Espaço Hilbert - Hilbert space

O estado de uma corda vibrando pode ser modelado como um ponto em um espaço de Hilbert. A decomposição de uma corda vibrante em suas vibrações em sobretons distintos é dada pela projeção do ponto nos eixos coordenados no espaço.

Na matemática , os espaços de Hilbert (em homenagem a David Hilbert ) permitem generalizar os métodos de álgebra linear e cálculo dos espaços euclidianos bidimensionais e tridimensionais para espaços que podem ter uma dimensão infinita . Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial equipado com uma operação de produto interno , que permite definir uma função de distância e perpendicularidade (conhecida como ortogonalidade neste contexto). Além disso, os espaços de Hilbert são completos para esta distância, o que significa que há suficienteslimites no espaço para permitir o uso das técnicas de cálculo.

Os espaços de Hilbert surgem natural e freqüentemente na matemática e na física , normalmente como espaços de função de dimensão infinita . Os primeiros espaços de Hilbert foram estudados deste ponto de vista na primeira década do século 20 por David Hilbert , Erhard Schmidt e Frigyes Riesz . Eles são ferramentas indispensáveis ​​nas teorias de equações diferenciais parciais , mecânica quântica , análise de Fourier (que inclui aplicações para processamento de sinal e transferência de calor) e teoria ergódica (que constitui a base matemática da termodinâmica ). John von Neumann cunhou o termo espaço de Hilbert para o conceito abstrato que está por trás de muitas dessas diversas aplicações. O sucesso dos métodos espaciais de Hilbert inaugurou uma era muito frutífera para a análise funcional . Além dos espaços euclidianos clássicos, os exemplos de espaços de Hilbert incluem espaços de funções quadradas integráveis , espaços de sequências , espaços de Sobolev consistindo de funções generalizadas e espaços de Hardy de funções holomórficas .

A intuição geométrica desempenha um papel importante em muitos aspectos da teoria espacial de Hilbert. Análogos exatos do teorema de Pitágoras e da lei do paralelogramo são válidos em um espaço de Hilbert. Em um nível mais profundo, a projeção perpendicular em um subespaço (o análogo de " diminuir a altitude " de um triângulo) desempenha um papel significativo nos problemas de otimização e outros aspectos da teoria. Um elemento de um espaço de Hilbert pode ser especificado exclusivamente por suas coordenadas em relação a um conjunto de eixos de coordenadas (uma base ortonormal ), em analogia com as coordenadas cartesianas no plano. Quando esse conjunto de eixos é contávelmente infinito , o espaço de Hilbert também pode ser pensado de maneira útil em termos do espaço de sequências infinitas que podem ser somadas ao quadrado . O último espaço é frequentemente referido na literatura mais antiga como o espaço de Hilbert. Operadores lineares em um espaço de Hilbert são igualmente objetos bastante concretos: em bons casos, eles são simplesmente transformações que estendem o espaço por diferentes fatores em direções mutuamente perpendiculares em um sentido que é tornado preciso pelo estudo de seu espectro .

Definição e ilustração

Exemplo motivador: espaço vetorial euclidiano

Um dos exemplos mais familiares de um espaço de Hilbert é o espaço vetorial euclidiano que consiste em vetores tridimensionais , denotados por R 3 , e equipados com o produto escalar . O produto escalar leva dois vetores x e y , e produz um número real xy . Se x e y são representados em coordenadas cartesianas , o produto escalar é definido por

O produto escalar satisfaz as propriedades:

  1. É simétrico em x e y : xy = yx .
  2. É linear em seu primeiro argumento: ( a x 1 + b x 2 ) ⋅ y = a x 1y + b x 2y para quaisquer escalares a , b e vetores x 1 , x 2 e y .
  3. É definido positivo : para todos os vetores x , xx ≥ 0 , com igualdade se e somente se x = 0 .

Uma operação em pares de vetores que, como o produto escalar, satisfaz essas três propriedades é conhecida como produto interno (real) . Um espaço vetorial equipado com esse produto interno é conhecido como espaço de produto interno (real) . Cada espaço de produto interno de dimensão finita também é um espaço de Hilbert. A característica básica do produto escalar que o conecta com a geometria euclidiana é que ele está relacionado ao comprimento (ou norma ) de um vetor, denotado || x || , E para o ângulo θ entre dois vectores de x e y por meio da fórmula

Completude significa que se uma partícula se move ao longo do caminho quebrado (em azul) percorrendo uma distância total finita, então a partícula tem um deslocamento líquido bem definido (em laranja).

O cálculo multivariável no espaço euclidiano depende da capacidade de calcular limites e de ter critérios úteis para concluir que existem limites. Uma série matemática

consistindo de vetores em R 3 é absolutamente convergente, desde que a soma dos comprimentos converta como uma série ordinária de números reais:

Tal como acontece com uma série de escalares, uma série de vetores que converge absolutamente também converge para algum vetor limite L no espaço euclidiano, no sentido de que

Esta propriedade expressa a completude do espaço euclidiano: que uma série que converge absolutamente também converge no sentido comum.

Os espaços de Hilbert são freqüentemente ocupados com os números complexos . O plano complexo denotado por C está equipado com uma noção de magnitude, o módulo complexo | z | que é definido como a raiz quadrada do produto de z com seu conjugado complexo :

Se z = x + iy é uma decomposição de z em suas partes reais e imaginárias, então o módulo é o comprimento bidimensional euclidiano usual:

O produto interno de um par de números complexos z e w é o produto de z com o conjugado complexo de w :

Isso tem valor complexo. A parte real de z , w dá a euclidiano bidimensional habitual produto escalar .

Um segundo exemplo é o espaço C 2 cujos elementos são pares de números complexos z = ( z 1 , z 2 ) . Então, o produto interno de z com outro vetor w = ( w 1 , w 2 ) é dado por

A parte real de z , w é então o produto escalar euclidiano bidimensional. Este produto interno é simétrico hermitiano , o que significa que o resultado da troca de z e w é o conjugado complexo:

Definição

Um espaço de Hilbert H é um espaço de produto interno real ou complexo que também é um espaço métrico completo em relação à função de distância induzida pelo produto interno.

Dizer que H é um complexo espacial produto interiores meios que H é um espaço complexo do vetor no qual existe um produto interno x , y associar um número complexo para cada par de elementos de x , y de H que satisfaz as seguintes propriedades:

  1. O produto interno é conjugado simétrico; ou seja, o produto interno de um par de elementos é igual ao conjugado complexo do produto interno dos elementos trocados:
  2. O produto interno é linear em seu primeiro argumento. Para todos os números complexos a e b ,
  3. O produto interno de um elemento consigo mesmo é definido positivamente :
    (Observe que a propriedade 1 implica que é real.)

Conclui-se das propriedades 1 e 2 que um produto interno complexo é antilinear , também chamado de linear conjugado , em seu segundo argumento, o que significa que

Um espaço de produto interno real é definido da mesma maneira, exceto que H é um espaço vetorial real e o produto interno assume valores reais. Tal produto interno será um mapa bilinear e ( H , H , ⟨⋅, ⋅⟩) formará um sistema dual .

A norma é a função de valor real

e a distância d entre dois pontos x , y em H é definida em termos da norma por

Que esta função é uma função de distância significa, em primeiro lugar, que é simétrica em x e y , em segundo lugar, que a distância entre x e ele mesmo é zero e, caso contrário, a distância entre x e y deve ser positiva e, por último, que a desigualdade do triângulo se mantém, o que significa que o comprimento de uma perna de um triângulo xyz não pode exceder a soma dos comprimentos das outras duas pernas:

Desigualdade de triângulo em um espaço métrico.

Esta última propriedade é, em última análise, uma consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz mais fundamental , que afirma

com igualdade se e somente se x e y são linearmente dependentes .

Com uma função de distância definida desta forma, qualquer espaço de produto interno é um espaço métrico e às vezes é conhecido como um espaço pré-Hilbert de Hausdorff . Qualquer espaço pré-Hilbert que adicionalmente também seja um espaço completo é um espaço Hilbert.

A completude de H é expressa usando uma forma do critério de Cauchy para sequências em H : um espaço pré-Hilbert H é completo se toda sequência de Cauchy converge com respeito a esta norma para um elemento no espaço. A completude pode ser caracterizada pela seguinte condição equivalente: se uma série de vetores

converge absolutamente no sentido de que

em seguida, os converge série em H , no sentido de que as somas parciais convergem para um elemento de H .

