Homeomorfismo - Homeomorphism

Uma deformação contínua entre uma caneca de café e um donut ( toro ) ilustrando que eles são homeomórficos. Mas não precisa haver uma deformação contínua para que dois espaços sejam homeomórficos - apenas um mapeamento contínuo com uma função inversa contínua.

No campo matemático da topologia , um homeomorfismo , isomorfismo topológico ou função bicontínua é uma função contínua entre espaços topológicos que tem uma função inversa contínua . Homeomorfismos são os isomorfismos na categoria de espaços topológicos - ou seja, são os mapeamentos que preservam todas as propriedades topológicas de um determinado espaço. Dois espaços com homeomorfismo entre eles são chamados de homeomórficos e, do ponto de vista topológico, são iguais. A palavra homeomorphism vem dos gregos palavras ὅμοιος ( homoios ) = semelhante ou mesmo e μορφή ( morphe ) = forma, forma, introduzida a matemática por Henri Poincaré em 1895.

Grosso modo, um espaço topológico é um objeto geométrico , e o homeomorfismo é um alongamento e curvatura contínuos do objeto em uma nova forma. Assim, um quadrado e um círculo são homeomórficos um ao outro, mas uma esfera e um toro não. No entanto, essa descrição pode ser enganosa. Algumas deformações contínuas não são homeomorfismos, como a deformação de uma linha em um ponto. Alguns homeomorfismos não são deformações contínuas, como o homeomorfismo entre um nó trifólio e um círculo.

Uma piada matemática frequentemente repetida é que os topologistas não sabem a diferença entre uma xícara de café e um donut, uma vez que um donut suficientemente flexível poderia ser remodelado para a forma de uma xícara de café criando uma covinha e aumentando-a progressivamente, preservando o orifício do donut na alça do copo.

Definição

Uma função entre dois espaços topológicos é um homeomorfismo se tiver as seguintes propriedades:

Um homeomorfismo é às vezes chamado de função bicontínua . Se tal função existe e são homeomórficas . Um auto-homeomorfismo é um homeomorfismo de um espaço topológico sobre si mesmo. "Ser homeomórfico" é uma relação de equivalência em espaços topológicos. Suas classes de equivalência são chamadas de classes de homeomorfismo .

Exemplos

Um nó trifólio é homeomórfico a um toro sólido, mas não é isotópico em R 3 . Os mapeamentos contínuos nem sempre são realizáveis ​​como deformações.
  • O intervalo aberto é homeomórfico aos números reais de qualquer . (Nesse caso, um mapeamento progressivo bicontínuo é fornecido por enquanto outros mapeamentos são fornecidos por versões em escala e traduzidas das funções tan ou arg tanh ).
  • A unidade 2- disco e o quadrado da unidade em R 2 são homeomórficos; uma vez que o disco da unidade pode ser deformado no quadrado da unidade. Um exemplo de um mapeamento bicontinua do quadrado para o disco é, em coordenadas polares , .
  • O gráfico de uma função diferenciável é homeomórfico ao domínio da função.
  • Uma parametrização diferenciável de uma curva é um homeomorfismo entre o domínio da parametrização e a curva.
  • Um gráfico de uma variedade é um homeomorfismo entre um subconjunto aberto da variedade e um subconjunto aberto de um espaço euclidiano .
  • A projeção estereográfica é um homeomorfismo entre a esfera unitária em R 3 com um único ponto removido e o conjunto de todos os pontos em R 2 (um plano bidimensional ).
  • Se for um grupo topológico , seu mapa de inversão é um homeomorfismo. Além disso, para qualquer um , a tradução à esquerda, a tradução à direita e o automorfismo interno são homeomorfismos.

Não exemplos

  • R m e R n não são homeomórficos para mn .
  • A linha real euclidiana não é homeomórfica ao círculo unitário como um subespaço de R 2 , uma vez que o círculo unitário é compacto como um subespaço de R 2 euclidiano, mas a linha real não é compacta.
  • Os intervalos unidimensionais e não são homeomórficos porque nenhuma bijeção contínua poderia ser feita.

Notas

O terceiro requisito, que seja contínuo, é essencial. Considere, por exemplo, a função (o círculo unitário em ) definida por . Esta função é bijetiva e contínua, mas não um homeomorfismo ( é compacta mas não é). A função não é contínua no ponto porque, embora mapeie para , qualquer vizinhança desse ponto também inclui pontos para os quais a função mapeia perto, mas os pontos que mapeia para números intermediários ficam fora da vizinhança.

Homeomorfismos são os isomorfismos na categoria de espaços topológicos . Como tal, a composição de dois homeomorfismos é novamente um homeomorfismo, e o conjunto de todos os auto-homeomorfismos forma um grupo , denominado grupo de homeomorfismo de X , frequentemente denotado . Este grupo pode receber uma topologia, como a topologia compacta-aberta , que sob certas suposições o torna um grupo topológico .

Para alguns propósitos, o grupo de homeomorfismo passa a ser muito grande, mas por meio da relação de isotopia , pode-se reduzir este grupo ao grupo de classes de mapeamento .

Da mesma forma, como de costume na teoria das categorias, dados dois espaços que são homeomórficos, o espaço dos homeomorfismos entre eles, é um torsor para os grupos de homeomorfismo e , e, dado um homeomorfismo específico entre e , todos os três conjuntos são identificados.

Propriedades

  • Dois espaços homeomórficos compartilham as mesmas propriedades topológicas . Por exemplo, se um deles é compacto , o outro também é; se um deles estiver conectado , o outro também estará; se um deles é Hausdorff , o outro também é; seus grupos de homotopia e homologia coincidirão. Observe, entretanto, que isso não se estende às propriedades definidas por meio de uma métrica ; existem espaços métricos que são homeomórficos, embora um deles seja completo e o outro não.
  • Um homeomorfismo é simultaneamente um mapeamento aberto e um mapeamento fechado ; ou seja, ele mapeia conjuntos abertos para conjuntos abertos e conjuntos fechados para conjuntos fechados.
  • Cada auto-homeomorfismo em pode ser estendido para um auto-homeomorfismo de todo o disco ( truque de Alexander ).

Discussão informal

O critério intuitivo de esticar, dobrar, cortar e colar de volta exige certa prática para ser aplicado corretamente - pode não ser óbvio pela descrição acima que deformar um segmento de linha até um ponto é inadmissível, por exemplo. Portanto, é importante perceber que é a definição formal dada acima que conta. Neste caso, por exemplo, o segmento de reta possui infinitos pontos e, portanto, não pode ser colocado em uma bijeção com um conjunto contendo apenas um número finito de pontos, incluindo um único ponto.

Essa caracterização de um homeomorfismo costuma levar a uma confusão com o conceito de homotopia , que na verdade é definido como uma deformação contínua, mas de uma função para outra, ao invés de um espaço para outro. No caso de um homeomorfismo, imaginar uma deformação contínua é uma ferramenta mental para manter o controle de quais pontos no espaço X correspondem a quais pontos em Y - apenas segue-se à medida que X se deforma. No caso da homotopia, a deformação contínua de um mapa para o outro é essencial, e também é menos restritiva, uma vez que nenhum dos mapas envolvidos precisa ser um para um ou sobre. A homotopia leva a uma relação nos espaços: equivalência de homotopia .

Existe um nome para o tipo de deformação envolvida na visualização de um homeomorfismo. É (excepto quando de corte e regluing são necessárias) um isotopia entre o mapa de identidade em X e a homeomorphism de X para Y .

Veja também

Referências

links externos