de análise matemática, muitas vezes é suficiente considerar apenas o caso α = 1 .

Uma vez que existe outra opção para definir um satisfatório como em ( ) acima, definindo . Observe que os dois meios possíveis de definir a nova função discutida aqui equivalem, em termos físicos, a alterar a unidade de medida de tempo ou a unidade de medida de comprimento.

Interpretação

Interpretação física da equação

Informalmente, o operador Laplaciano fornece a diferença entre o valor médio de uma função na vizinhança de um ponto e seu valor naquele ponto. Assim, se u é a temperatura, diz se (e em quanto) o material ao redor de cada ponto é mais quente ou mais frio, em média, do que o material naquele ponto.

Pela segunda lei da termodinâmica , o calor fluirá de corpos mais quentes para corpos adjacentes mais frios, em proporção à diferença de temperatura e da condutividade térmica do material entre eles. Quando o calor flui para dentro (respectivamente, para fora de) um material, sua temperatura aumenta (respectivamente, diminui), em proporção à quantidade de calor dividido pela quantidade ( massa ) de material, com um fator de proporcionalidade chamado de capacidade de calor específica do material.

Pela combinação dessas observações, a equação do calor diz que a taxa na qual o material em um ponto vai aquecer (ou esfriar) é proporcional a quanto mais quente (ou mais frio) está o material circundante. O coeficiente α na equação leva em consideração a condutividade térmica, o calor específico e a densidade do material.

Interpretação matemática da equação

A primeira metade do pensamento físico acima pode ser colocada em uma forma matemática. A chave é que, para qualquer x fixo , um tem

onde u ( x ) ( r ) é a função de variável única denotando o valor médio de u sobre a superfície da esfera de raio r centrada em x ; pode ser definido por

em que ω n - 1 denota a área da superfície da bola unitária no espaço euclidiano n- dimensional. Isso formaliza a afirmação acima de que o valor de u em um ponto x mede a diferença entre o valor de u ( x ) e o valor de u em pontos próximos a x , no sentido de que o último é codificado pelos valores de u ( x ) ( r ) para pequenos valores positivos de r .

Seguindo esta observação, pode-se interpretar a equação do calor como impondo uma média infinitesimal de uma função. Dada uma solução da equação do calor, o valor de u ( x , t + τ) para um pequeno valor positivo de τ pode ser aproximado como1/2 nvezes o valor médio da função u (⋅, t ) sobre uma esfera de raio muito pequeno centrado em x .

Caráter das soluções

Solução de uma equação diferencial parcial de calor 1D. A temperatura ( ) é inicialmente distribuída em um intervalo unidimensional de uma unidade de comprimento ( x  = [0,1]) com pontos finais isolados. A distribuição se aproxima do equilíbrio ao longo do tempo.
O comportamento da temperatura quando os lados de uma haste 1D estão em temperaturas fixas (neste caso, 0,8 e 0 com distribuição gaussiana inicial). A temperatura se aproxima de uma função linear porque essa é a solução estável da equação: sempre que a temperatura tem uma segunda derivada espacial diferente de zero, a derivada de tempo também é diferente de zero.

A equação do calor implica que os picos ( máximos locais ) de serão gradualmente erodidos, enquanto as depressões ( mínimos locais ) serão preenchidos. O valor em algum ponto permanecerá estável apenas enquanto for igual ao valor médio em seu imediato arredores. Em particular, se os valores em uma vizinhança estiverem muito próximos de uma função linear , o valor no centro dessa vizinhança não mudará naquele momento (ou seja, a derivada será zero).

Uma consequência mais sutil é o princípio do máximo , que diz que o valor máximo de em qualquer região do meio não ultrapassará o valor máximo que ocorreu anteriormente , a menos que esteja no limite de . Ou seja, a temperatura máxima em uma região pode aumentar apenas se o calor vier de fora . Esta é uma propriedade das equações diferenciais parciais parabólicas e não é difícil de provar matematicamente (veja abaixo).

