Conjectura de Hodge - Hodge conjecture

Problemas do Prêmio Milênio
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer Conjectura de Hodge Existência e suavidade de Navier-Stokes Problema P versus NP Conjectura de Poincaré (resolvida) Hipótese de Riemann Existência de Yang-Mills e lacuna de massa
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Em matemática , a conjectura de Hodge é um grande problema não resolvido em geometria algébrica e geometria complexa que relaciona a topologia algébrica de uma variedade algébrica complexa não singular com suas subvariedades.

Em termos simples, a conjectura de Hodge afirma que as informações topológicas básicas, como o número de buracos em certos espaços geométricos , variedades algébricas complexas , podem ser entendidas estudando as possíveis formas agradáveis ​​situadas dentro desses espaços, que parecem conjuntos de zero de equações polinomiais . Os últimos objetos podem ser estudados usando álgebra e o cálculo de funções analíticas , e isso permite que se compreenda indiretamente a forma ampla e a estrutura de espaços de dimensões mais altas que não podem ser facilmente visualizados de outra forma.

Mais especificamente, a conjectura afirma que certas classes de cohomologia de de Rham são algébricas; isto é, eles são somas de duais de Poincaré das classes de subvariedades de homologia . Foi formulado pelo matemático escocês William Vallance Douglas Hodge como resultado de um trabalho entre 1930 e 1940 para enriquecer a descrição da cohomologia de de Rham para incluir a estrutura extra que está presente no caso de variedades algébricas complexas. Recebeu pouca atenção antes de Hodge apresentá-lo em um discurso durante o Congresso Internacional de Matemáticos de 1950 , realizado em Cambridge, Massachusetts . A conjectura de Hodge é um dos Clay Mathematics Institute 's Millennium Prize Problems , com um prémio de $ 1.000.000 para quem pode provar ou refutar a conjectura de Hodge.

Motivação

Seja X uma variedade complexa compacta de dimensão complexa n . Então, X é uma variedade suave orientável de dimensão real , então seus grupos de cohomologia estão em graus zero até . Suponha que X seja uma variedade de Kähler , de modo que haja uma decomposição em sua cohomologia com coeficientes complexos ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2n}$

${\ displaystyle H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X),}$

onde é o subgrupo de classes de cohomologia que são representadas por formas harmônicas de tipo . Ou seja, essas são as classes de cohomologia representadas por formas diferenciais que, em alguma escolha de coordenadas locais , podem ser escritas como uma função harmônica tempos. ${\ displaystyle H ^ {p, q} (X)}$${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$

${\ displaystyle dz_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {i_ {p}} \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {q}}.}$

(Veja a teoria de Hodge para mais detalhes.) Pegar os produtos de cunha desses representantes harmônicos corresponde ao produto de xícara em cohomologia, portanto, o produto de xícara é compatível com a decomposição de Hodge:

${\ displaystyle \ cup \ dois pontos H ^ {p, q} (X) \ vezes H ^ {p ', q'} (X) \ rightarrow H ^ {p + p ', q + q'} (X). }$

Como X é uma variedade orientada compacta, X tem uma classe fundamental .

Seja Z uma subvariedade complexa de X de dimensão k , e seja o mapa de inclusão. Escolha uma forma diferencial de tipo . Podemos integrar em Z : ${\ displaystyle i \ dois pontos Z \ a X}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ int _ {Z} i ^ {*} \ alpha.}$

Para avaliar essa integral, escolha um ponto de Z e chame-o de 0. Por volta de 0, podemos escolher coordenadas locais em X de modo que Z seja justo . Se , em seguida, deve conter algum onde puxa para trás a zero em Z . O mesmo é verdade se . Conseqüentemente, essa integral é zero se . ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$${\ displaystyle z_ {k + 1} = \ cdots = z_ {n} = 0}$${\ displaystyle p> k}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle dz_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle q> k}$${\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$

Mais abstratamente, a integral pode ser escrita como o produto cap da classe de homologia de Z e da classe de cohomologia representada por . Por Poincaré dualidade, a classe de homologia de Z é dupla para uma classe cohomología que chamaremos [ Z ], e o produto tampa pode ser calculado através do produto do copo de [ Z ] e α e capeamento com a classe fundamental de X . Como [ Z ] é uma classe de cohomologia, ela tem uma decomposição de Hodge. Pelo cálculo que fizemos acima, se colocarmos essa classe em qualquer classe de tipo , obteremos zero. Porque , concluímos que [ Z ] deve estar em . Falando livremente, a conjectura de Hodge pergunta: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$${\ displaystyle H ^ {2n} (X, \ mathbb {C}) = H ^ {n, n} (X)}$${\ displaystyle H ^ {nk, nk} (X)}$

Quais classes de cohomologia vêm de subvariedades complexas Z ?${\ displaystyle H ^ {k, k} (X)}$

Declaração da conjectura de Hodge

Deixar:

${\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X) = H ^ {2k} (X, \ mathbb {Q}) \ cap H ^ {k, k} (X).}$

Chamamos a isto o grupo de classes de Hodge de grau 2 k no X .