Como um espaço normatizado completo, os espaços de Hilbert são, por definição, também espaços de Banach . Como tais, eles são espaços vetoriais topológicos , nos quais noções topológicas como abertura e fechamento de subconjuntos são bem definidas. De especial importância é a noção de um subespaço linear fechado de um espaço de Hilbert que, com o produto interno induzido pela restrição, também é completo (sendo um conjunto fechado em um espaço métrico completo) e, portanto, um espaço de Hilbert em seu próprio direito.


Segundo exemplo: espaços de sequência

O espaço de sequência l 2 consiste em todas as sequências infinitas z = ( z 1 , z 2 , ...) de números complexos, de modo que a série

converge . O produto interno em l 2 é definido por

com a última série convergindo como consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz .

A completude do espaço é válida, desde que sempre que uma série de elementos de l 2 converta absolutamente (na norma), ela converge para um elemento de l 2 . A prova é básica na análise matemática e permite que séries matemáticas de elementos do espaço sejam manipuladas com a mesma facilidade que séries de números complexos (ou vetores em um espaço euclidiano de dimensão finita).

História

Antes do desenvolvimento dos espaços de Hilbert, outras generalizações dos espaços euclidianos eram conhecidas por matemáticos e físicos. Em particular, a ideia de um espaço linear abstrato (espaço vetorial) ganhou alguma força no final do século 19: este é um espaço cujos elementos podem ser somados e multiplicados por escalares (como números reais ou complexos ), sem necessariamente identificar esses elementos com vetores "geométricos" , como vetores de posição e momento em sistemas físicos. Outros objetos estudados por matemáticos na virada do século 20, em particular espaços de sequências (incluindo séries ) e espaços de funções, podem naturalmente ser pensados ​​como espaços lineares. Funções, por exemplo, podem ser somadas ou multiplicadas por escalares constantes, e essas operações obedecem às leis algébricas satisfeitas pela adição e multiplicação escalar de vetores espaciais.

Na primeira década do século 20, desenvolvimentos paralelos levaram à introdução de espaços de Hilbert. O primeiro destes foi a observação, que surgiu durante David Hilbert e Erhard Schmidt estudo 's de equações integrais , que dois quadrados integráveis funções reais f e g em um intervalo [ a , b ] ter um produto interno

que possui muitas das propriedades familiares do produto escalar euclidiano. Em particular, a ideia de uma família ortogonal de funções tem significado. Schmidt explorou a semelhança deste produto interno com o produto escalar usual para provar um análogo da decomposição espectral para um operador da forma

onde K é uma função simétrica contínua em x e y . A expansão de autofunção resultante expressa a função K como uma série da forma

onde as funções & Phi n são ortogonais no sentido de que φ n , φ m ⟩ = 0 para todos os nm . Os termos individuais desta série são às vezes chamados de soluções elementares de produto. No entanto, existem expansões de autofunção que falham em convergir em um sentido adequado para uma função quadrada-integrável: o ingrediente que falta, que garante a convergência, é a completude.

O segundo desenvolvimento foi a integral de Lebesgue , uma alternativa à integral de Riemann introduzida por Henri Lebesgue em 1904. A integral de Lebesgue tornou possível integrar uma classe muito mais ampla de funções. Em 1907, Frigyes Riesz e Ernst Sigismund Fischer provaram independentemente que o espaço L 2 das funções integráveis ​​de Lebesgue quadradas é um espaço métrico completo . Como consequência da interação entre geometria e completude, os resultados do século 19 de Joseph Fourier , Friedrich Bessel e Marc-Antoine Parseval em séries trigonométricas facilmente transportados para esses espaços mais gerais, resultando em um aparato geométrico e analítico agora geralmente conhecido como o Teorema de Riesz-Fischer .

Outros resultados básicos foram comprovados no início do século XX. Por exemplo, o teorema da representação de Riesz foi estabelecido independentemente por Maurice Fréchet e Frigyes Riesz em 1907. John von Neumann cunhou o termo espaço de Hilbert abstrato em seu trabalho sobre operadores Hermitianos ilimitados . Embora outros matemáticos como Hermann Weyl e Norbert Wiener já tivessem estudado espaços de Hilbert particulares em grande detalhe, muitas vezes de um ponto de vista fisicamente motivado, von Neumann deu o primeiro tratamento completo e axiomático deles. Von Neumann mais tarde os usou em seu trabalho seminal sobre os fundamentos da mecânica quântica e em seu trabalho contínuo com Eugene Wigner . O nome "espaço de Hilbert" logo foi adotado por outros, por exemplo, por Hermann Weyl em seu livro sobre mecânica quântica e a teoria dos grupos.

O significado do conceito de um espaço de Hilbert foi sublinhado com a constatação de que ele oferece uma das melhores formulações matemáticas da mecânica quântica . Em suma, os estados de um sistema mecânico quântico são vetores em um determinado espaço de Hilbert, os observáveis ​​são operadores hermitianos naquele espaço, as simetrias do sistema são operadores unitários e as medidas são projeções ortogonais . A relação entre simetrias da mecânica quântica e operadores unitários forneceu um impulso para o desenvolvimento da teoria da representação unitária de grupos , iniciada no trabalho de 1928 de Hermann Weyl. Por outro lado, no início da década de 1930, tornou-se claro que a mecânica clássica pode ser descrita em termos do espaço de Hilbert ( mecânica clássica de Koopman-von Neumann ) e que certas propriedades dos sistemas dinâmicos clássicos podem ser analisadas usando técnicas espaciais de Hilbert no quadro da teoria ergódica .

A álgebra de observáveis na mecânica quântica é naturalmente uma álgebra de operadores definidas no espaço de Hilbert, de acordo com Werner Heisenberg 's mecânica matricial formulação da teoria quântica. Von Neumann começou a investigar álgebras de operadores na década de 1930, como anéis de operadores em um espaço de Hilbert. O tipo de álgebras estudadas por von Neumann e seus contemporâneos são agora conhecidas como álgebras de von Neumann . Na década de 1940, Israel Gelfand , Mark Naimark e Irving Segal deram uma definição de um tipo de álgebras de operador chamadas C * -álgebras que, por um lado, não fazia referência a um espaço de Hilbert subjacente e, por outro, extrapolava muitas das características úteis das álgebras de operador previamente estudadas. O teorema espectral para operadores auto-adjuntos em particular que fundamenta grande parte da teoria espacial de Hilbert existente foi generalizado para C * -álgebras. Essas técnicas agora são básicas na análise harmônica abstrata e na teoria da representação.

Exemplos

Espaços Lebesgue

Lebesgue espaços são espaços de funções associadas a medir espaços ( X , M , u ) , onde X é um conjunto, M é um σ-álgebra de subconjuntos de X , e μ é uma medida contavelmente aditivo em H . Seja L 2 ( X , μ ) o espaço dessas funções mensuráveis ​​de valor complexo em X para as quais a integral de Lebesgue do quadrado do valor absoluto da função é finita, ou seja, para uma função f em L 2 ( X , μ ) ,

e onde as funções são identificadas se e somente se elas diferem apenas em um conjunto de medida zero .

O produto interno de funções f e g em G 2 ( X , μ ) é então definido como

ou

onde a segunda forma (conjugação do primeiro elemento) é comumente encontrada na literatura de física teórica. Para f e g em G 2 , a integral existe devido à desigualdade de Cauchy-Schwarz, e define um produto interno no espaço. Equipado com este produto interno, L 2 é de fato completo. A integral de Lebesgue é essencial para garantir a integridade: em domínios de números reais, por exemplo, funções insuficientes são Riemann integráveis .

Os espaços Lebesgue aparecem em muitos cenários naturais. Os espaços L 2 ( R ) e L 2 ([0,1]) de funções quadradas integráveis ​​em relação à medida de Lebesgue na linha real e intervalo unitário, respectivamente, são domínios naturais nos quais definir a transformada de Fourier e Fourier Series. Em outras situações, a medida pode ser diferente da medida de Lebesgue comum na linha real. Por exemplo, se w é qualquer função mensurável positiva, o espaço de todas as funções mensuráveis f no intervalo [0, 1] satisfazendo

é chamado o ponderado G 2 espaço G2
w
([0, 1])
e w é chamada de função de peso. O produto interno é definido por

O espaço ponderado L2
w
([0, 1])
é idêntico ao espaço de Hilbert L 2 ([0, 1], μ ) onde a medida μ de um conjunto mensurável de Lebesgue A é definida por

Espaços L 2 ponderados como este são freqüentemente usados ​​para estudar polinômios ortogonais, porque diferentes famílias de polinômios ortogonais são ortogonais em relação a diferentes funções de ponderação.