Outra propriedade interessante é que, mesmo se inicialmente houver um salto acentuado (descontinuidade) de valor em alguma superfície dentro do meio, o salto é imediatamente suavizado por uma taxa momentânea, infinitesimalmente curta, mas infinitamente grande de fluxo de calor através dessa superfície. Por exemplo, se dois corpos isolados, inicialmente em temperaturas uniformes, mas diferentes e , são feitos para se tocar, a temperatura no ponto de contato assumirá imediatamente algum valor intermediário, e uma zona se desenvolverá em torno desse ponto onde irá variar gradualmente entre e .

Se uma certa quantidade de calor for repentinamente aplicada a um ponto do meio, ele se espalhará em todas as direções na forma de uma onda de difusão . Ao contrário das ondas elásticas e eletromagnéticas , a velocidade de uma onda de difusão diminui com o tempo: à medida que se espalha por uma região maior, o gradiente de temperatura diminui e, portanto, o fluxo de calor também diminui.

Exemplos específicos

Fluxo de calor em uma haste uniforme

Para o fluxo de calor, a equação do calor segue as leis físicas de condução de calor e conservação de energia ( Cannon 1984 ).

Pela lei de Fourier para um meio isotrópico, a taxa de fluxo de energia térmica por unidade de área através de uma superfície é proporcional ao gradiente negativo de temperatura através dela:

onde é a condutividade térmica do material, é a temperatura e é um campo vetorial que representa a magnitude e a direção do fluxo de calor no ponto do espaço e do tempo .

Se o meio é uma haste fina de seção e material uniformes, a posição é uma única coordenada , o fluxo de calor em direção ao aumento é um campo escalar e o gradiente é uma derivada comum em relação ao . A equação se torna

Seja a energia térmica interna por unidade de volume da barra em cada ponto e tempo. Na ausência de geração de energia térmica, de fontes externas ou internas, a taxa de variação da energia térmica interna por unidade de volume no material ,, é proporcional à taxa de variação de sua temperatura ,. Isso é,

onde é a capacidade térmica específica (a pressão constante, no caso de um gás) e é a densidade (massa por unidade de volume) do material. Esta derivação assume que o material tem densidade de massa e capacidade de calor constantes através do espaço e também do tempo.

Aplicando a lei da conservação de energia a um pequeno elemento do meio centrado em , conclui-se que a taxa na qual o calor se acumula em um determinado ponto é igual à derivada do fluxo de calor naquele ponto, negado. Isso é,

Das equações acima, segue-se que

que é a equação do calor em uma dimensão, com coeficiente de difusividade

Essa quantidade é chamada de difusividade térmica do meio.

Contabilizando a perda radiativa

Um termo adicional pode ser introduzido na equação para contabilizar a perda radiativa de calor. De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann , este termo é , onde está a temperatura do ambiente, e é um coeficiente que depende das propriedades físicas do material. A taxa de mudança na energia interna torna-se

e a equação para a evolução de torna-se

Meio isotrópico não uniforme

Observe que a equação de estado, dada pela primeira lei da termodinâmica (isto é, conservação de energia), é escrita da seguinte forma (assumindo nenhuma transferência de massa ou radiação). Esta forma é mais geral e particularmente útil para reconhecer qual propriedade (por exemplo, c p ou ) influencia qual termo.

onde está a fonte de calor volumétrico.

Problema tridimensional

Nos casos especiais de propagação de calor em um meio isotrópico e homogêneo em um espaço tridimensional , esta equação é

Onde:

  • é a temperatura em função do espaço e do tempo;
  • é a taxa de variação da temperatura em um ponto ao longo do tempo;
  • , , E são as segundas espaciais derivados ( condução da térmicos ) de temperatura nos , e instruções, respectivamente;
  • é a difusividade térmica , uma quantidade específica do material que depende da condutividade térmica , da capacidade de calor específica e da densidade de massa .

A equação do calor é uma consequência da lei de condução de Fourier (ver condução de calor ).

