Esfera de homologia - Homology sphere

Na topologia algébrica , uma esfera de homologia é uma n - variedade X tendo os grupos de homologia de uma n - esfera , para algum inteiro . Isso é, ${\ displaystyle n \ geq 1}$

{\ displaystyle H_ {0} (X, \ mathbb {Z}) = H_ {n} (X, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z}}

e

{\ displaystyle H_ {i} (X, \ mathbb {Z}) = \ {0 \}}

para todos os outros i .

Portanto, X é um espaço conectado , com um número de Betti maior diferente de zero , a saber ,. Isso não significa que X está simplesmente conectado , apenas que seu grupo fundamental é perfeito (ver teorema de Hurewicz ). ${\ displaystyle b_ {n} = 1}$

Uma esfera de homologia racional é definida de forma semelhante, mas usando homologia com coeficientes racionais.

Esfera de homologia de Poincaré

A esfera de homologia de Poincaré (também conhecida como espaço dodecaédrico de Poincaré) é um exemplo particular de uma esfera de homologia, construída pela primeira vez por Henri Poincaré . Sendo uma variedade 3 esférica , é a única homologia 3-esfera (além da própria 3-esfera ) com um grupo fundamental finito . Seu grupo fundamental é conhecido como grupo icosaédrico binário e tem ordem 120. Como o grupo fundamental da esfera 3 é trivial, isso mostra que existem variedades 3 com os mesmos grupos de homologia que as esferas 3 que não são homeomórficas a isto.

Construção

Uma construção simples deste espaço começa com um dodecaedro . Cada face do dodecaedro é identificada com sua face oposta, usando a torção mínima no sentido horário para alinhar as faces. A colagem de cada par de faces opostas usando esta identificação produz um coletor de 3 fechado. (Veja o espaço Seifert-Weber para uma construção semelhante, usando mais "torção", que resulta em uma variedade 3 hiperbólica .)

Alternativamente, a esfera de homologia de Poincaré pode ser construída como o espaço quociente SO (3) / I onde I é o grupo icosaédrico (ou seja, o grupo de simetria rotacional do icosaedro regular e do dodecaedro, isomórfico ao grupo alternado ). Mais intuitivamente, isso significa que a esfera de homologia de Poincaré é o espaço de todas as posições geometricamente distinguíveis de um icosaedro (com centro e diâmetro fixos) no espaço 3 euclidiano. Em vez disso, pode-se passar para a cobertura universal de SO (3), que pode ser realizada como o grupo de quatérnios unitários e é homeomórfica à esfera 3. Neste caso, a esfera homologia Poincaré é isomorfo a onde é o grupo icosahedral binário , o perfeito double cover de I incorporado no . ${\ displaystyle A_ {5}}$ ${\ displaystyle S ^ {3} / {\ widetilde {I}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {I}}}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$

Outra abordagem é a cirurgia de Dehn . A esfera de homologia de Poincaré resulta da cirurgia +1 no nó trifólio destro .

Cosmologia

Em 2003, a falta de estrutura nas escalas maiores (acima de 60 graus) no fundo de micro-ondas cósmico observada por um ano pela espaçonave WMAP levou à sugestão, por Jean-Pierre Luminet do Observatoire de Paris e colegas, de que a forma do universo é uma esfera de Poincaré. Em 2008, os astrônomos encontraram a melhor orientação no céu para o modelo e confirmaram algumas das previsões do modelo, usando três anos de observações da espaçonave WMAP. A partir de 2016, a publicação da análise de dados da espaçonave Planck sugere que não há topologia não trivial observável para o universo.