Espaços de Sobolev

Os espaços de Sobolev , denotados por H s ou W s , 2 , são espaços de Hilbert. Estes são um tipo especial de espaço funcional no qual a diferenciação pode ser realizada, mas que (ao contrário de outros espaços de Banach , como os espaços de Hölder ) sustentam a estrutura de um produto interno. Como a diferenciação é permitida, os espaços de Sobolev são uma configuração conveniente para a teoria das equações diferenciais parciais . Eles também formam a base da teoria dos métodos diretos no cálculo das variações .

Para s um inteiro não negativo e Ω ⊂ R n , o espaço de Sobolev H s (Ω) contém funções L 2 cujas derivadas fracas de ordem até s também são L 2 . O produto interno em H s (Ω) é

onde o ponto indica o produto escalar no espaço euclidiano das derivadas parciais de cada ordem. Os espaços de Sobolev também podem ser definidos quando s não é um inteiro.

Os espaços de Sobolev também são estudados do ponto de vista da teoria espectral, contando mais especificamente com a estrutura espacial de Hilbert. Se Ω for um domínio adequado, então pode-se definir o espaço de Sobolev H s (Ω) como o espaço dos potenciais de Bessel ; aproximadamente,

Aqui, Δ é o Laplaciano e (1 - Δ) - s/2é entendido em termos do teorema do mapeamento espectral . Além de fornecer uma definição viável de espaços de Sobolev para s não inteiros , essa definição também tem propriedades particularmente desejáveis ​​sob a transformada de Fourier que a tornam ideal para o estudo de operadores pseudodiferenciais . Usando esses métodos em uma variedade Riemanniana compacta , pode-se obter, por exemplo, a decomposição de Hodge , que é a base da teoria de Hodge .

Espaços de funções holomórficas

Espaços Hardy

Os espaços de Hardy são espaços de funções, decorrentes de análises complexas e análises harmônicas , cujos elementos são determinadas funções holomórficas em um domínio complexo. Deixe U denotar o disco de unidade no plano complexo. Então, o espaço de Hardy H 2 ( U ) é definido como o espaço de funções holomórficas f em U de modo que os meios

permanecem limitados para r <1 . A norma neste espaço Hardy é definida por

Os espaços de Hardy no disco estão relacionados à série de Fourier. Uma função f está em H 2 ( U ) se e somente se

Onde

Assim, H 2 ( U ) consiste nas funções que são L 2 no círculo e cujos coeficientes de Fourier de frequência negativa desaparecem.

Espaços Bergman

Os espaços de Bergman são outra família de espaços de Hilbert de funções holomórficas. Seja D um conjunto aberto limitado no plano complexo (ou um espaço complexo de dimensão superior) e seja L 2, h ( D ) o espaço das funções holomórficas f em D que também estão em L 2 ( D ) no sentido naquela

onde o integral é tomada em relação à medida de Lebesgue em D . Claramente L 2, h ( D ) é um subespaço de L 2 ( D ) ; na verdade, é um subespaço fechado e, portanto, um espaço de Hilbert por si só. Esta é uma consequência da estimativa, válida em subconjuntos compactos K de D , que

que por sua vez segue da fórmula integral de Cauchy . Assim, a convergência de uma sequência de funções holomórficas em L 2 ( D ) implica também convergência compacta e, portanto, a função limite também é holomórfica. Outra consequência dessa desigualdade é que o funcional linear que avalia uma função f em um ponto de D é na verdade contínuo em L 2, h ( D ) . O teorema da representação de Riesz implica que o funcional de avaliação pode ser representado como um elemento de L 2, h ( D ) . Assim, para cada zD , existe uma função η zL 2, h ( D ) tal que

para todo fL 2, h ( D ) . O integrando

é conhecido como o núcleo Bergman de D . Este kernel integral satisfaz uma propriedade de reprodução

Um espaço de Bergman é um exemplo de espaço de Hilbert do kernel de reprodução , que é um espaço de Hilbert de funções junto com um K ( ζ , z ) do kernel que verifica uma propriedade de reprodução análoga a esta. O espaço H 2 ( D ) de Hardy também admite um kernel reprodutor, conhecido como kernel Szegő . A reprodução de grãos também é comum em outras áreas da matemática. Por exemplo, em análise harmônica, o kernel de Poisson é um kernel de reprodução para o espaço de Hilbert de funções harmônicas integráveis ​​ao quadrado na bola unitária . O fato de o último ser um espaço de Hilbert é uma consequência do teorema do valor médio para funções harmônicas.

Formulários

Muitas das aplicações dos espaços de Hilbert exploram o fato de que os espaços de Hilbert suportam generalizações de conceitos geométricos simples, como projeção e mudança de base de sua configuração dimensional finita usual. Em particular, a teoria espectral de operadores lineares auto-adjuntos contínuos em um espaço de Hilbert generaliza a decomposição espectral usual de uma matriz , e isso freqüentemente desempenha um papel importante nas aplicações da teoria a outras áreas da matemática e da física.

Teoria de Sturm-Liouville

Os tons de uma corda vibrante. Estas são funções próprias de um problema Sturm-Liouville associado. Os autovalores 1,1/2, 1/3, ... formam a série harmônica (musical) .

Na teoria das equações diferenciais ordinárias , os métodos espectrais em um espaço de Hilbert adequado são usados ​​para estudar o comportamento dos autovalores e autofunções das equações diferenciais. Por exemplo, o problema de Sturm-Liouville surge no estudo dos harmônicos de ondas em uma corda de violino ou tambor e é um problema central em equações diferenciais ordinárias . O problema é uma equação diferencial da forma

para uma função desconhecida y em um intervalo [ a , b ] , satisfazendo condições gerais de contorno homogêneas de Robin

As funções p , q e w são fornecidas antecipadamente, e o problema é encontrar a função y e as constantes λ para as quais a equação tem uma solução. O problema só tem soluções para certos valores de λ , chamados autovalores do sistema, e isso é consequência do teorema espectral para operadores compactos aplicado ao operador integral definido pela função de Green para o sistema. Além disso, outra consequência desse resultado geral é que os autovalores λ do sistema podem ser arranjados em uma sequência crescente tendendo ao infinito.

Equações diferenciais parciais

Os espaços de Hilbert são uma ferramenta básica no estudo de equações diferenciais parciais . Para muitas classes de equações diferenciais parciais, como equações elípticas lineares , é possível considerar uma solução generalizada (conhecida como solução fraca ), ampliando a classe de funções. Muitas formulações fracas envolvem a classe de funções de Sobolev , que é um espaço de Hilbert. Uma formulação fraca adequada reduz a um problema geométrico o problema analítico de encontrar uma solução ou, freqüentemente o que é mais importante, mostrar que uma solução existe e é única para dados de fronteira dados. Para equações elípticas lineares, um resultado geométrico que garante solubilidade única para uma grande classe de problemas é o teorema de Lax-Milgram . Esta estratégia forma o rudimento do método de Galerkin (um método de elementos finitos ) para solução numérica de equações diferenciais parciais.

Um exemplo típico é a equação de Poisson −Δ u = g com condições de contorno de Dirichlet em um domínio limitado Ω em R 2 . A formulação fraca consiste em encontrar uma função u tal que, para todas as funções continuamente diferenciáveis v em Ω desaparecendo na fronteira:

Isso pode ser reformulado em termos do espaço de Hilbert H1
0
(Ω)
consistindo de funções u tais que u , junto com suas derivadas parciais fracas, são integráveis ​​ao quadrado em Ω , e desaparecem na fronteira. A questão então se reduz a encontrar u neste espaço de forma que para todo v neste espaço

onde a é uma forma bilinear contínua , eb é um funcional linear contínuo , dado respectivamente por

Como a equação de Poisson é elíptica , segue da desigualdade de Poincaré que a forma bilinear a é coerciva . O teorema de Lax-Milgram então garante a existência e a unicidade das soluções desta equação.

Os espaços de Hilbert permitem que muitas equações diferenciais parciais elípticas sejam formuladas de maneira semelhante, e o teorema de Lax-Milgram é, então, uma ferramenta básica em sua análise. Com modificações adequadas, técnicas semelhantes podem ser aplicadas a equações diferenciais parciais parabólicas e certas equações diferenciais parciais hiperbólicas .

Teoria ergódica

A trajetória de uma bola de bilhar no estádio Bunimovich é descrita por um sistema dinâmico ergódico .