Se o meio não for o espaço inteiro, para resolver a equação do calor exclusivamente, também precisamos especificar as condições de contorno para u . Para determinar a unicidade das soluções em todo o espaço, é necessário assumir condições adicionais, por exemplo, um limite exponencial no crescimento das soluções ou uma condição de sinal (soluções não negativas são únicas por um resultado de David Widder ).

As soluções da equação do calor são caracterizadas por um alisamento gradual da distribuição inicial da temperatura pelo fluxo de calor das áreas mais quentes para as mais frias de um objeto. Geralmente, muitos estados e condições iniciais diferentes tenderão para o mesmo equilíbrio estável . Como conseqüência, reverter a solução e concluir algo sobre tempos anteriores ou condições iniciais da distribuição de calor atual é muito impreciso, exceto durante os períodos de tempo mais curtos.

A equação do calor é o exemplo prototípico de uma equação diferencial parcial parabólica .

Usando o operador de Laplace , a equação do calor pode ser simplificada e generalizada para equações semelhantes em espaços de número arbitrário de dimensões, como

onde o operador de Laplace, Δ ou ∇ 2 , a divergência do gradiente, é considerado nas variáveis ​​espaciais.

A equação do calor governa a difusão do calor, bem como outros processos difusivos, como a difusão de partículas ou a propagação do potencial de ação nas células nervosas. Embora não sejam de natureza difusiva, alguns problemas de mecânica quântica também são governados por um análogo matemático da equação do calor (veja abaixo). Também pode ser usado para modelar alguns fenômenos que surgem nas finanças , como os processos Black – Scholes ou Ornstein-Uhlenbeck . A equação e vários análogos não lineares também foram usados ​​na análise de imagens.

A equação do calor é, tecnicamente, uma violação da relatividade especial , porque suas soluções envolvem a propagação instantânea de uma perturbação. A parte da perturbação fora do cone de luz dianteiro geralmente pode ser negligenciada com segurança, mas se for necessário desenvolver uma velocidade razoável para a transmissão de calor, um problema hiperbólico deve ser considerado - como uma equação diferencial parcial envolvendo uma segunda ordem derivada do tempo. Alguns modelos de condução de calor não linear (que também são equações parabólicas) possuem soluções com velocidade de transmissão de calor finita.

Geração interna de calor

A função u acima representa a temperatura de um corpo. Alternativamente, às vezes é conveniente alterar as unidades e representar u como a densidade de calor de um meio. Como a densidade do calor é proporcional à temperatura em um meio homogêneo, a equação do calor ainda é obedecida nas novas unidades.

Suponha que um corpo obedeça à equação do calor e, além disso, gere seu próprio calor por unidade de volume (por exemplo, em watts / litro - W / L) a uma taxa dada por uma função conhecida q variando no espaço e no tempo. Então, o calor por unidade de volume u satisfaz uma equação

Por exemplo, um filamento de lâmpada de tungstênio gera calor, então teria um valor positivo diferente de zero para q quando ligado. Enquanto a luz estiver desligada, o valor de q para o filamento de tungstênio seria zero.

Resolvendo a equação do calor usando a série de Fourier

Cenário físico idealizado para condução de calor em uma haste com condições de contorno homogêneas.

A seguinte técnica de solução para a equação do calor foi proposta por Joseph Fourier em seu tratado Théorie analytique de la chaleur , publicado em 1822. Considere a equação do calor para uma variável espacial. Isso poderia ser usado para modelar a condução de calor em uma haste. A equação é

 

 

 

 

( 1 )

onde u = u ( x , t ) é uma função de duas variáveis x e t . Aqui

  • x é a variável de espaço, então x ∈ [0, L ], onde L é o comprimento da barra.
  • t é a variável de tempo, então t ≥ 0.

Assumimos a condição inicial

 

 

 

 

( 2 )

onde a função f é dada, e as condições de contorno

.

