Homologia (matemática) - Homology (mathematics)

Em matemática , homologia é uma maneira geral de associar uma sequência de objetos algébricos, como grupos abelianos ou módulos , a outros objetos matemáticos, como espaços topológicos . Os grupos de homologia foram originalmente definidos na topologia algébrica . Construções semelhantes estão disponíveis em uma ampla variedade de outros contextos, como álgebra abstrata , grupos , álgebras de Lie , teoria de Galois e geometria algébrica .

A motivação original para definir grupos de homologia foi a observação de que duas formas podem ser distinguidas examinando seus orifícios. Por exemplo, um círculo não é um disco porque o círculo tem um orifício através dele enquanto o disco é sólido, e a esfera comum não é um círculo porque a esfera encerra um orifício bidimensional enquanto o círculo encerra um orifício unidimensional. No entanto, como um furo "não está lá", não é imediatamente óbvio como definir um furo ou como distinguir diferentes tipos de furos. Homologia era originalmente um método matemático rigoroso para definir e categorizar buracos em uma variedade . Em termos gerais, um ciclo é uma subvariedade fechada, uma fronteira é um ciclo que também é a fronteira de uma subvariedade e uma classe de homologia (que representa um furo) é uma classe de equivalência das fronteiras do módulo de ciclos. Uma classe de homologia é assim representada por um ciclo que não é o limite de nenhuma subvariedade: o ciclo representa um buraco, ou seja, uma variedade hipotética cujo limite seria aquele ciclo, mas que "não existe".

Existem muitas teorias de homologia diferentes. Um tipo particular de objeto matemático, como um espaço topológico ou um grupo , pode ter uma ou mais teorias de homologia associadas. Quando o objeto subjacente tem uma interpretação geométrica como os espaços topológicos, o n- ésimo grupo de homologia representa o comportamento na dimensão n . A maioria dos grupos ou módulos de homologia podem ser formulados como functores derivados em categorias abelianas apropriadas , medindo a falha de um functor para ser exato . A partir dessa perspectiva abstrata, os grupos de homologia são determinados por objetos de uma categoria derivada .

Fundo

Origens

Pode-se dizer que a teoria da homologia começa com a fórmula do poliedro de Euler, ou característica de Euler . Isso foi seguido pela definição de Riemann de invariantes numéricos de gênero e n- vezes de conectividade em 1857 e a prova de Betti em 1871 da independência dos "números de homologia" da escolha da base.

A própria homologia foi desenvolvida como uma forma de analisar e classificar variedades de acordo com seus ciclos - loops fechados (ou mais geralmente subvariedades) que podem ser desenhados em uma determinada variedade n dimensional, mas não continuamente deformados uns nos outros. Às vezes, esses ciclos também são considerados como cortes que podem ser colados novamente ou como zíperes que podem ser fechados e abertos. Os ciclos são classificados por dimensão. Por exemplo, uma linha desenhada em uma superfície representa um ciclo, um circuito fechado ou (1-manifold), enquanto um corte de superfície através de uma variedade tridimensional é um 2-ciclo.

Superfícies

Ciclos em 2 esferas
Ciclos em um toro
Ciclos em uma garrafa de Klein
Ciclos em um plano projetivo hemisférico

Na esfera comum , o ciclo b no diagrama pode ser reduzido ao pólo, e até mesmo o grande círculo equatorial a pode ser reduzido da mesma maneira. O teorema da curva de Jordan mostra que qualquer ciclo arbitrário como c pode ser reduzido de forma semelhante a um ponto. Todos os ciclos na esfera podem, portanto, ser continuamente transformados uns nos outros e pertencer à mesma classe de homologia. Eles são considerados homólogos a zero. O corte de um coletor ao longo de um ciclo homólogo a zero separa o coletor em dois ou mais componentes. Por exemplo, cortar a esfera ao longo de a produz dois hemisférios.

Isso geralmente não é verdade para os ciclos em outras superfícies. O toro tem ciclos que não podem ser deformados continuamente uns nos outros, por exemplo, no diagrama nenhum dos ciclos a , b ou c pode ser deformado um no outro. Em particular, os ciclos a e b não podem ser reduzidos a um ponto, enquanto o ciclo c pode, tornando-o homólogo a zero.

Se a superfície de toro é cortado ao longo de ambos um e b , que podem ser abertos para fora e achatada em um rectângulo ou, mais convenientemente, um quadrado. Um par oposto de lados representa o corte ao longo de a , e o outro par oposto representa o corte ao longo de b .