A declaração moderna da conjectura de Hodge é:

Hodge conjectura. Seja X uma variedade projetiva complexa não singular. Em seguida, todas as classes Hodge em X é uma combinação linear com coeficientes racionais das classes de cohomologia de subvariedades complexas de X .

Uma variedade complexa projetiva é uma variedade complexa que pode ser inserida em um espaço projetivo complexo . Como o espaço projetivo carrega uma métrica Kähler, a métrica Fubini-Study , tal variedade é sempre uma variedade Kähler. Pelo teorema de Chow , uma variedade projetiva complexa também é uma variedade algébrica projetiva suave, ou seja, é o conjunto zero de uma coleção de polinômios homogêneos.

Reformulação em termos de ciclos algébricos

Outra forma de expressar a conjectura de Hodge envolve a ideia de um ciclo algébrico. Um ciclo algébrico em X é uma combinação formal de subvariedades de X ; ou seja, é algo na forma:

${\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} Z_ {i}.}$

Os coeficientes são geralmente considerados integrais ou racionais. Definimos a classe de cohomologia de um ciclo algébrico como a soma das classes de cohomologia de seus componentes. Este é um exemplo do mapa de classes de ciclo da cohomologia de de Rham, consulte Cohomologia de Weil . Por exemplo, a classe de cohomologia do ciclo acima seria:

${\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}$

Essa classe de cohomologia é chamada de algébrica . Com esta notação, a conjectura de Hodge torna-se:

Seja X uma variedade complexa projetiva. Então, toda classe de Hodge em X é algébrica.

A suposição na conjectura de Hodge de que X seja algébrico (variedade complexa projetiva) não pode ser enfraquecida. Em 1977, Steven Zucker mostrou que é possível construir um contra-exemplo à conjectura de Hodge como toros complexos com cohomologia racional analítica do tipo , que não é algébrica projetiva. (ver apêndice B de Zucker (1977) ) ${\ displaystyle (p, p)}$

Casos conhecidos da conjectura de Hodge

Baixa dimensão e codimensão

O primeiro resultado da conjectura de Hodge é devido a Lefschetz (1924) . Na verdade, é anterior à conjectura e forneceu algumas das motivações de Hodge.

Teorema ( teorema de Lefschetz em (1,1) -classes ) Qualquer elemento de é a classe de cohomologia de um divisor em . Em particular, a conjectura de Hodge é verdadeira para .${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {1,1} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {2}}$

Uma prova muito rápida pode ser dada usando a cohomologia de feixes e a seqüência exata exponencial . (A classe de cohomologia de um divisor acaba sendo igual à sua primeira classe de Chern .) A prova original de Lefschetz procedeu por funções normais , que foram introduzidas por Henri Poincaré . No entanto, o teorema da transversalidade de Griffith mostra que esta abordagem não pode provar a conjectura de Hodge para subvariedades codimensionais superiores.

Pelo teorema de Lefschetz Difícil , pode-se provar:

Teorema. Se a conjectura de Hodge vale para as classes de grau de Hodge , para todos , então a conjectura de Hodge vale para as classes de grau de Hodge .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p <n}$${\ displaystyle 2n-p}$

Combinar os dois teoremas acima implica que a conjectura de Hodge é verdadeira para as classes de grau de Hodge . Isso prova a conjectura de Hodge quando tem dimensão no máximo três. ${\ displaystyle 2n-2}$${\ displaystyle X}$

O teorema de Lefschetz nas (1,1) -classes também implica que, se todas as classes de Hodge são geradas pelas classes de divisores de Hodge, então a conjectura de Hodge é verdadeira:

Corolário. Se a álgebra é gerada por , então a conjectura de Hodge vale para .${\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ {k} \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {1} (X)}$${\ displaystyle X}$

Hipersuperfícies

Pelo teorema de Lefschetz forte e fraco , a única parte não trivial da conjectura de Hodge para hipersuperfícies é a parte grau m (isto é, a cohomologia do meio) de uma hipersuperfície 2 m- dimensional . Se o grau d é 2, ou seja, X é uma quádrica , a conjectura de Hodge vale para todo m . Pois , isto é, quádruplo , a conjectura de Hodge é conhecida . ${\ displaystyle X \ subset \ mathbf {P} ^ {2m + 1}}$${\ displaystyle m = 2}$${\ displaystyle d \ leq 5}$