O campo da teoria ergódica é o estudo do comportamento de longo prazo de sistemas dinâmicos caóticos . O caso típico de um campo ao qual a teoria ergódica se aplica é a termodinâmica , em que - embora o estado microscópico de um sistema seja extremamente complicado (é impossível entender o conjunto de colisões individuais entre partículas de matéria) - o comportamento médio por um período suficientemente longo intervalos de tempo são tratáveis. As leis da termodinâmica são afirmações sobre esse comportamento médio. Em particular, uma formulação da lei zero da termodinâmica afirma que em escalas de tempo suficientemente longas, a única medição funcionalmente independente que se pode fazer de um sistema termodinâmico em equilíbrio é sua energia total, na forma de temperatura .

Um sistema dinâmico ergódico é aquele para o qual, além da energia - medida pelo hamiltoniano - não há outras quantidades conservadas funcionalmente independentes no espaço de fase . Mais explicitamente, suponha que a energia E é fixa, e seja Ω E o subconjunto do espaço de fase que consiste em todos os estados de energia E (uma superfície de energia), e seja T t o operador de evolução no espaço de fase. O sistema dinâmico é ergódico se não houver funções contínuas não constantes em Ω E tal que

para todos w on Ω E e todos os tempos t . O teorema de Liouville implica que existe uma medida μ na superfície de energia que é invariante sob a tradução do tempo . Como resultado, a tradução no tempo é uma transformação unitária do espaço de Hilbert L 2E , μ ) que consiste em funções quadradas integráveis ​​na superfície de energia Ω E em relação ao produto interno

O teorema ergódico médio de von Neumann afirma o seguinte:

  • Se U t é um semigrupo (fortemente contínuo) de um parâmetro de operadores unitários em um espaço de Hilbert H , e P é a projeção ortogonal no espaço de pontos fixos comuns de U t , { xH | U t x = x , ∀ t > 0} , então

Para um sistema ergódico, o conjunto fixo da evolução do tempo consiste apenas nas funções constantes, então o teorema ergódico implica o seguinte: para qualquer função fL 2E , μ ) ,

Ou seja, a média longa de um f observável é igual ao seu valor esperado sobre uma superfície de energia.

Análise de Fourier

Superposição de funções de base da onda sinusoidal (parte inferior) para formar uma onda dente de serra (parte superior)
Harmônicos esféricos , uma base ortonormal para o espaço de Hilbert de funções quadradas integráveis ​​na esfera, mostrados graficamente ao longo da direção radial

Um dos objetivos básicos da análise de Fourier é decompor uma função em uma combinação linear (possivelmente infinita) de determinadas funções de base: a série de Fourier associada . A série clássica de Fourier associada a uma função f definida no intervalo [0, 1] é uma série da forma

Onde

O exemplo de somar os primeiros termos em uma série de Fourier para uma função dente de serra é mostrado na figura. As funções básicas são ondas senoidais com comprimentos de ondaλ/n(para o inteiro n ) mais curto do que o comprimento de onda λ da própria serra (exceto para n = 1 , a onda fundamental ). Todas as funções básicas têm nós nos nós do dente de serra, mas todas, exceto a fundamental, têm nós adicionais. A oscilação dos termos somados sobre o dente de serra é chamada de fenômeno de Gibbs .

Um problema significativo na série clássica de Fourier pergunta em que sentido a série de Fourier converge, se é que converge, para a função f . Os métodos espaciais de Hilbert fornecem uma resposta possível a essa pergunta. As funções e n ( θ ) = e emθ formam uma base ortogonal do espaço de Hilbert L 2 ([0, 1]) . Consequentemente, qualquer função quadrada integrável pode ser expressa como uma série

e, além disso, esta série converge no sentido de espaço de Hilbert (ou seja, na média L 2 ).

O problema também pode ser estudado do ponto de vista abstrato: todo espaço de Hilbert tem uma base ortonormal , e cada elemento do espaço de Hilbert pode ser escrito de uma maneira única como uma soma de múltiplos desses elementos de base. Os coeficientes que aparecem nesses elementos básicos às vezes são conhecidos abstratamente como os coeficientes de Fourier do elemento do espaço. A abstração é especialmente útil quando é mais natural usar diferentes funções de base para um espaço como L 2 ([0, 1]) . Em muitas circunstâncias, é desejável não decompor uma função em funções trigonométricas, mas sim em polinômios ortogonais ou ondas, por exemplo, e em dimensões superiores em harmônicos esféricos .

Por exemplo, se e n são quaisquer funções de base ortonormais de L 2 [0, 1] , então uma dada função em L 2 [0, 1] pode ser aproximada como uma combinação linear finita

Os coeficientes { a j } são selecionados para fazer a magnitude da diferença || f - f n || 2 o menor possível. Geometricamente, a melhor aproximação é a projeção ortogonal de f no subespaço que consiste em todas as combinações lineares de { e j } , e pode ser calculada por

Que esta fórmula minimiza a diferença || f - f n || 2 é uma consequência da desigualdade de Bessel e da fórmula de Parseval .

Em várias aplicações para problemas físicos, uma função pode ser decomposta em autofunções fisicamente significativas de um operador diferencial (normalmente o operador de Laplace ): isso forma a base para o estudo espectral de funções, em referência ao espectro do operador diferencial. Uma aplicação física concreta envolve o problema de ouvir a forma de um tambor : dados os modos fundamentais de vibração que uma pele de tambor é capaz de produzir, pode-se inferir a forma do próprio tambor? A formulação matemática desta questão envolve os autovalores de Dirichlet da equação de Laplace no plano, que representam os modos fundamentais de vibração em analogia direta com os inteiros que representam os modos fundamentais de vibração da corda do violino.

A teoria espectral também fundamenta certos aspectos da transformada de Fourier de uma função. Enquanto a análise de Fourier decompõe uma função definida em um conjunto compacto no espectro discreto do Laplaciano (que corresponde às vibrações de uma corda de violino ou tambor), a transformada de Fourier de uma função é a decomposição de uma função definida em todo o espaço euclidiano em seus componentes no espectro contínuo do Laplaciano. A transformação de Fourier também é geométrica, em um sentido tornado preciso pelo teorema de Plancherel , que afirma que é uma isometria de um espaço de Hilbert (o "domínio do tempo") com outro (o "domínio da frequência"). Esta propriedade de isometria da transformação de Fourier é um tema recorrente na análise harmônica abstrata (uma vez que reflete a conservação de energia para a transformada de Fourier contínua), como evidenciado, por exemplo, pelo teorema de Plancherel para funções esféricas que ocorrem na análise harmônica não comutativa .

Mecânica quântica

Na formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica , desenvolvida por John von Neumann , os estados possíveis (mais precisamente, os estados puros ) de um sistema mecânico quântico são representados por vetores unitários (chamados de vetores de estado ) que residem em um espaço de Hilbert separável complexo, conhecido como o espaço de estados , bem definido até um número complexo da norma 1 (o fator de fase ). Em outras palavras, os estados possíveis são pontos na projetivização de um espaço de Hilbert, usualmente chamado de espaço projetivo complexo . A natureza exata desse espaço de Hilbert depende do sistema; por exemplo, os estados de posição e momento para uma única partícula não relativística de spin zero é o espaço de todas as funções quadradas integráveis , enquanto os estados para o spin de um único próton são elementos unitários do complexo espaço de Hilbert bidimensional de espinores . Cada observável é representado por um operador linear auto-adjunto atuando no espaço de estados. Cada autoestado de um observável corresponde a um autovetor do operador, e o autovalor associado corresponde ao valor do observável nesse autocontrole.

O produto interno entre dois vetores de estado é um número complexo conhecido como amplitude de probabilidade . Durante uma medição ideal de um sistema mecânico quântico, a probabilidade de que um sistema entre em colapso de um determinado estado inicial para um estado próprio particular é dada pelo quadrado do valor absoluto das amplitudes de probabilidade entre os estados inicial e final. Os resultados possíveis de uma medição são os autovalores do operador - o que explica a escolha de operadores autoadjuntos, pois todos os autovalores devem ser reais. A distribuição de probabilidade de um observável em um determinado estado pode ser encontrada calculando a decomposição espectral do operador correspondente.

