pontos Hofstadter - Hofstadter points

Em triângulo geometria , um ponto Hofstadter é um ponto especial associada com cada plano triângulo . Na verdade, existem vários pontos Hofstadter associados a um triângulo. Todos eles são centros triângulo . Dois deles, o ponto zero Hofstadter e Hofstadter um ponto , são particularmente interessantes. Eles são dois centros triângulo transcendentais . Hofstadter do ponto zero representa o centro designado como X (360) e a um ponto-Hofstafter é o centro indicado como X (359) em Clark Kimberling 's Encyclopedia of Centros triângulo . O ponto zero Hofstadter foi descoberto por Douglas Hofstadter em 1992.

triângulos Hofstadter

Vamos ABC ser um dado triângulo. Vamos r ser uma constante real positivo.

Rodar o segmento de recta BC sobre B através de um ângulo rB em direcção A e deixe L _BC ser a linha contendo este segmento de linha. Em seguida rodar o segmento de recta BC sobre C através de um ângulo rC direcção A . Deixe- L' _BC ser a linha contendo este segmento de linha. Deixe as linhas L _BC e L' _BC cruzam em um ( R ). De um modo semelhante a pontos B ( r ) e C ( R são construídos). O triângulo cujos vértices são um ( R ), B ( R ), C ( r ) é o Hofstadter r -triangle (ou, o r -Hofstadter triângulo) do triângulo ABC .

Caso especial

• O Hofstadter 1/3-triângulo de triângulo ABC é o primeiro triângulo de Morley do triângulo ABC . Triângulo de Morley é sempre um triângulo equilátero .
• O Hofstadter meia-triângulo é simplesmente o incentro do triângulo.

Trilinear coordenadas dos vértices dos triângulos Hofstadter

As coordenadas trilineares dos vértices do Hofstadter r -triangle são dadas abaixo:

Um ( r ) = (1, pecado rB / sin (1 - R ) B , pecado rC / sin (1 - R ) C )

B ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , 1, pecado rC / sin (1 - R ) C )

C ( R ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , sen (1 - R ) B / sin rB , 1)

pontos Hofstadter

Animação mostrando vários pontos Hofstadter. H ₀ é o ponto zero Hofstadter. H ₁ é a de um ponto Hofstadter. O pequeno arco vermelho no centro do triângulo é o locus da Hofstadter r -points para 0 < r <1. Este locus de atravessa o incentro I do triângulo.

Para uma constante real positivo r > 0, vamos A ( r ) B ( r ) C ( r ) o Hofstadter r -triangle do triângulo ABC . Em seguida, a linhas AA ( R ), BB ( R ), CC ( R ) são concorrentes. O ponto de concordância é o Hofstdter r -ponto de triângulo ABC .

Trilinear coordenadas de Hofstadter r -ponto

As coordenadas de trilineares Hofstadter r -ponto é dada abaixo.

(Sin rA / sin ( A - rA ), pecado rB / sin ( B - rB ), pecado rC / sin ( C - rC ))

Hofstadter zero e um-pontos

As coordenadas trilineares destes pontos não pode ser obtida ligando os valores 0 e 1 para r nas expressões para coordena o trilinear para o Hofstdter r -ponto.

Hofstadter do ponto zero representa o limite do Hofstadter r -ponto como r se aproxima de zero.

Hofstadter um-ponto é o limite da Hofstadter r -ponto como r se aproxima de um.

coordenadas trilineares de Hofstadter do ponto zero

= Lim _{r → 0} (sem rA / sin ( A - rA ), pecado rB / sin ( B - rB ), pecado rC / sin ( C - rC ))

= Lim _{r → 0} (sem rA / r sen ( A - rA ), pecado rB / r sen ( B - rB ), pecado rC / r sen ( C - rC ))

= Lim _{r → 0} ( Uma pecado rA / rA sin ( A - rA ), B pecado rB / rB sin ( B - rB ), C pecado rC / rC sin ( C - rC ))

= ( A / sin Um , B / sen B , C / sin C )), como lim _{r → 0} pecado rA / rA = 1, etc.

= ( A / um , B / b , C / c )

trilineares coordenadas de um ponto Hofstadter

= Lim _{r → 1} (sin rA / sin ( A - rA ), pecado rB / sin ( B - rB ), pecado rC / sin ( C - rC ))

= Lim _{r → 1} ((1 - R ) sin rA / sin ( A - rA ), (1 - R ) sin rB / sin ( B - rB ), (1 - R ) sin rC / sin ( C - rC ) )

= Lim _{r → 1} ((1 - r ) Um pecado rA / A sen ( A - rA ), (1 - R ) B pecado rB / B sen ( B - rB ), (1 - R ) C pecado rC / C sin ( C - rC ))

= (Sin Um / A , pecado B / B , pecado C / C )) como lim _{r → 1} (1 - r ) A / sen ( A - rA ) = 1, etc.

= ( Um / uma , b / B , C / C )

Referências