Variedades abelianas

Para a maioria das variedades abelianas , a álgebra Hdg * ( X ) é gerada no grau um, então a conjectura de Hodge se mantém. Em particular, a conjectura de Hodge é válida para variedades abelianas suficientemente gerais, para produtos de curvas elípticas e para variedades abelianas simples de dimensão primária. No entanto, Mumford (1969) construiu um exemplo de uma variedade abeliana onde Hdg ² ( X ) não é gerado por produtos de classes divisórias. Weil (1977) generalizou este exemplo mostrando que sempre que a variedade tem multiplicação complexa por um campo quadrático imaginário , então Hdg ² ( X ) não é gerado por produtos de classes divisórias. Moonen & Zarhin (1999) provaram que em dimensão menor que 5, ou Hdg * ( X ) é gerado no grau um, ou a variedade tem multiplicação complexa por um campo quadrático imaginário. No último caso, a conjectura de Hodge só é conhecida em casos especiais.

Generalizações

A conjectura integral de Hodge

A conjectura original de Hodge foi:

Conjectura integral de Hodge. Seja X uma variedade complexa projetiva. Em seguida, cada classe de cohomologia em é a classe de cohomologia de um ciclo algébrica com coeficientes inteiros no X .${\ displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$

Agora se sabe que isso é falso. O primeiro contra-exemplo foi construído por Atiyah & Hirzebruch (1961) . Usando a teoria K , eles construíram um exemplo de uma classe de cohomologia de torção - isto é, uma classe de cohomologia α tal que nα  = 0 para algum número inteiro positivo n - que não é a classe de um ciclo algébrico. Essa classe é necessariamente uma classe Hodge. Totaro (1997) reinterpretou seu resultado na estrutura do cobordismo e encontrou muitos exemplos de tais classes.

O ajuste mais simples da conjectura integral de Hodge é:

Integral Hodge conjectura módulo de torção. Seja X uma variedade complexa projetiva. Em seguida, cada classe de cohomologia em é a soma de uma classe de torção ea classe de cohomologia de um ciclo algébrica com coeficientes inteiros no X .${\ displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$

Da mesma forma, após a divisão por classes de torção, cada classe é a imagem da classe de cohomologia de um ciclo algébrico integral. Isso também é falso. Kollár (1992) encontrou um exemplo de uma classe α de Hodge que não é algébrica, mas que possui um múltiplo integral que é algébrico. ${\ displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$

Rosenschon & Srinivas (2016) mostraram que, para obter uma conjectura integral correta de Hodge, é necessário substituir os grupos de Chow, que também podem ser expressos como grupos de cohomologia motívica , por uma variante conhecida como cohomologia motívica étale (ou Lichtenbaum ) . Eles mostram que a conjectura racional de Hodge é equivalente a uma conjectura integral de Hodge para esta cohomologia motívica modificada.

A conjectura de Hodge para variedades Kähler

Uma generalização natural da conjectura de Hodge perguntaria:

Conjectura de Hodge para variedades Kähler, versão ingênua. Seja X uma variedade Kähler complexa. Em seguida, todas as classes Hodge em X é uma combinação linear com coeficientes racionais das classes de cohomologia de subvariedades complexas de X .

Isso é muito otimista, porque não existem subvariedades suficientes para fazer este trabalho. Um possível substituto é fazer uma das seguintes perguntas:

Conjectura de Hodge para variedades Kähler, versão do pacote vetorial. Seja X uma variedade Kähler complexa. Em seguida, todas as classes de Hodge em X é uma combinação linear com coeficientes racionais de classes de Chern de feixes do vetor no X .

Conjectura de Hodge para variedades Kähler, versão de feixe coerente. Seja X uma variedade Kähler complexa. Em seguida, todas as classes Hodge em X é uma combinação linear com coeficientes racionais das classes de Chern de feixes coerentes sobre X .

Voisin (2002) provou que as classes Chern de feixes coerentes fornecem estritamente mais classes de Hodge do que as classes de Chern de feixes de vetores e que as classes de Chern de feixes coerentes são insuficientes para gerar todas as classes de Hodge. Conseqüentemente, as únicas formulações conhecidas da conjectura de Hodge para as variedades de Kähler são falsas.