Para um sistema geral, os estados normalmente não são puros, mas, em vez disso, são representados como misturas estatísticas de estados puros, ou estados mistos, dados por matrizes de densidade : operadores auto-adjuntos de traço um em um espaço de Hilbert. Além disso, para sistemas de mecânica quântica em geral, os efeitos de uma única medição podem influenciar outras partes de um sistema de uma maneira que é descrita por uma medida com valor de operador positivo . Assim, a estrutura tanto dos estados quanto dos observáveis ​​na teoria geral é consideravelmente mais complicada do que a idealização para estados puros.

Percepção de cores

Qualquer cor física verdadeira pode ser representada por uma combinação de cores espectrais puras . Como as cores físicas podem ser compostas de qualquer número de cores espectrais, o espaço das cores físicas pode ser adequadamente representado por um espaço de Hilbert sobre cores espectrais. Os humanos têm três tipos de células cônicas para a percepção das cores, então as cores perceptíveis podem ser representadas pelo espaço euclidiano tridimensional. O mapeamento linear muitos-para-um do espaço de Hilbert de cores físicas para o espaço euclidiano de cores humanas perceptíveis explica por que muitas cores físicas distintas podem ser percebidas pelos humanos como sendo idênticas (por exemplo, luz amarela pura versus uma mistura de vermelho e verde luz, ver metamerismo ).

Propriedades

Identidade pitagórica

Dois vectores de u e v em um espaço de Hilbert H são ortogonais quando u , v ⟩ = 0 . A notação para isso é uv . De modo mais geral, quando S é um subconjunto em H , a notação uS meios que u é ortogonal para cada elemento a partir de S .

Quando u e v são ortogonais, tem-se

Por indução em n , isso é estendido a qualquer família u 1 , ..., u n de n vetores ortogonais,

Considerando que a identidade pitagórica, conforme declarada, é válida em qualquer espaço interno do produto, a integridade é necessária para a extensão da identidade pitagórica à série. Uma série Σ u k de vetores ortogonais converge em H se e somente se a série de quadrados de normas converge, e

Além disso, a soma de uma série de vetores ortogonais é independente da ordem em que é tomada.

Identidade de paralelogramo e polarização

Geometricamente, a identidade do paralelogramo afirma que AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 ) . Em palavras, a soma dos quadrados das diagonais é duas vezes a soma dos quadrados de quaisquer dois lados adjacentes.

Por definição, todo espaço de Hilbert também é um espaço de Banach . Além disso, em cada espaço de Hilbert, a seguinte identidade de paralelogramo é válida:

Por outro lado, cada espaço de Banach no qual a identidade do paralelogramo se mantém é um espaço de Hilbert, e o produto interno é determinado exclusivamente pela norma pela identidade de polarização . Para espaços de Hilbert reais, a identidade de polarização é

Para espaços Hilbert complexos, é

A lei do paralelogramo implica que qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach uniformemente convexo .

Melhor aproximação

Esta subseção emprega o teorema da projeção de Hilbert . Se C é um subconjunto convexo fechado não vazio de um espaço de Hilbert H e x um ponto em H , existe um ponto único yC que minimiza a distância entre x e pontos em C ,

Isso equivale a dizer que há um ponto com norma mínima no conjunto convexo traduzido D = C - x . A prova consiste em mostrar que toda sequência minimizante ( d n ) ⊂ D é Cauchy (usando a identidade do paralelogramo), portanto, converge (usando completude) para um ponto em D que tem norma mínima. De maneira mais geral, isso ocorre em qualquer espaço de Banach uniformemente convexo.

Quando este resultado é aplicado a um subespaço fechado F de H , pode-se mostrar que o ponto yF mais próximo de x é caracterizado por

Este ponto y é a projeção ortogonal de x em F , e o mapeamento P F  : xy é linear (veja Complementos ortogonais e projeções ). Esse resultado é especialmente significativo na matemática aplicada , especialmente na análise numérica , onde forma a base dos métodos de mínimos quadrados .

Em particular, quando M não é igual a H , pode-se encontrar um diferente de zero vetor v ortogonal para F (seleccionar xF e v = x - y ). Um critério muito útil é obtido aplicando esta observação ao subespaço fechado M gerada por um subconjunto S de H .

Um subconjunto S de H abrange um subespaço vector denso se (e somente se) o vector de 0 é o único vector vH ortogonal para S .

Dualidade

O espaço dual H * é o espaço de todas as funções lineares contínuas do espaço H para o campo base. Carrega uma norma natural, definida por

Essa norma satisfaz a lei do paralelogramo e, portanto, o espaço dual também é um espaço de produto interno onde esse produto interno pode ser definido em termos dessa norma dupla usando a identidade de polarização . O espaço dual também está completo, por isso é um espaço de Hilbert por direito próprio. Se e = ( e i ) iI é uma base ortonormal completa para H, então o produto interno no espaço dual de quaisquer dois é

onde todos, exceto contáveis ​​muitos dos termos nesta série são zero.

O teorema da representação de Riesz fornece uma descrição conveniente do espaço dual. Para cada elemento u de H , há um único elemento φ u de H * , definido por

onde além disso,

O teorema da representação de Riesz afirma que o mapa de H a H * definido por uφ u é sobrejetivo , o que torna este mapa um isomorfismo antilinear isométrico . Portanto, para cada elemento φ do H * dual existe um e apenas um u φ em H tal que

para todos os xH . O produto interno no espaço dual H * satisfaz

A inversão da ordem no lado direito restaura a linearidade em φ da antilinearidade de u φ . No caso real, o isomorfismo antilinear de H para seu dual é na verdade um isomorfismo, e assim os espaços de Hilbert reais são naturalmente isomórficos em relação aos seus próprios duais.

O vetor representativo u φ é obtido da seguinte maneira. Quando φ ≠ 0 , o núcleo F = Ker ( φ ) é um subespaço fechado vector de H , não é igual a H , portanto, existe um diferente de zero vetor v ortogonal ao F . O vetor u é um múltiplo escalar adequado λv de v . A exigência de que φ ( v ) = ⟨ v , u rendimentos

Essa correspondência φu é explorada pela notação bra-ket popular na física . É comum na física para assumir que o produto interno, denotado por x | y , é linear à direita,

O resultado x | y pode ser visto como a ação do funcional linear x | (o sutiã ) no vetor | y (a Ket ).

O teorema da representação de Riesz se baseia fundamentalmente não apenas na presença de um produto interno, mas também na integridade do espaço. Na verdade, o teorema implica que o dual topológico de qualquer espaço de produto interno pode ser identificado com sua conclusão. Uma consequência imediata do teorema da representação de Riesz é também que um espaço de Hilbert H é reflexivo , o que significa que o mapa natural de H em seu espaço dual duplo é um isomorfismo.

Sequências fracamente convergentes

Em um espaço de Hilbert H , uma sequência { x n } é fracamente convergente para um vetor xH quando

para cada vH .

Por exemplo, qualquer sequência ortonormal { f n } converge fracamente para 0, como consequência da desigualdade de Bessel . Cada sequência fracamente convergente { x n } é limitada, pelo princípio de limitação uniforme .

Por outro lado, toda sequência limitada em um espaço de Hilbert admite subsequências fracamente convergentes ( teorema de Alaoglu ). Este fato pode ser usado para provar resultados de minimização para funcionais convexos contínuos , da mesma forma que o teorema de Bolzano-Weierstrass é usado para funções contínuas em R d . Entre as várias variantes, uma declaração simples é a seguinte:

Se f  : HR é uma função convexa contínua tal que f ( x ) tende a + ∞ quando || x || tende a , então f admite um mínimo em algum ponto x 0H .

Este fato (e suas várias generalizações) são fundamentais para os métodos diretos no cálculo das variações . Os resultados de minimização para funcionais convexos também são uma consequência direta do fato um pouco mais abstrato de que subconjuntos convexos limitados em um espaço de Hilbert H são fracamente compactos , uma vez que H é reflexivo. A existência de subseqüências fracamente convergentes é um caso especial do teorema de Eberlein – Šmuliano .

Propriedades do espaço de Banach

Qualquer propriedade geral dos espaços de Banach continua valendo para os espaços de Hilbert. O teorema do mapeamento aberto afirma que uma transformação linear sobrejetiva contínua de um espaço de Banach para outro é um mapeamento aberto, o que significa que ele envia conjuntos abertos para conjuntos abertos. Um corolário é o teorema do inverso limitado , de que uma função linear contínua e bijetiva de um espaço de Banach para outro é um isomorfismo (ou seja, um mapa linear contínuo cujo inverso também é contínuo). Este teorema é consideravelmente mais simples de provar no caso de espaços de Hilbert do que em espaços de Banach em geral. O teorema do mapeamento aberto é equivalente ao teorema do gráfico fechado , que afirma que uma função linear de um espaço de Banach para outro é contínua se e somente se seu gráfico for um conjunto fechado . No caso de espaços de Hilbert, isso é básico no estudo de operadores ilimitados (ver operador fechado ).