 

 

 

 

( 3 )

Vamos tentar encontrar uma solução de ( 1 ) que não seja idêntica a zero satisfazendo as condições de contorno ( 3 ), mas com a seguinte propriedade: u é um produto em que a dependência de u em x , t é separada, ou seja:

 

 

 

 

( 4 )

Essa técnica de solução é chamada de separação de variáveis . Substituindo u de volta na equação ( 1 ),

Como o lado direito depende apenas de x e o lado esquerdo apenas de t , ambos os lados são iguais a algum valor constante −λ. Assim:

 

 

 

 

( 5 )

e

 

 

 

 

( 6 )

Mostraremos agora que soluções não triviais para ( 6 ) para valores de λ ≤ 0 não podem ocorrer:

  1. Suponha que λ <0. Então, existem números reais B , C tais que
    De ( 3 ) obtemos X (0) = 0 = X ( L ) e, portanto, B = 0 = C, o que implica que u é identicamente 0.
  2. Suponha-se que λ = 0. Em seguida, existem números reais B , C de tal modo que X ( x ) = Bx + C . Da equação ( 3 ), concluímos da mesma maneira que em 1 que u é identicamente 0.
  3. Portanto, deve ser o caso de λ> 0. Então existem números reais A , B , C tais que
    e
    De ( 3 ) obtemos C = 0 e para algum número inteiro positivo n ,

Isso resolve a equação do calor no caso especial em que a dependência de u tem a forma especial ( 4 ).

Em geral, a soma das soluções para ( 1 ) que satisfazem as condições de contorno ( 3 ) também satisfaz ( 1 ) e ( 3 ). Podemos mostrar que a solução para ( 1 ), ( 2 ) e ( 3 ) é dada por

Onde

Generalizando a técnica da solução

A técnica de solução usada acima pode ser amplamente estendida a muitos outros tipos de equações. A ideia é que o operador u xx com as condições de contorno zero pode ser representado em termos de suas autofunções . Isso leva naturalmente a uma das idéias básicas da teoria espectral dos operadores lineares auto-adjuntos .

Considere o operador linear Δ u = u xx . A sequência infinita de funções

para n ≥ 1 são autofunções de Δ. De fato,

Além disso, qualquer autofunção f de Δ com as condições de contorno f (0) = f ( L ) = 0 é da forma e n para algum n ≥ 1. As funções e n para n ≥ 1 formam uma sequência ortonormal em relação a a determinado produto interno no espaço de funções com valor real em [0, L ]. Isso significa

Finalmente, a sequência { e n } nN abrange um subespaço linear denso de L 2 ((0, L )). Isso mostra que, de fato, diagonalizamos o operador Δ.

Condução de calor em meios anisotrópicos não homogêneos

Em geral, o estudo da condução de calor é baseado em vários princípios. O fluxo de calor é uma forma de fluxo de energia e, como tal, é significativo falar da taxa de tempo do fluxo de calor em uma região do espaço.

  • A taxa de tempo de fluxo de calor em uma região V é dada por uma quantidade dependente do tempo q t ( V ). Assumimos que q tem uma densidade Q , de modo que
  • O fluxo de calor é uma função vetorial dependente do tempo H ( x ) caracterizada da seguinte forma: a taxa de tempo do calor fluindo através de um elemento de superfície infinitesimal com área dS e com vetor normal unitário n é
    Assim, a taxa de fluxo de calor em V também é dada pela integral de superfície
    onde n ( x ) é o vetor normal apontando para fora em x .
  • A lei de Fourier afirma que o fluxo de energia térmica tem a seguinte dependência linear do gradiente de temperatura
    onde A ( x ) é uma matriz real 3 × 3 que é simétrica e definida positiva .
  • Pelo teorema da divergência , a integral de superfície anterior para o fluxo de calor em V pode ser transformada na integral de volume
  • A taxa de tempo de mudança de temperatura em x é proporcional ao calor fluindo para um elemento de volume infinitesimal, onde a constante de proporcionalidade é dependente de uma constante κ

Juntar essas equações dá a equação geral do fluxo de calor:

Observações .

