O décimo nono problema de Hilbert - Hilbert's nineteenth problem
O décimo nono problema de Hilbert é um dos 23 problemas de Hilbert , estabelecido em uma lista compilada em 1900 por David Hilbert . Ele pergunta se as soluções de problemas regulares no cálculo de variações são sempre analíticas . Informalmente, e talvez menos diretamente, uma vez que o conceito de Hilbert de um " problema variacional regular " identifica precisamente um problema variacional cuja equação de Euler-Lagrange é uma equação diferencial elíptica parcial com coeficientes analíticos, o décimo nono problema de Hilbert, apesar de sua afirmação aparentemente técnica, simplesmente pergunta se , nesta classe de equações diferenciais parciais , qualquer função de solução herda a estrutura relativamente simples e bem compreendida da equação resolvida. Problema XIX de Hilbert foi resolvido de forma independente no final de 1950 por Ennio De Giorgi e John Forbes Nash, Jr .
História
As origens do problema
Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhängigen giebt, Länstängen der unabhängigen giebt, sindikängen längigen, läntängen gärgängen, também närnängängigen Variatärgärängen, também närnängigen Variatärgängen, sindigängen längen, läntängen längen.
- David Hilbert , ( Hilbert 1900 , p. 288).
David Hilbert apresentou o agora chamado décimo nono problema de Hilbert em seu discurso no segundo Congresso Internacional de Matemáticos . Em ( Hilbert 1900 , p. 288) ele afirma que, em sua opinião, um dos fatos mais notáveis da teoria das funções analíticas é que existem classes de equações diferenciais parciais que admitem apenas o tipo de funções como soluções, aduzindo a de Laplace equação , equação de Liouville , a equação de superfície mínima e uma classe de equações diferenciais parciais lineares estudadas por Émile Picard como exemplos. Ele então observa o fato de que a maioria das equações diferenciais parciais que compartilham essa propriedade são a equação de Euler-Lagrange de um tipo bem definido de problema variacional, apresentando as três propriedades a seguir:
- (1) ,
- (2) ,
- (3) F é uma função analítica de todos os seus argumentos p , q , z , x e y .
Hilbert chama este tipo de problema variacional de " problema variacional regular ": propriedade (1) significa que tal tipo de problemas variacionais são problemas mínimos , propriedade (2) é a condição de elipticidade nas equações de Euler-Lagrange associadas ao funcional dado , enquanto imóvel (3) é um simples pressuposto regularidade a função F . Tendo identificado a classe de problemas com os quais lidar, ele então coloca a seguinte questão: - " ... toda equação diferencial parcial de Lagrange de um problema de variação regular tem a propriedade de admitir integrais analíticas exclusivamente? " E pergunta ainda se esta é a Mesmo quando a função é obrigada a assumir, como acontece com o problema de Dirichlet sobre a função potencial , valores de contorno que são contínuos, mas não analíticos.
O caminho para a solução completa
Hilbert afirmou seu décimo nono problema como um problema de regularidade para uma classe de equações diferenciais parciais elípticas com coeficientes analíticos, portanto os primeiros esforços dos pesquisadores que buscaram resolvê-lo foram direcionados ao estudo da regularidade de soluções clássicas para equações pertencentes a essa classe. Para soluções C 3 , o problema de Hilbert foi respondido positivamente por Sergei Bernstein ( 1904 ) em sua tese: ele mostrou que soluções C 3 de equações analíticas elípticas não lineares em 2 variáveis são analíticas. O resultado de Bernstein foi aprimorado ao longo dos anos por vários autores, como Petrowsky (1939) , que reduziram os requisitos de diferenciabilidade na solução necessários para provar que ela é analítica. Por outro lado, os métodos diretos no cálculo das variações mostraram a existência de soluções com propriedades de diferenciabilidade muito fracas. Por muitos anos, houve uma lacuna entre esses resultados: as soluções que podiam ser construídas eram conhecidas por terem segundas derivadas quadradas integráveis, que não eram fortes o suficiente para alimentar a máquina que poderia provar que eram analíticas, que precisavam da continuidade das primeiras derivadas . Essa lacuna foi preenchida independentemente por Ennio De Giorgi ( 1956 , 1957 ) e John Forbes Nash ( 1957 , 1958 ). Eles foram capazes de mostrar que as soluções tinham primeiro derivadas que eram contínuas de Hölder , o que por resultados anteriores implicava que as soluções são analíticas sempre que a equação diferencial tem coeficientes analíticos, completando assim a solução do décimo nono problema de Hilbert.
Contra-exemplos para várias generalizações do problema
A resposta afirmativa ao décimo nono problema de Hilbert dada por Ennio De Giorgi e John Forbes Nash levantou a questão de se a mesma conclusão se aplica também às equações de Euler-lagrange de funcionais mais gerais : no final da década de 1960, Maz'ya (1968) , De Giorgi (1968) e Giusti & Miranda (1968) construíram de forma independente vários contra-exemplos , mostrando que em geral não há esperança de provar resultados desse tipo de regularidade sem adicionar outras hipóteses.
Precisamente, Maz'ya (1968) deu vários contra-exemplos envolvendo uma única equação elíptica de ordem maior do que dois com coeficientes analíticos: para os especialistas, o fato de que esse tipo de equação pudesse ter soluções não analíticas e até mesmo não suaves criou uma sensação.
De Giorgi (1968) e Giusti & Miranda (1968) deram contra-exemplos mostrando que, no caso em que a solução tem valor vetorial em vez de escalar, ela não precisa ser analítica: o exemplo de De Giorgi consiste em um sistema elíptico com coeficientes, enquanto o de Giusti e Miranda tem coeficientes analíticos. Posteriormente, Nečas (1977) forneceu outros exemplos mais refinados para o problema de valoração vetorial.
Teorema de De Giorgi
O teorema chave provado por De Giorgi é uma estimativa a priori afirmando que se u é uma solução de uma PDE de segunda ordem linear adequada estritamente elíptica da forma
e tem derivadas quadradas integráveis primeiro, então é Hölder contínuo.
Aplicação do teorema de De Giorgi ao problema de Hilbert
O problema de Hilbert pergunta se os minimizadores de um funcional de energia, como
são analíticos. Aqui está uma função em algum conjunto compacto de R n , é seu vetor gradiente e é o Lagrangiano, uma função das derivadas de que satisfaz certas condições de crescimento, suavidade e convexidade. A suavidade de pode ser mostrada usando o teorema de De Giorgi como segue. A equação de Euler-Lagrange para este problema variacional é a equação não linear
e diferenciar isso com relação a dá
Isso significa que satisfaz a equação linear
com
então, pelo resultado de De Giorgi, a solução w tem primeiros derivados contínuos de Hölder, desde que a matriz seja limitada. Quando não for esse o caso, é necessário mais um passo: é preciso provar que a solução é contínua de Lipschitz , ou seja, o gradiente é uma função.
Uma vez que w é conhecido por ter derivadas contínuas de Hölder ( n +1) st para alguns n ≥ 1, então os coeficientes a ij têm derivadas n ésimas contínuas de Hölder , então um teorema de Schauder implica que as derivadas ( n +2) nd também são Hölder contínuo, repetindo isso infinitamente freqüentemente mostra que a solução w é suave.
Teorema de Nash
Nash deu uma estimativa de continuidade para soluções da equação parabólica
onde u é uma função limitada de x 1 , ..., x n , t definida para t ≥ 0. De sua estimativa Nash foi capaz de deduzir uma estimativa de continuidade para soluções da equação elíptica
- considerando o caso especial em que u não depende de t .
Notas
Referências
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