O teorema (geométrico) de Hahn-Banach afirma que um conjunto convexo fechado pode ser separado de qualquer ponto fora dele por meio de um hiperplano do espaço de Hilbert. Esta é uma consequência imediata da propriedade de melhor aproximação : se y for o elemento de um conjunto convexo fechado F mais próximo de x , então o hiperplano de separação é o plano perpendicular ao segmento xy passando por seu ponto médio.

Operadores em espaços Hilbert

Operadores limitados

Os operadores lineares contínuos A  : H 1H 2 de um espaço de Hilbert H 1 para um segundo espaço de Hilbert H 2 são limitados no sentido de que eles mapeiam conjuntos limitados para conjuntos limitados. Por outro lado, se um operador é limitado, ele é contínuo. O espaço de tais operadores lineares limitados tem uma norma , a norma do operador dada por

A soma e a composição de dois operadores lineares limitados são novamente limitados e lineares. Para y em H 2 , o mapa, que envia xH 1 para Ax , y é linear e contínuo, e de acordo com a representação de Riesz teorema pode, portanto, ser representada na forma

para algum vetor A * y em H 1 . Isto define um outro operador linear delimitada Um *: H 2H 1 , o adjunto de um . Os satisfaz adjuntos A ** = A . Quando a representação de Riesz teorema é utilizado para identificar cada espaço de Hilbert com o seu espaço dupla contínua, o adjunto de A pode ser demonstrado ser idêntico para a transposição t A  : H 2 * → H 1 * de A , o qual, por definição, envia para o funcional

O conjunto B ( H ) de todos os operadores lineares limitados em H (significando operadores HH ), junto com as operações de adição e composição, a norma e a operação adjunta, é uma C * -álgebra , que é um tipo de álgebra de operador .

Um elemento Um de B ( H ) é chamado de 'auto-adjunta' ou 'Hermitiana' se A * = A . Se A é Hermitian e Axe , x ⟩ ≥ 0 para todo x , então A é chamado de 'não negativo', escrito A ≥ 0 ; se a igualdade for mantida apenas quando x = 0 , então A é chamado de 'positivo'. O conjunto de operadores autoadjuntos admite uma ordem parcial , em que AB se A - B ≥ 0 . Se A tiver a forma B * B para algum B , então A é não negativo; se B é invertível, então A é positivo. O inverso também é verdadeiro no sentido de que, para um operador não negativo A , existe uma única raiz quadrada não negativa B tal que

Em um sentido tornado preciso pelo teorema espectral , os operadores auto-adjuntos podem ser considerados como operadores que são "reais". Um elemento A de B ( H ) é denominado normal se A * A = AA * . Operadores normais se decompõem na soma de operadores auto-adjuntos e um múltiplo imaginário de um operador autoadjunto

que se deslocam entre si. Os operadores normais também podem ser considerados em termos de suas partes reais e imaginárias.

Um elemento U de B ( H ) é denominado unitário se U for invertível e seu inverso for dado por U * . Isto também pode ser expresso requerendo que L seja para e Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y para todos os x , yH . Os operadores unitários formar um grupo sob composição, que é o grupo isometría de H .

Um elemento de B ( H ) é compacto se envia conjuntos limitados para conjuntos relativamente compactos . Equivalentemente, um operador limitado T é compacto se, para qualquer sequência limitada { x k } , a sequência { Tx k } tem uma subsequência convergente. Muitos operadores integrais são compactos e, de fato, definem uma classe especial de operadores conhecidos como operadores de Hilbert-Schmidt que são especialmente importantes no estudo de equações integrais . Os operadores de Fredholm diferem de um operador compacto por um múltiplo da identidade e são caracterizados de forma equivalente como operadores com kernel e cokernel de dimensão finita . O índice de um operador Fredholm T é definido por

O índice é invariante à homotopia e desempenha um papel importante na geometria diferencial por meio do teorema do índice Atiyah – Singer .

Operadores ilimitados

Operadores ilimitados também são tratáveis ​​em espaços de Hilbert e têm aplicações importantes para a mecânica quântica . Um operador ilimitada T em um espaço de Hilbert H é definido como um operador linear cujo domínio D ( t ) é um subespaço linear de H . Freqüentemente, o domínio D ( T ) é um subespaço denso de H , caso em que T é conhecido como um operador densamente definido .

O adjunto de um operador ilimitado densamente definido é definido essencialmente da mesma maneira que para operadores limitados. Operadores ilimitados auto-adjuntos desempenham o papel dos observáveis na formulação matemática da mecânica quântica. Exemplos de operadores ilimitados auto-adjuntos no espaço de Hilbert L 2 ( R ) são:

  • Uma extensão adequada do operador diferencial
    onde i é a unidade imaginária ef é uma função diferenciável de suporte compacto.
  • O operador de multiplicação por x :

Estes correspondem ao momento e à posição observáveis, respectivamente. Observe que nem A nem B são definidos em todos os H , uma vez que no caso de A a derivada não precisa existir, e no caso de B a função produto não precisa ser quadrada integrável. Em ambos os casos, o conjunto de argumentos possíveis forma subespaços densos de L 2 ( R ) .

Construções

Somas diretas

Dois espaços de Hilbert H 1 e H 2 podem ser combinados em outro espaço de Hilbert, chamado de soma direta (ortogonal) e denotado

consistindo no conjunto de todos os pares ordenados ( x 1 , x 2 ) onde x iH i , i = 1, 2 e o produto interno definido por

Mais geralmente, se H i é uma família de espaços de Hilbert indexados por iI , então a soma direta de H i , denotada

consiste no conjunto de todas as famílias indexadas

no produto cartesiano do H i tal que

O produto interno é definido por

Cada um dos H i é incluído como um subespaço fechado na soma direta de todos os H i . Além disso, os H i são ortogonais aos pares. Inversamente, se houver um sistema de subespaços fechados, V i , iI , em um espaço de Hilbert H , que são ortogonais aos pares e cuja união é densa em H , então H é canonicamente isomórfico à soma direta de V i . Nesse caso, H é chamado de soma direta interna de V i . Uma soma direta (interna ou externa) também é equipada com uma família de projeções ortogonais E i sobre a i- ésima soma direta H i . Essas projeções são operadores limitados, auto-adjuntos e idempotentes que satisfazem a condição de ortogonalidade

O teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos em um espaço de Hilbert H afirma que H se divide em uma soma direta ortogonal dos autoespaços de um operador e também fornece uma decomposição explícita do operador como uma soma de projeções nos autoespaços. A soma direta dos espaços de Hilbert também aparece na mecânica quântica como o espaço Fock de um sistema contendo um número variável de partículas, onde cada espaço de Hilbert na soma direta corresponde a um grau adicional de liberdade para o sistema da mecânica quântica. Na teoria da representação , o teorema de Peter-Weyl garante que qualquer representação unitária de um grupo compacto em um espaço de Hilbert se divide como a soma direta de representações de dimensão finita.

Produtos tensores

Se x 1 , y 1 ε H 1 e x 2 , Y 2 ε H 2 , em seguida, se define um produto interno no (ordinário) produto tensor como se segue. Em tensores simples , deixe

Esta fórmula então se estende por sesquilinearidade a um produto interno em H 1H 2 . O produto tensorial Hilbertiano de H 1 e H 2 , às vezes denotado por H 1 H 2 , é o espaço de Hilbert obtido ao completar H 1H 2 para a métrica associada a este produto interno.

Um exemplo é fornecido pelo espaço de Hilbert L 2 ([0, 1]) . O produto tensorial Hilbertiano de duas cópias de L 2 ([0, 1]) é isométrica e linearmente isomórfico ao espaço L 2 ([0, 1] 2 ) de funções quadradas integráveis ​​no quadrado [0, 1] 2 . Este isomorfismo envia um tensor simples f 1f 2 para a função

na Praça.

Este exemplo é típico no seguinte sentido. Associado a cada produto tensorial simples x 1x 2 está o operador de classificação um de H
1
para H 2 que mapeia um dado x * ∈ H
1
Como

Este mapeamento definido em tensores simples se estende a uma identificação linear entre H 1H 2 e o espaço de operadores de classificação finita de H
1
para H 2 . Isso se estende a uma isometria linear do produto tensorial Hilbertiano H 1 H 2 com o espaço de Hilbert HS ( H
1
, H 2 )
de operadores Hilbert-Schmidt de H
1
para H 2 .