  • O coeficiente κ ( x ) é o inverso de calor específico da substância a x × densidade da substância a x : .
  • No caso de um meio isotrópico, a matriz A é uma matriz escalar igual à condutividade térmica k .
  • No caso anisotrópico onde a matriz de coeficiente A não é escalar e / ou depende de x , então uma fórmula explícita para a solução da equação do calor raramente pode ser escrita, embora seja geralmente possível considerar o problema abstrato de Cauchy associado e mostrar que é um problema bem colocado e / ou mostrar algumas propriedades qualitativas (como preservação de dados iniciais positivos, velocidade infinita de propagação, convergência para um equilíbrio, propriedades de suavização). Isso geralmente é feito pela teoria de semigrupos de um parâmetro : por exemplo, se A é uma matriz simétrica, então o operador elíptico definido por
    é auto-adjunta e dissipativa, portanto, pelo teorema espectral , gera um semigrupo de um parâmetro .

Soluções fundamentais

Uma solução fundamental , também chamada de núcleo de calor , é uma solução da equação do calor correspondente à condição inicial de uma fonte pontual inicial de calor em uma posição conhecida. Eles podem ser usados ​​para encontrar uma solução geral da equação do calor em certos domínios; veja, por exemplo, ( Evans 2010 ) para um tratamento introdutório.

Em uma variável, a função de Green é uma solução do problema do valor inicial (pelo princípio de Duhamel , equivalente à definição da função de Green como uma com uma função delta como solução para a primeira equação)

onde δ é a função delta de Dirac . A solução para este problema é a solução fundamental ( kernel de calor )

Pode-se obter a solução geral de uma equação de calor variável com a condição inicial u ( x , 0) = g ( x ) para −∞ < x <∞ e 0 < t <∞ aplicando uma convolução :

Em várias variáveis ​​espaciais, a solução fundamental resolve o problema análogo

A solução fundamental n- variável é o produto das soluções fundamentais em cada variável; ou seja,

A solução geral da equação do calor em R n é então obtida por uma convolução, de modo que para resolver o problema do valor inicial com u ( x , 0) = g ( x ), tem-se

O problema geral em um domínio Ω em R n é

com dados de limite de Dirichlet ou Neumann . Uma função de Green sempre existe, mas a menos que o domínio Ω possa ser prontamente decomposto em problemas de uma variável (veja abaixo), pode não ser possível escrevê-lo explicitamente. Outros métodos de obtenção das funções de Green incluem o método de imagens , separação de variáveis e transformadas de Laplace (Cole, 2011).

Algumas soluções de função de Green em 1D

Uma variedade de soluções de funções de Green elementares em uma dimensão são registradas aqui; muitos outros estão disponíveis em outros lugares. Em alguns deles, o domínio espacial é (−∞, ∞). Em outros, é o intervalo semi-infinito (0, ∞) com as condições de contorno de Neumann ou Dirichlet . Uma outra variação é que alguns deles resolvem a equação não homogênea

onde f é alguma função dada de x e t .

Equação de calor homogêneo

Problema de valor inicial em (−∞, ∞)
Solução fundamental da equação unidimensional do calor. Vermelho: decurso de tempo . Azul: cursos de tempo de para dois pontos selecionados x 0 = 0,2 ex 0 = 1. Observe os diferentes tempos de subida / atrasos e amplitudes. Versão interativa.

Comentário . Esta solução é a convolução em relação à variável x da solução fundamental

e a função g ( x ). (O número da função de Green da solução fundamental é X00.)

Portanto, de acordo com as propriedades gerais da convolução com relação à diferenciação, u = g ∗ Φ é uma solução da mesma equação de calor, para

Além disso,

de modo que, por fatos gerais sobre aproximação à identidade , Φ (⋅, t ) ∗ gg como t → 0 em vários sentidos, de acordo com o g específico . Por exemplo, se g for assumido limitado e contínuo em R, então Φ (⋅, t ) ∗ g converge uniformemente para g quando t → 0, o que significa que u ( x , t ) é contínuo em R × [0, ∞) com u ( x , 0) = g ( x ).