Construções e exemplos

A cirurgia em um nó na 3-esfera S ³ com enquadramento +1 ou -1 dá uma esfera de homologia.
De modo mais geral, a cirurgia em um link fornece uma esfera de homologia sempre que a matriz dada por números de interseção (fora da diagonal) e enquadramentos (na diagonal) tem determinante +1 ou -1.
Se p , q e r são pares inteiros positivos relativamente primos, então a ligação da singularidade x ^p + y ^q + z ^r = 0 (em outras palavras, a interseção de uma pequena esfera 5 em torno de 0 com esta superfície complexa) é uma variedade de Brieskorn que é uma homologia de 3 esferas, chamada de Brieskorn de 3 esferas Σ ( p , q , r ). É homeomórfico à esfera 3 padrão se um de p , q e r for 1, e Σ (2, 3, 5) for a esfera de Poincaré.
A soma conectada de duas esferas de homologia orientada é uma esfera de 3 homologia. Uma homologia 3-esfera que não pode ser escrita como uma soma conectada de duas homologia 3-esferas é chamada de irredutível ou primo , e cada homologia 3-esfera pode ser escrita como uma soma conectada de homologia 3-esferas primárias de uma forma essencialmente única. (Veja decomposição primária (3-manifold) .)
Suponha que sejam inteiros, todos pelo menos 2, de modo que quaisquer dois sejam coprime. Em seguida, o espaço da fibra Seifert ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {r}}$

{\ displaystyle \ {b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), \ dots, (a_ {r}, b_ {r}) \} \,}

sobre a esfera com fibras excepcionais de graus a ₁ , ..., a _r é uma esfera de homologia, onde os b 's são escolhidos de forma que

{\ displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + \ cdots + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} \ cdots a_ {r}).}

(Sempre há uma maneira de escolher b ′ s, e a esfera de homologia não depende (até o isomorfismo) da escolha de b ′ s.) Se r for no máximo 2, esta é apenas a 3-esfera usual; caso contrário, eles são esferas distintas de homologia não triviais. Se os a ′ s são 2, 3 e 5, isso dá a esfera de Poincaré. Se houver pelo menos 3 a ′ s, não 2, 3, 5, então esta é uma homologia acíclica de 3 esferas com grupo fundamental infinito que tem uma geometria de Thurston modelada na cobertura universal de SL ₂ ( R ) .

Invariantes

O invariante de Rokhlin é um invariante valorizado de 3 esferas de homologia. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
O invariante de Casson é um invariante de valor inteiro de homologia 3-esferas, cujo mod 2 de redução é o invariante de Rokhlin.

Formulários

Se A for uma homologia 3-esfera não homeomórfica à 3-esfera padrão, então a suspensão de A é um exemplo de uma variedade de homologia 4-dimensional que não é uma variedade topológica . A suspensão dupla de A é homeomórfica à esfera 5 padrão, mas sua triangulação (induzida por alguma triangulação de A ) não é uma variedade PL . Em outras palavras, isso dá um exemplo de um complexo simplicial finito que é uma variedade topológica, mas não uma variedade PL. (Não é uma variedade PL porque a ligação de um ponto nem sempre é uma esfera 4.)

Galewski e Stern mostraram que todas as variedades topológicas compactas (sem limite) de dimensão pelo menos 5 são homeomórficas a complexos simpliciais se e somente se houver uma homologia 3 esfera Σ com invariante de Rokhlin 1 tal que a soma conectada Σ # Σ de Σ com ela mesma limita uma variedade 4 acíclica suave. Em 2013, a existência de tal homologia 3-esfera era um problema não resolvido. Em 11 de março de 2013, Ciprian Manolescu postou uma pré-impressão no ArXiv alegando mostrar que não existe tal esfera de homologia com a propriedade dada e, portanto, existem 5-variedades não homeomórficas a complexos simpliciais. Em particular, o exemplo originalmente dado por Galewski e Stern (ver Galewski e Stern, A universal 5-manifold com respeito a triangulações simples, em Geometric Topology (Proceedings Georgia Topology Conference, Athens Georgia, 1977, Academic Press, New York, pp 345 –350)) não é triangulável.

Veja também

Referências

Leitura selecionada

Dror, Emmanuel (1973). “Esferas de homologia” . Israel Journal of Mathematics . 15 : 115–129. doi : 10.1007 / BF02764597 . MR 0328926 .
David Galewski, Ronald Stern Classification of simplicial triangulations of topological manifolds , Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, pp. 1-34.
Robion Kirby , Martin Scharlemann, Oito faces da 3-esfera de homologia de Poincaré . Topologia geométrica (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113-146, Academic Press , New York-London, 1979.
Kervaire, Michel (1969). "Esferas de homologia suave e seus grupos fundamentais". Transactions of the American Mathematical Society . 144 : 67–72. JSTOR 1995269 . MR 0253347 .
Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

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