Axiomas de Hilbert - Hilbert's axioms

Os axiomas de Hilbert são um conjunto de 20 suposições propostas por David Hilbert em 1899 em seu livro Grundlagen der Geometrie (trad. The Foundations of Geometry ) como a base para um tratamento moderno da geometria euclidiana . Outras axiomatizações modernas bem conhecidas da geometria euclidiana são as de Alfred Tarski e de George Birkhoff .

Os axiomas

O sistema de axiomas de Hilbert é construído com seis noções primitivas : três termos primitivos:

e três relações primitivas :

Segmentos de linha, ângulos e triângulos podem ser definidos em termos de pontos e linhas retas, usando as relações de intermediação e contenção. Todos os pontos, linhas retas e planos nos axiomas a seguir são distintos, a menos que indicado de outra forma.

I. Incidência

  1. Para cada dois pontos A e B existe uma linha a que contém os dois. Escrevemos AB = a ou BA = a . Em vez de "contém", também podemos empregar outras formas de expressão; por exemplo, podemos dizer " A repousa sobre a ", " A é um ponto de a ", " a passa por A e por B ", " a une A a B ", etc. Se A repousa sobre a e no mesmo tempo na outra linha b , fazemos uso também da expressão: "As linhas a e b têm o ponto A em comum", etc.
  2. Para cada dois pontos, não existe mais do que uma linha que os contenha; conseqüentemente, se AB = a e AC = a , onde B ≠ C , então também BC = a .
  3. Existem pelo menos dois pontos em uma linha. Existem pelo menos três pontos que não estão na mesma linha.
  4. Para cada três pontos A , B , C não situados na mesma linha existe um plano α que contém todos eles. Para cada plano existe um ponto que fica sobre ele. Escrevemos ABC = α . Empregamos também as expressões: " A , B , C estão em α "; " A , B , C são pontos de α ", etc.
  5. Para cada três pontos A , B , C que não estão na mesma linha, não existe mais de um plano que os contém todos.
  6. Se dois pontos A , B de uma reta a estão em um plano α , então todos os pontos de a estão em α . Neste caso dizemos: "A linha a encontra - se no plano α ", etc.
  7. Se dois planos α , β têm um ponto A em comum, então eles têm pelo menos um segundo ponto B em comum.
  8. Existem pelo menos quatro pontos que não estão em um plano.

II. Pedido

  1. Se um ponto B situa-se entre os pontos A e C , B também é entre C e A , e existe uma linha que contém os pontos distintos A , B , C .
  2. Se A e C são dois pontos, então existe pelo menos um ponto B na linha AC tal que C situa-se entre A e B .
  3. De quaisquer três pontos situados em uma linha, não há mais do que um entre os outros dois.
  4. Axioma da Páscoa : Let Um , B , C de três pontos não encontra-se na mesma linha e deixe um ser uma linha situada no plano ABC e não passar por qualquer dos pontos A , B , C . Então, se a reta a passar por um ponto do segmento AB , ela também passará por um ponto do segmento BC ou por um ponto do segmento AC .

III. Congruência

  1. Se A , B são dois pontos em uma linha a , e se A ′ é um ponto na mesma ou em outra linha a ′, então, em um determinado lado de A ′ na linha reta a ′, podemos sempre encontrar um ponto B ′ de forma que o segmento AB seja congruente com o segmento A ′ B ′. Indicamos essa relação escrevendo AB ≅ A ′ B ′ . Cada segmento é congruente consigo mesmo; ou seja, sempre temos AB ≅ AB .
    Podemos afirmar o axioma acima resumidamente, dizendo que cada segmento pode ser colocado em um determinado lado de um determinado ponto de uma determinada linha reta de pelo menos uma maneira.
  2. Se um segmento AB é congruente ao segmento A ′ B ′ e também ao segmento A ″ B ″, então o segmento A ′ B ′ é congruente ao segmento A ″ B ″; isto é, se AB ≅ A ′ B ′ e AB ≅ A ″ B ″ , então A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
  3. Sejam AB e BC dois segmentos de uma reta a que não têm pontos em comum além do ponto B , e, além disso, sejam A ′ B ′ e B ′ C ′ dois segmentos da mesma ou de outra reta a ′ tendo , da mesma forma, nenhum ponto diferente de B ′ em comum. Então, se AB ≅ A ′ B ′ e BC ≅ B ′ C ′ , temos AC ≅ A ′ C ′ .
  4. Seja um ângulo ∠ ( h , k ) dado no plano α e seja dada uma reta a ′ no plano α ′. Suponha também que, no plano α ′, um lado definido da reta a ′ seja atribuído. Denote por h ′ um raio da reta a ′ que emana de um ponto O ′ desta reta. Então, no plano α ′ existe um e apenas um raio k ′ tal que o ângulo ∠ ( h , k ) , ou ∠ ( k , h ) , é congruente com o ângulo ∠ ( h ′, k ′) e no ao mesmo tempo, todos os pontos internos do ângulo ∠ ( h ′, k ′) ficam sobre o lado dado de a ′. Expressamos essa relação por meio da notação ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
  5. Se o ângulo ∠ ( h , k ) é congruente com o ângulo ∠ ( h ′, k ′) e com o ângulo ∠ ( h ″, k ″) , então o ângulo ∠ ( h ′, k ′) é congruente com o ângulo ∠ ( h ″, k ″) ; ou seja, se ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) e ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , então ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″) .
  6. Se, nos dois triângulos ABC e A ′ B ′ C ′ as congruências AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ ∠ B ′ A ′ C ′ se mantêm, então a congruência ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ é válido (e, por uma mudança de notação, segue que ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ também é válido).