A conjectura generalizada de Hodge

Hodge fez uma conjectura adicional e mais forte do que a conjectura integral de Hodge. Dizer que uma classe cohomología em X é de co-nível C (coniveau c) se for o pushforward de uma classe cohomología em um c subvariedade -codimensional de X . As classes de cohomologia de co-nível pelo menos c filtram a cohomologia de X , e é fácil ver que a c- ésima etapa da filtração N ^c H ^k ( X , Z ) satisfaz

${\ displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ subseteq H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H ^ {kc, c} (X ) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X)).}$

A declaração original de Hodge foi:

Conjectura generalizada de Hodge, a versão de Hodge. ${\ displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) = H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X)).}$

Grothendieck (1969) observou que isso não pode ser verdade, mesmo com coeficientes racionais, porque o lado direito nem sempre é uma estrutura de Hodge. Sua forma corrigida da conjectura de Hodge é:

Conjectura generalizada de Hodge. N ^c H ^k ( X , Q ) é a maior estrutura de sub-Hodge de H ^k ( X , Z ) contida em${\ displaystyle H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X).}$

Esta versão está aberta.

Algebraicidade de Hodge loci

A evidência mais forte a favor da conjectura de Hodge é o resultado da algebraicidade de Cattani, Deligne & Kaplan (1995) . Suponha que variemos a estrutura complexa de X em uma base simplesmente conectada. Então, a cohomologia topológica de X não muda, mas a decomposição de Hodge muda. Sabe-se que se a conjectura de Hodge for verdadeira, então o locus de todos os pontos na base onde a cohomologia de uma fibra é uma classe de Hodge é na verdade um subconjunto algébrico, ou seja, é cortado por equações polinomiais. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) provaram que isso é sempre verdade, sem assumir a conjectura de Hodge.

Veja também

• Conjectura de Tate
• Teoria de Hodge
• Estrutura Hodge
• Mapeamento de período

Referências

• Atiyah, MF ; Hirzebruch, F. (1961), "Ciclos analíticos em variedades complexas", Topologia , 1 : 25-45, doi : 10.1016 / 0040-9383 (62) 90094-0Disponível na coleção Hirzebruch (pdf).
• Cattani, Eduardo ; Deligne, Pierre ; Kaplan, Aroldo (1995), "On the locus of Hodge classes", Journal of the American Mathematical Society , 8 (2): 483–506, arXiv : alg-geom / 9402009 , doi : 10.2307 / 2152824 , JSTOR  2152824 , MR  1273413.
• Grothendieck, A. (1969), "conjectura geral de Hodge é falsa por razões triviais", Topology , 8 (3): 299-303, doi : 10.1016 / 0040-9383 (69) 90016-0.
• Hodge, WVD (1950), "Os invariantes topológicos das variedades algébricas", Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Cambridge, MA, 1 : 181–192.
• Kollár, János (1992), "exemplos de Trento", em Ballico, E .; Catanese, F .; Ciliberto, C. (eds.), Classificação de variedades irregulares , Lecture Notes in Math., 1515 , Springer, p. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (em francês), Paris: Gauthier-VillarsReimpresso em Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR  0299447.
• Moonen, Ben JJ ; Zarhin, Yuri G. (1999), "Hodge classes on abelianieties of low dimension", Mathematische Annalen , 315 (4): 711-733, arXiv : math / 9901113 , doi : 10.1007 / s002080050333 , MR  1731466.
• Mumford, David (1969), "A Note of Shimura's paper" Discontinuous groups and abelianieties " " , Mathematische Annalen , 181 (4): 345-351, doi : 10.1007 / BF01350672.
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• Totaro, Burt (1997), "Ciclos algébricos de torção e cobordismo complexo", Journal of the American Mathematical Society , 10 (2): 467–493, arXiv : alg-geom / 9609016 , doi : 10.1090 / S0894-0347-97- 00232-4 , JSTOR  2152859.
• Voisin, Claire (2002), "A counterexample to the Hodge conjecture estendida às variedades de Kähler" , International Mathematics Research Notices , 2002 (20): 1057-1075, doi : 10.1155 / S1073792802111135 , MR  1902630.
• Weil, André (1977), "Variedades Abelian and the Hodge ring", Collected papers , III , pp. 421-429
• Zucker, Steven (1977), "The Hodge conjecture for cubic fourfolds" , Compositio Mathematica , 34 (2): 199–209, MR  0453741

links externos

• Deligne, Pierre . "The Hodge Conjecture" (PDF) (descrição oficial do problema do Clay Math Institute).
• Palestra popular sobre a conjectura de Hodge por Dan Freed (Universidade do Texas) (Vídeo real) (slides)
• Biswas, Indranil ; Paranjape, Kapil Hari (2002), "The Hodge Conjecture for general Prym Variedades", Journal of Algebraic Geometry , 11 (1): 33–39, arXiv : math / 0007192 , doi : 10.1090 / S1056-3911-01-00303- 4 , MR  1865912
• Burt Totaro , por que acreditar na conjectura de Hodge?
• Claire Voisin , Hodge loci