Bases ortonormais

A noção de uma base ortonormal da álgebra linear se generaliza para o caso dos espaços de Hilbert. Em um espaço de Hilbert H , uma base ortonormal é uma família { e k } kB de elementos de H satisfazendo as condições:

  1. Ortogonalidade : A cada dois elementos diferentes de B são ortogonais: e k , e j ⟩ = 0 para todos os k , jB com kj .
  2. Normalização : Cada elemento da família tem a norma 1: || e k || = 1 para todo kB .
  3. Completude : O intervalo linear da família e k , kB , é densa em H .

Um sistema de vetores que satisfazem as duas primeiras condições básicas é chamado de sistema ortonormal ou conjunto ortonormal (ou sequência ortonormal se B for contável ). Esse sistema é sempre linearmente independente . A integridade de um sistema ortonormal de vetores de um espaço de Hilbert pode ser reafirmado de forma equivalente como:

se v , e k ⟩ = 0 para todos os kB e alguns vH , então v = 0 .

Isso está relacionado ao fato de que o único vetor ortogonal a um subespaço linear denso é o vetor zero, pois se S é qualquer conjunto ortonormal ev é ortogonal a S , então v é ortogonal ao fechamento do intervalo linear de S , que é todo o espaço.

Exemplos de bases ortonormais incluem:

  • o conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forma uma base ortonormal de R 3 com o produto escalar ;
  • a sequência { f n  : nZ } com f n ( x ) = exp (2π inx ) forma uma base ortonormal do espaço complexo L 2 ([0, 1]) ;

No caso de dimensão infinita, uma base ortonormal não será uma base no sentido da álgebra linear ; para distinguir as duas, a última base também é chamada de base de Hamel . O fato de a amplitude dos vetores de base ser densa implica que cada vetor no espaço pode ser escrito como a soma de uma série infinita, e a ortogonalidade implica que essa decomposição é única.

Espaços de sequência

O espaço das sequências somadas ao quadrado de números complexos é o conjunto de sequências infinitas

de números reais ou complexos tais que

Este espaço tem uma base ortonormal:

Este espaço é a generalização de dimensão infinita do espaço de vetores de dimensão finita. Geralmente é o primeiro exemplo usado para mostrar que em espaços de dimensão infinita, um conjunto que é fechado e limitado não é necessariamente (sequencialmente) compacto (como é o caso em todos os espaços de dimensão finita ). De fato, o conjunto de vetores ortonormais acima mostra isso: É uma sequência infinita de vetores na bola unitária (ou seja, a bola de pontos com norma menor ou igual a um). Este conjunto é claramente delimitado e fechado; ainda, nenhuma subseqüência desses vetores converge para qualquer coisa e, conseqüentemente, a bola unitária em não é compacta. Intuitivamente, isso ocorre porque "sempre há outra direção coordenada" para a qual os próximos elementos da sequência podem escapar.

Pode-se generalizar o espaço de várias maneiras. Por exemplo, se B for qualquer conjunto (infinito), então pode-se formar um espaço de Hilbert de sequências com conjunto de índice B , definido por

O somatório sobre B é aqui definido por

o supremo ser tomado todos os subconjuntos finitos de  B . Segue-se que, para essa soma ser finita, cada elemento de l 2 ( B ) tem apenas contáveis ​​termos diferentes de zero. Este espaço se torna um espaço Hilbert com o produto interno

para todo x , yl 2 ( B ) . Aqui, a soma também tem apenas contáveis ​​termos diferentes de zero e é incondicionalmente convergente pela desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Uma base ortonormal de l 2 ( B ) é indexada pelo conjunto B , dado por

Desigualdade de Bessel e fórmula de Parseval

Deixe- f 1 , ..., M n ser um sistema ortonormal finito em  H . Para um vetor arbitrário xH , deixe

Então x , f k ⟩ = ⟨ y , f k para todos os k = 1, ..., n . Segue-se que x - y é ortogonal a cada f k , portanto x - y é ortogonal a  y . Usando a identidade pitagórica duas vezes, segue-se que

Deixe { f i }, ieu , ser um sistema ortonormal arbitrário em  H . Aplicar a desigualdade anterior a cada subconjunto finito J de I resulta na desigualdade de Bessel:

(de acordo com a definição da soma de uma família arbitrária de números reais não negativos).

Geometricamente, a desigualdade de Bessel implica que a projeção ortogonal de x no subespaço linear medido por f i tem norma que não excede a de x . Em duas dimensões, é a afirmação de que o comprimento da perna de um triângulo retângulo não pode exceder o comprimento da hipotenusa.

A desigualdade de Bessel é um trampolim para o resultado mais forte chamado identidade de Parseval , que governa o caso quando a desigualdade de Bessel é na verdade uma igualdade. Por definição, se { e k } kB é uma base ortonormal de H , então cada elemento x de H pode ser escrito como

Mesmo se B for incontável, a desigualdade de Bessel garante que a expressão é bem definida e consiste apenas em muitos termos contáveis ​​diferentes de zero. Esta soma é chamado a expansão de Fourier de x , e os coeficientes individuais x , e k são os coeficientes de Fourier de x . A identidade de Parseval, então, afirma que

Por outro lado, se { e k } é um conjunto ortonormal tal que a identidade de Parseval vale para cada x , então { e k } é uma base ortonormal.

Dimensão de Hilbert

Como consequência do lema de Zorn , todo espaço de Hilbert admite uma base ortonormal; além disso, quaisquer duas bases ortonormais do mesmo espaço têm a mesma cardinalidade , chamada de dimensão de Hilbert do espaço. Por exemplo, como l 2 ( B ) tem uma base ortonormal indexada por B , sua dimensão de Hilbert é a cardinalidade de B (que pode ser um inteiro finito ou um número cardinal contável ou incontável ).

Como uma consequência de identidade de Parseval, se { E k } kB é uma base ortonormal de H , em seguida, o mapa Φ: Hl 2 ( B ) definido por Φ ( x ) = ⟨x, e kkB é um isomorfismo isométrico de espaços de Hilbert: é um mapeamento linear bijetivo tal que

para todos os x , yH . O número cardinal de B é a dimensão de Hilbert de H . Assim, cada espaço de Hilbert é isometricamente isomorfo a um espaço sequência l 2 ( B ) para um conjunto B .

Espaços separáveis

Por definição, um espaço de Hilbert é separável, desde que contenha um subconjunto contável denso. Junto com o lema de Zorn, isso significa que um espaço de Hilbert é separável se e somente se ele admitir uma base ortonormal contável . Todos os espaços de Hilbert separáveis ​​de dimensão infinita são, portanto, isometricamente isomórficos a l 2 .

No passado, os espaços de Hilbert eram frequentemente solicitados a serem separáveis ​​como parte da definição. A maioria dos espaços usados ​​em física são separáveis ​​e, uma vez que são todos isomórficos entre si, muitas vezes se refere a qualquer espaço de Hilbert separável de dimensão infinita como " o espaço de Hilbert" ou apenas "espaço de Hilbert". Mesmo na teoria quântica de campos , a maioria dos espaços de Hilbert são de fato separáveis, conforme estipulado pelos axiomas de Wightman . No entanto, às vezes é argumentado que os espaços de Hilbert não separáveis ​​também são importantes na teoria quântica de campos, aproximadamente porque os sistemas na teoria possuem um número infinito de graus de liberdade e qualquer produto tensor de Hilbert infinito (de espaços de dimensão maior que um) não é separável. Por exemplo, um campo bosônico pode ser pensado naturalmente como um elemento de um produto tensorial cujos fatores representam osciladores harmônicos em cada ponto do espaço. Dessa perspectiva, o espaço de estado natural de um bóson pode parecer um espaço inseparável. No entanto, é apenas um pequeno subespaço separável do produto tensorial completo que pode conter campos fisicamente significativos (nos quais os observáveis ​​podem ser definidos). Outro espaço de Hilbert não separável modela o estado de uma coleção infinita de partículas em uma região ilimitada do espaço. Uma base ortonormal do espaço é indexada pela densidade das partículas, um parâmetro contínuo, e como o conjunto de densidades possíveis é incontável, a base não é contável.