Problema de valor inicial em (0, ∞) com condições de contorno homogêneas de Dirichlet

Comente. Esta solução é obtida a partir da fórmula anterior aplicada aos dados g ( x ) adequadamente estendidos a R , de modo a ser uma função ímpar , isto é, deixando g (- x ): = - g ( x ) para todo x . Correspondentemente, a solução do problema do valor inicial em (−∞, ∞) é uma função ímpar em relação à variável x para todos os valores de t e, em particular, satisfaz as condições de contorno homogêneas de Dirichlet u (0, t ) = 0 O número da função de Green desta solução é X10.

Problema de valor inicial em (0, ∞) com condições de contorno de Neumann homogêneas

Comente. Esta solução é obtida a partir da primeira fórmula de solução aplicada aos dados g ( x ) adequadamente estendidos a R de modo a ser uma função par , isto é, deixando g (- x ): = g ( x ) para todo x . Correspondentemente, a solução do problema de valor inicial em R é uma função par com relação à variável x para todos os valores de t > 0 e, em particular, sendo suave, ela satisfaz as condições de contorno de Neumann homogêneas u x (0, t ) = 0. O número da função de Green desta solução é X20.

Problema em (0, ∞) com condições iniciais homogêneas e condições de contorno de Dirichlet não homogêneas

Comentário . Esta solução é a convolução em relação à variável t de

e a função h ( t ). Uma vez que Φ ( x , t ) é a solução fundamental de

a função ψ ( x, t ) também é uma solução da mesma equação do calor e, portanto, u  : = ψh , graças às propriedades gerais da convolução com respeito à diferenciação. Além disso,

de modo que, por fatos gerais sobre aproximação da identidade , ψ ( x , ⋅) ∗ hh como x → 0 em vários sentidos, de acordo com o h específico . Por exemplo, se h é assumido contínuo em R com suporte em [0, ∞) então ψ ( x , ⋅) ∗ h converge uniformemente em compacto para h como x → 0, o que significa que u ( x, t ) é contínuo em [ 0, ∞) × [0, ∞) com u (0, t ) = h ( t ).

Retratado é uma solução numérica da equação de calor não homogênea. A equação foi resolvida com 0 condições iniciais e de contorno e um termo fonte representando um queimador de fogão.

Equação de calor não homogêneo

Problema em (-∞, ∞) condições iniciais homogêneas

Comentário . Esta solução é a convolução em R 2 , ou seja, em relação às variáveis x e t , da solução fundamental

e a função f ( x, t ), ambos significados como definidos em todo R 2 e identicamente 0 para todo t → 0. Verifica-se que

que expresso na linguagem das distribuições torna-se

onde a distribuição δ é a função delta de Dirac , ou seja, a avaliação em 0.

Problema em (0, ∞) com condições de contorno de Dirichlet homogêneas e condições iniciais

Comentário . Esta solução é obtida a partir da fórmula anterior aplicada aos dados f ( x , t ) adequadamente estendidos para R × [0, ∞), de modo a ser uma função ímpar da variável x , ou seja, deixando f (- x , t ): = - f ( x , t ) para todo x e t . Correspondentemente, a solução do problema não homogêneo em (−∞, ∞) é uma função ímpar em relação à variável x para todos os valores de t e, em particular, satisfaz as condições de contorno homogêneas de Dirichlet u (0, t ) = 0.

Problema em (0, ∞) com condições de contorno de Neumann homogêneas e condições iniciais

Comentário . Esta solução é obtida a partir da primeira fórmula aplicada aos dados f ( x , t ) adequadamente estendidos para R × [0, ∞), de modo a ser uma função par da variável x , ou seja, deixando f (- x , t ): = f ( x , t ) para todo x e t . Correspondentemente, a solução do problema não homogêneo em (−∞, ∞) é uma função par com relação à variável x para todos os valores de t e, em particular, sendo uma função suave, ela satisfaz as condições de contorno de Neumann homogêneas u x ( 0, t ) = 0.