4. Paralelos

  1. Axioma de Euclides Seja a qualquer linha e A um ponto fora dela. Então, há no máximo uma linha no plano, determinada por a e A , que passa por A e não intercepta a .

V. Continuidade

  1. Axioma de Arquimedes . Se AB e CD são quaisquer segmentos, em seguida, existe um número N de modo a que n segmentos CD construídos de forma contígua a partir de uma , ao longo do raio de um meio B , irá passar além do ponto B .
  2. Axioma de completude de linha . Uma extensão (uma linha estendida de uma linha que já existe, geralmente usada em geometria) de um conjunto de pontos em uma linha com suas relações de ordem e congruência que preservariam as relações existentes entre os elementos originais, bem como as propriedades fundamentais da linha ordem e congruência que segue dos Axiomas I-III e de V-1 são impossíveis.

Axioma descartado de Hilbert

Hilbert (1899) incluiu um 21º axioma que dizia o seguinte:

II.4. Quaisquer quatro pontos A , B , C , D de uma linha podem sempre ser rotulados de modo que B fique entre A e C e também entre A e D , e, além disso, que C esteja entre A e D e também entre B e D .

EH Moore e RL Moore provaram independentemente que esse axioma é redundante, e o primeiro publicou esse resultado em um artigo publicado no Transactions of the American Mathematical Society em 1902.

Antes disso, o axioma agora listado como II.4. foi numerado II.5.

Edições e traduções de Grundlagen der Geometrie

A monografia original, baseada em suas próprias palestras, foi organizada e escrita por Hilbert para um discurso memorial dado em 1899. Isso foi rapidamente seguido por uma tradução francesa, na qual Hilbert acrescentou o V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução em inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por EJ Townsend e protegida por direitos autorais em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e, portanto, é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer mudanças no texto e várias edições apareceram em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer durante a vida de Hilbert. No Prefácio desta edição, Hilbert escreveu:

"A presente sétima edição do meu livro Foundations of Geometry traz consideráveis ​​melhorias e acréscimos à edição anterior, em parte das minhas palestras subsequentes sobre este assunto e em parte das melhorias feitas nesse ínterim por outros escritores. O texto principal do livro foi revisado adequadamente."

Novas edições seguiram a 7ª, mas o texto principal essencialmente não foi revisado. As modificações nessas edições ocorrem nos apêndices e nos suplementos. As mudanças no texto foram grandes quando comparadas ao original e uma nova tradução em inglês foi encomendada pela Open Court Publishers, que publicou a tradução de Townsend. Assim, a 2ª edição em inglês foi traduzida por Leo Unger da 10ª edição alemã em 1971. Esta tradução incorpora várias revisões e ampliações das últimas edições alemãs de Paul Bernays.

A tradução de Unger difere da tradução de Townsend no que diz respeito aos axiomas das seguintes maneiras:

  • O antigo axioma II.4 foi renomeado como Teorema 5 e movido.
  • O antigo axioma II.5 (Axioma de Pasch) é renumerado como II.4.
  • V.2, o Axioma da Completude da Linha, substituído:
Axioma de completude . A um sistema de pontos, retas e planos, é impossível adicionar outros elementos de tal maneira que o sistema assim generalizado forme uma nova geometria obedecendo a todos os cinco grupos de axiomas. Em outras palavras, os elementos da geometria formam um sistema que não é suscetível de extensão, se considerarmos os cinco grupos de axiomas como válidos.
  • O antigo axioma V.2 agora é o Teorema 32.

As duas últimas modificações são devidas a P. Bernays.

Outras mudanças dignas de nota são:

  • O termo linha reta usado por Townsend foi substituído por linha por toda parte.
  • Os Axiomas de Incidência foram chamados de Axiomas de Conexão por Townsend.

Aplicativo

Esses axiomas axiomatizam a geometria sólida euclidiana . Removendo cinco axiomas que mencionam "plano" de uma maneira essencial, ou seja, I.4-8, e modificando III.4 e IV.1 para omitir a menção de planos, produz uma axiomatização da geometria plana euclidiana .

Os axiomas de Hilbert, ao contrário dos axiomas de Tarski , não constituem uma teoria de primeira ordem porque os axiomas V.1–2 não podem ser expressos na lógica de primeira ordem .

O valor do Grundlagen de Hilbert era mais metodológico do que substantivo ou pedagógico. Outras contribuições importantes para a axiomática da geometria foram as de Moritz Pasch , Mario Pieri , Oswald Veblen , Edward Vermilye Huntington , Gilbert Robinson e Henry George Forder . O valor do Grundlagen é sua abordagem pioneira para questões metamatemáticas , incluindo o uso de modelos para provar axiomas independentes; e a necessidade de provar a consistência e integridade de um sistema de axioma.

A matemática no século XX evoluiu para uma rede de sistemas formais axiomáticos . Isso foi, em grande parte, influenciado pelo exemplo que Hilbert deu no Grundlagen . Um esforço de 2003 (Meikle e Fleuriot) para formalizar o Grundlagen com um computador, entretanto, descobriu que algumas das provas de Hilbert parecem confiar em diagramas e intuição geométrica e, como tal, revelou algumas ambigüidades e omissões potenciais em suas definições.

Veja também

Notas

Referências

links externos