Complementos ortogonais e projeções

Se S é um subconjunto de um espaço de Hilbert H , o conjunto de vetores ortogonais a S é definido por

O conjunto S é um subespaço fechado de H (pode ser facilmente provado usando a linearidade e a continuidade do produto interno) e assim forma um espaço de Hilbert. Se V é um subespaço fechado de H , então V é chamado o complemento ortogonal de V . Na verdade, cada xH pode então ser escrita de forma única como x = v + w , com vV e WV . Portanto, H é a soma direta de Hilbert interna de V e V .

O operador linear P V  : HH que mapeia x a v é chamado a projecção ortogonal em V . Há um naturais correspondência de um-para-um entre o conjunto de todos os subespaços fechados de H e o conjunto de todos os operadores de auto-adjunto limitado P tal que P 2 = P . Especificamente,

Teorema  -  A projeção ortogonal P V é um operador linear auto-adjunto em H de norma ≤ 1 com a propriedade P2
V
= P V
. Além disso, qualquer autoadjunto linear operador E tal que E 2 = E é da forma P V , em que V é o intervalo de E . Para cada x em H , P V ( x ) é o único elemento v de V que minimiza a distância || x - v || .

Isto proporciona a interpretação geométrica de P V ( x ) : é a melhor aproximação para x por elementos de V .

As projeções P U e P V são chamadas mutuamente ortogonais se P U P V = 0 . Isto é equivalente a U e V ser ortogonal como subespaços de H . A soma das duas projecções P U e P V é uma projecção apenas se L e V são ortogonais entre si, e em que caso P L + P V = P L + V . O composto P U P V geralmente não é uma projeção; de facto, o composto é uma projecção, se e somente se as duas projecções comutar, e, nesse caso, P L P V = P LV .

Ao restringir o codomínio ao espaço de Hilbert V , a projeção ortogonal P V dá origem a um mapeamento de projeção π  : HV ; é o adjunto do mapeamento de inclusão

significa que

para todos os xV e yH .

A norma do operador da projeção ortogonal P V em um subespaço fechado diferente de zero V é igual a 1:

Cada sub espaço fechado V de um espaço de Hilbert é, por conseguinte, a imagem de um operador P de uma norma de tal modo que P 2 = P . A propriedade de possuir operadores de projeção apropriados caracteriza os espaços de Hilbert:

  • Um espaço de Banach de dimensão superior a 2 é (isometricamente) um espaço de Hilbert se e somente se, para cada subespaço fechado V , houver um operador P V de norma um cuja imagem é V tal que P2
    V
    = P V
    .

Enquanto este resultado caracteriza a estrutura métrica de um espaço de Hilbert, a estrutura de um espaço de Hilbert como um espaço vetorial topológico pode ser caracterizada em termos da presença de subespaços complementares:

  • Um Banach espaço X é topologicamente e linearmente isomorfo a um espaço de Hilbert se e apenas se, para cada sub espaço fechado V , existe um subespaço fechado W de tal modo que X é igual à soma directo interno VW .

O complemento ortogonal satisfaz alguns resultados mais elementares. Ele é uma função monótona no sentido que, se LV , então V L com exploração igualdade se e somente se V está contido no fecho de L . Este resultado é um caso especial do teorema de Hahn – Banach . O fechamento de um subespaço pode ser completamente caracterizado em termos do complemento ortogonal: se V é um subespaço de H , então o fechamento de V é igual a V ⊥⊥ . O complemento ortogonal é, portanto, uma conexão de Galois na ordem parcial dos subespaços de um espaço de Hilbert. Em geral, o complemento ortogonal de uma soma de subespaços é a interseção dos complementos ortogonais:

Se o V i também estiver fechado, então

Teoria espectral

Existe uma teoria espectral bem desenvolvida para operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert, que é aproximadamente análoga ao estudo de matrizes simétricas sobre os reais ou matrizes auto-adjuntas sobre os números complexos. No mesmo sentido, pode-se obter uma "diagonalização" de um operador auto-adjunto como uma soma adequada (na verdade, uma integral) de operadores de projeção ortogonal.

O espectro de um operador T , denotado σ ( T ) , é o conjunto de números complexos λ tal que T - λ carece de um inverso contínuo. Se T for limitado, então o espectro é sempre um conjunto compacto no plano complexo e fica dentro do disco | z | ≤ || T || . Se T for auto-adjunta, então o espectro é real. Na verdade, ele está contido no intervalo [ m , M ] onde

Além disso, m e M estão ambos realmente contidos no espectro.

Os autoespaços de um operador T são dados por

Ao contrário das matrizes finitas, nem todo elemento do espectro de T deve ser um autovalor: o operador linear T - λ pode apenas não ter um inverso porque não é sobrejetivo. Os elementos do espectro de um operador no sentido geral são conhecidos como valores espectrais . Uma vez que os valores espectrais não precisam ser autovalores, a decomposição espectral é freqüentemente mais sutil do que em dimensões finitas.

No entanto, o teorema espectral de um operador auto-adjunto T assume uma forma particularmente simples se, além disso, T for considerado um operador compacto . O teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos afirma:

  • Um operador auto-adjunto compacto T tem apenas contáveis ​​(ou finitamente) muitos valores espectrais. O espectro de T não tem ponto limite no plano complexo, exceto possivelmente zero. Os autoespaços de T decompõem H em uma soma direta ortogonal:
    Além disso, se E λ denota a projeção ortogonal no autoespaço H λ , então
    onde a soma converge em relação à norma em B ( H ) .

Este teorema desempenha um papel fundamental na teoria das equações integrais , visto que muitos operadores integrais são compactos, em particular aqueles que surgem dos operadores de Hilbert-Schmidt .

O teorema espectral geral para operadores auto-adjuntos envolve um tipo de integral de Riemann-Stieltjes com valor de operador , em vez de uma soma infinita. A família espectral associada a T associa a cada número real λ um operador E λ , que é a projeção no espaço nulo do operador ( T - λ ) + , onde a parte positiva de um operador auto-adjunto é definida por

Os operadores E λ são monótonos crescentes em relação à ordem parcial definida nos operadores auto-adjuntos; os autovalores correspondem precisamente às descontinuidades de salto. Um tem o teorema espectral, que afirma

A integral é entendida como uma integral de Riemann – Stieltjes, convergente em relação à norma em B ( H ) . Em particular, tem-se a representação integral de valor escalar comum

Uma decomposição espectral um tanto semelhante é válida para operadores normais, embora como o espectro possa agora conter números complexos não reais, a medida de Stieltjes com valor de operador d E λ deve ser substituída por uma resolução da identidade .

Uma das principais aplicações dos métodos espectrais é o teorema do mapeamento espectral , que permite aplicar a um operador auto-adjunto T qualquer função complexa contínua f definida no espectro de T formando a integral

O cálculo funcional contínuo resultante tem aplicações em particular para operadores pseudodiferenciais .

A teoria espectral de operadores autoadjuntos ilimitados é apenas marginalmente mais difícil do que para operadores limitados. O espectro de um operador ilimitado é definido precisamente da mesma maneira que para operadores limitados: λ é um valor espectral se o operador resolvente

falha em ser um operador contínuo bem definido. A auto-junção de T ainda garante que o espectro é real. Assim, a ideia essencial de trabalhar com operadores ilimitados é olhar para o resolvente R λ onde λ é não real. Este é um operador normal limitado , que admite uma representação espectral que pode então ser transferida para uma representação espectral do próprio T. Uma estratégia semelhante é usada, por exemplo, para estudar o espectro do operador Laplace: em vez de se dirigir ao operador diretamente, olha-se como um resolvente associado, como um potencial de Riesz ou potencial de Bessel .

Uma versão precisa do teorema espectral neste caso é:

Dado um operador T auto-adjunto densamente definido em um espaço de Hilbert H , corresponde uma resolução única da identidade E nos conjuntos de Borel de R , tal que
para todos os xD ( t ) e YH . A medida espectral E é concentrada no espectro de T .

Também existe uma versão do teorema espectral que se aplica a operadores normais ilimitados.

Na cultura popular

Thomas Pynchon apresentou o personagem fictício Sammy Hilbert-Spaess (um trocadilho com "Hilbert Space"), em seu romance de 1973, Gravity's Rainbow . Hilbert-Spaess é descrito pela primeira vez como um "agente duplo onipresente" e mais tarde como "pelo menos um agente duplo". O romance havia feito referência ao trabalho do colega matemático alemão Kurt Gödel 's Incompleteness Theorems , que mostrava que o Programa de Hilbert, o plano formalizado de Hilbert para unificar a matemática em um único conjunto de axiomas, não era possível.

Veja também

Observações

Notas

Referências

links externos