O quinto problema de Hilbert - Hilbert's fifth problem

O quinto problema de Hilbert é o quinto problema matemático da lista de problemas divulgada em 1900 pelo matemático David Hilbert , e diz respeito à caracterização de grupos de Lie .

A teoria dos grupos de Lie descreve a simetria contínua em matemática; sua importância lá e na física teórica (por exemplo, a teoria do quark ) cresceu continuamente no século XX. Em termos gerais, a teoria dos grupos de Lie é a base comum da teoria dos grupos e da teoria das variedades topológicas . A pergunta que Hilbert fez foi aguda para tornar isso preciso: há alguma diferença se uma restrição a variedades suaves for imposta?

A resposta esperada era negativa (os grupos clássicos , os exemplos mais centrais na teoria dos grupos de Lie, são variedades suaves). Isso acabou sendo confirmado no início dos anos 1950. Uma vez que a noção precisa de "variedade" não estava disponível para Hilbert, há espaço para algum debate sobre a formulação do problema na linguagem matemática contemporânea.

Formulação clássica

Uma formulação que foi aceita por um longo período foi que a questão era caracterizar os grupos de Lie como os grupos topológicos que também eram variedades topológicas . Em termos mais próximos daqueles que Hilbert teria usado, próximo ao elemento de identidade e do grupo G em questão, há um conjunto aberto U no espaço euclidiano contendo e , e em algum subconjunto aberto V de U há um mapeamento contínuo

F  : V × V → U

que satisfaça os axiomas de grupo onde eles são definidos. Este é um fragmento de um grupo topológico localmente euclidiano típico . O problema é então mostrar que F é uma função suave perto de e (uma vez que grupos topológicos são espaços homogêneos , eles têm a mesma aparência em todos os lugares que perto de e ).

Outra forma de colocar isso é que a possível classe de diferenciabilidade de F não importa: os axiomas de grupo colapsam toda a gama de C  k .

Solução

O primeiro grande resultado foi o de John von Neumann em 1933, para grupos compactos . O caso do grupo abeliano localmente compacto foi resolvido em 1934 por Lev Pontryagin . A resolução final, pelo menos nesta interpretação do que Hilbert quis dizer, veio com o trabalho de Andrew Gleason , Deane Montgomery e Leo Zippin nos anos 1950.

Em 1953, Hidehiko Yamabe obteve a resposta final para o Quinto Problema de Hilbert:

Se um grupo compacto conectado localmente G é um limite projetivo de uma sequência de grupos de Lie, e se G "não tem subgrupos pequenos" (uma condição definida abaixo), então G é um grupo de Lie.

No entanto, a questão ainda é debatida, uma vez que na literatura tem havido outras afirmações, em grande parte baseadas em diferentes interpretações da afirmação de Hilbert do problema feita por vários pesquisadores.

De maneira mais geral, todo grupo localmente compacto, quase conectado, é o limite projetivo de um grupo de Lie. Se considerarmos um grupo geral localmente compacto G e o componente conectado da identidade G 0 , temos uma extensão de grupo

G 0 → G → G / G 0 .

Como um grupo totalmente desligado, L / L 0 tem um subgrupo compacto aberta, e o recuo G ' de um subgrupo compacto tal aberto é um subgrupo aberta, quase ligado de L . Desta forma, temos uma estrutura suave em G , uma vez que é homeomórfica a ( G ′ × G ′  ) / G 0 , onde G ′ / G 0 é um conjunto discreto.

Formulação alternativa

Outra visão é que G deve ser tratado como um grupo de transformação , ao invés de abstratamente. Isso leva à formulação da conjectura de Hilbert-Smith , que foi comprovada em 2013.

Sem pequenos subgrupos

Uma condição importante na teoria não são pequenos subgrupos . Um grupo topológico G , ou uma parte parcial de um grupo como F acima, é dito não ter subgrupos pequenos se houver uma vizinhança N de e não contendo subgrupo maior que { e }. Por exemplo, o grupo circular satisfaz a condição, enquanto os inteiros p -adicos Z p como grupo aditivo não, porque N conterá os subgrupos: p k  Z p , para todos os inteiros grandes k . Isso dá uma ideia de como é a dificuldade do problema. No caso da conjectura de Hilbert-Smith, é uma questão de redução conhecida se Z p pode agir fielmente em uma variedade fechada . Gleason, Montgomery e Zippin caracterizaram os grupos de Lie entre grupos localmente compactos , como aqueles que não possuem subgrupos pequenos.

Dimensões infinitas

Os pesquisadores também consideraram o quinto problema de Hilbert sem supor uma dimensionalidade finita . O último capítulo de Benyamini e Lindenstrauss discute a tese de Per Enflo , sobre o quinto problema de Hilbert sem compactação .

Veja também

Notas

Referências