Exemplos

Visto que a equação do calor é linear, soluções de outras combinações de condições de contorno, termo não homogêneo e condições iniciais podem ser encontradas tomando uma combinação linear apropriada das soluções da função de Green acima.

Por exemplo, para resolver

deixe u = w + v onde w e v resolvem os problemas

Da mesma forma, para resolver

vamos u = w + v + r onde w , v e r resolvem os problemas

Propriedade de valor médio para a equação do calor

Soluções das equações do calor

satisfazer uma propriedade de valor médio análoga às propriedades de valor médio de funções harmônicas , soluções de

embora um pouco mais complicado. Precisamente, se você resolver

e

então

onde E λ é uma "bola de calor", que é um conjunto de supernível da solução fundamental da equação de calor:

Notar que

como λ → ∞ então a fórmula acima é válida para qualquer ( x, t ) no conjunto (aberto) dom ( u ) para λ grande o suficiente. Isso pode ser mostrado por um argumento semelhante ao análogo para funções harmônicas .

Equação de calor em estado estacionário

A equação do calor em estado estacionário, por definição, não depende do tempo. Em outras palavras, presume-se que existem condições tais que:

Essa condição depende da constante de tempo e do tempo decorrido desde que as condições de contorno foram impostas. Assim, a condição é satisfeita em situações nas quais a constante de equilíbrio de tempo é rápida o suficiente para que a equação de calor dependente do tempo mais complexa possa ser aproximada pelo caso do estado estacionário. Equivalentemente, a condição de estado estacionário existe para todos os casos em que passou tempo suficiente para que o campo térmico u não evolua mais no tempo.

No caso de estado estacionário, um gradiente térmico espacial pode (ou não) existir, mas se existir, não muda com o tempo. Esta equação, portanto, descreve o resultado final em todos os problemas térmicos nos quais uma fonte é ligada (por exemplo, um motor ligado em um automóvel), e tempo suficiente se passou para que todos os gradientes de temperatura permanentes se estabeleçam no espaço, após o que esses os gradientes não mudam mais com o tempo (como novamente, com um automóvel em que o motor já está funcionando há tempo suficiente). A outra solução (trivial) é que todos os gradientes espaciais de temperatura também desapareçam, caso em que a temperatura também se torna uniforme no espaço.

A equação é muito mais simples e pode ajudar a entender melhor a física dos materiais sem enfocar a dinâmica do processo de transporte de calor. É amplamente utilizado para problemas simples de engenharia assumindo que há equilíbrio dos campos de temperatura e transporte de calor com o tempo.

Condição de estado estacionário:

A equação de calor em estado estacionário para um volume que contém uma fonte de calor (o caso não homogêneo) é a equação de Poisson :

onde u é a temperatura , K é a condutividade térmica e q a densidade de fluxo de calor da fonte.

Em eletrostática , isso é equivalente ao caso em que o espaço em consideração contém uma carga elétrica.

A equação de calor em estado estacionário sem uma fonte de calor dentro do volume (o caso homogêneo) é a equação em eletrostática para um volume de espaço livre que não contém uma carga. É descrito pela equação de Laplace :

Formulários

Difusão de partículas

Pode-se modelar a difusão de partículas por uma equação envolvendo:

Em qualquer caso, usa-se a equação do calor

ou

Ambos c e P são funções de posição e tempo. D é o coeficiente de difusão que controla a velocidade do processo difusivo e é normalmente expresso em metros quadrados sobre segundos. Se o coeficiente de difusão D não é constante, mas depende da concentração c (ou P no segundo caso), obtém-se a equação de difusão não linear .

movimento browniano

Seja o processo estocástico a solução da equação diferencial estocástica

onde está o processo Wiener (movimento browniano padrão). Então, a função de densidade de probabilidade de é dada a qualquer momento por

qual é a solução do problema do valor inicial

onde está a função delta de Dirac .

Equação de Schrödinger para uma partícula livre

Com uma divisão simples, a equação de Schrödinger para uma única partícula de massa m na ausência de qualquer campo de força aplicado pode ser reescrita da seguinte maneira:

,

onde i é a unidade imaginária , ħ é a constante de Planck reduzida e ψ é a função de onda da partícula.

Esta equação é formalmente semelhante à equação de difusão de partículas, que se obtém por meio da seguinte transformação:

Aplicar essa transformação às expressões das funções de Green determinadas no caso de difusão de partículas produz as funções de Green da equação de Schrödinger , que por sua vez podem ser usadas para obter a função de onda a qualquer momento por meio de uma integral na função de onda em t = 0:

com

Observação: esta analogia entre a mecânica quântica e a difusão é puramente formal. Fisicamente, a evolução da função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger pode ter uma origem diferente da difusão.

Difusividade térmica em polímeros

Uma aplicação prática direta da equação do calor, em conjunto com a teoria de Fourier , em coordenadas esféricas, é a previsão de perfis de transferência térmica e a medição da difusividade térmica em polímeros (Unsworth e Duarte ). Este método duplo teórico-experimental é aplicável à borracha, vários outros materiais poliméricos de interesse prático e microfluidos. Esses autores derivaram uma expressão para a temperatura no centro de uma esfera T C

onde t 0 é a temperatura inicial da esfera e T S a temperatura à superfície da esfera, de raio L . Esta equação também encontrou aplicações na transferência de energia de proteínas e modelagem térmica em biofísica.

Outras aplicações

A equação do calor surge na modelagem de uma série de fenômenos e é freqüentemente usada em matemática financeira na modelagem de opções . A equação diferencial do modelo de precificação de opções de Black-Scholes pode ser transformada na equação do calor, permitindo soluções relativamente fáceis de um corpo familiar de matemática. Muitas das extensões para os modelos de opções simples não têm soluções de forma fechada e, portanto, devem ser resolvidas numericamente para obter um preço de opção modelado. A equação que descreve a difusão de pressão em um meio poroso é idêntica em forma à equação do calor. Os problemas de difusão que lidam com as condições de contorno de Dirichlet , Neumann e Robin têm soluções analíticas de forma fechada ( Thambynayagam 2011 ). A equação do calor também é amplamente usada na análise de imagens ( Perona & Malik 1990 ) e no aprendizado de máquina como a teoria motriz por trás dos métodos de escala espacial ou gráfico Laplaciano . A equação do calor pode ser resolvida com eficiência numericamente usando o método implícito de Crank-Nicolson ( Crank & Nicolson 1947 ). Este método pode ser estendido a muitos dos modelos sem solução de forma fechada, ver, por exemplo ( Wilmott, Howison & Dewynne 1995 ).

Uma forma abstrata de equação de calor em variedades fornece uma abordagem importante para o teorema do índice Atiyah-Singer e levou a muitos trabalhos adicionais em equações de calor na geometria Riemanniana .

Veja também

Notas

Referências

Livros didáticos

  • Cannon, John Rozier (1984), The one – dimensional heat equation , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 23 , Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, ISBN 0-201-13522-1, MR  0747979 , Zbl  0567.35001
  • Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1988), Condução de calor em sólidos , Oxford Science Publications (2ª ed.), Nova York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
  • Cole, Kevin D.; Beck, James V .; Haji-Sheikh, A .; Litkouhi, Bahan (2011), Heat conduction using Green's functions , Series in Computational and Physical Processes in Mechanics and Thermal Sciences (2ª ed.), Boca Raton, FL: CRC Press, ISBN 978-1-43-981354-6
  • Evans, Lawrence C. (2010), Partial Differential Equations , Graduate Studies in Mathematics, 19 (2ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3
  • Friedman, Avner (1964), Equações diferenciais parciais de tipo parabólico , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc.
  • John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4ª ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90609-6
  • Widder, DV (1975), The heat equation , Pure and Applied Mathematics, 67 , New York-London: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]
  • Wilmott, Paul; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995), The mathematics of financial derivados. Uma introdução ao aluno , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49699-3

links externos