As bordas do quadrado podem ser coladas novamente de maneiras diferentes. O quadrado pode ser torcido para permitir que as bordas se encontrem na direção oposta, conforme mostrado pelas setas no diagrama. Até a simetria, existem quatro maneiras distintas de colar as laterais, cada uma criando uma superfície diferente:

As quatro maneiras de colar um quadrado para fazer uma superfície fechada: cole setas simples e cole setas duplas.

é a garrafa de Klein , que é um toro com uma torção (a torção pode ser vista no diagrama quadrado como o reverso da seta inferior). É um teorema que a superfície re-colada deve se autointerectar (quando imersa no espaço 3 euclidiano ). Como o toro, ciclos um e b não pode ser reduzido enquanto c pode ser. Mas, ao contrário do toro, seguir b para a frente e para a direita, volta e volta para a esquerda e para a direita, porque b passa a cruzar a torção dada a uma junção. Se for feito um corte equidistante de um lado de b , ele retorna do outro lado e volta à superfície uma segunda vez antes de retornar ao seu ponto inicial, cortando uma tira de Möbius torcida . Como a esquerda e a direita locais podem ser arbitrariamente reorientadas dessa maneira, a superfície como um todo é considerada não orientável.

O plano projetivo tem ambas as junções torcidas. A forma não cortada, geralmente representada como a superfície Boy , é visualmente complexa, portanto, um encaixe hemisférico é mostrado no diagrama, no qual os pontos antípodais ao redor da borda, como A e A ′, são identificados como o mesmo ponto. Mais uma vez, um e b são não-retráctil enquanto c é. Mas desta vez, tanto a quanto b invertem à esquerda e à direita.

Os ciclos podem ser unidos ou adicionados em conjunto, como um e b no toro foram quando foi cortado e aberto para baixo e achatada. No diagrama de garrafa de Klein, a dá a volta em uma direção e - a circula na direção oposta. Se a for considerado um corte, então - a pode ser considerado uma operação de colagem. Fazer um corte e depois colá-lo não muda a superfície, então a + (- a ) = 0.

Mas agora considere dois a -cycles. Como a garrafa de Klein não é orientável, você pode transportar um deles ao redor da garrafa (ao longo do ciclo b ) e ele voltará como - a . Isso porque a garrafa de Klein é feita de um cilindro, cujas pontas de um ciclo são coladas com orientações opostas. Portanto, 2 a = a + a = a + (- a ) = 0. Esse fenômeno é chamado de torção . Da mesma forma, no plano projetivo, seguir o ciclo intransponível b redondo duas vezes cria um ciclo trivial que pode ser reduzido a um ponto; isto é, b + b = 0. Como b deve ser seguido duas vezes para atingir um ciclo zero, diz-se que a superfície tem um coeficiente de torção de 2. No entanto, após um b -ciclo duas vezes na garrafa de Klein, resulta simplesmente b + b = 2 b , uma vez que este ciclo vive em uma classe de homologia livre de torção. Isso corresponde ao fato de que no polígono fundamental da garrafa de Klein, apenas um par de lados é colado com torção, enquanto no plano projetivo ambos os lados são torcidos.

Um quadrado é um espaço topológico contratável , o que implica que ele tem homologia trivial. Conseqüentemente, cortes adicionais o desconectam. O quadrado não é a única forma no plano que pode ser colada em uma superfície. A colagem de lados opostos de um octógono, por exemplo, produz uma superfície com dois orifícios. Na verdade, todas as superfícies fechadas podem ser produzidas colando os lados de algum polígono e todos os polígonos de lados iguais (2 n- pontos) podem ser colados para fazer variedades diferentes. Por outro lado, uma superfície fechada com n classes diferentes de zero pode ser cortada em 2 n- gon. Também são possíveis variações, por exemplo, um hexágono também pode ser colado para formar um toro.

A primeira teoria reconhecível de homologia foi publicada por Henri Poincaré em seu artigo seminal " Analysis situs ", J. Ecole polytech. (2) 1 . 1–121 (1895). O artigo introduziu classes e relações de homologia. As configurações possíveis de ciclos orientáveis ​​são classificadas pelos números de Betti da variedade (os números de Betti são um refinamento da característica de Euler). A classificação dos ciclos não orientáveis ​​requer informações adicionais sobre os coeficientes de torção.

A classificação completa de variedades 1 e 2 é fornecida na tabela.

Características topológicas de variedades fechadas de 1 e 2
Múltiplo Euler não. ,
χ
Orientabilidade Números Betti Coeficiente de torção
(unidimensional)
Símbolo Nome b 0 b 1 b 2
Círculo (1-manifold) 0 Orientável 1 1 N / D N / D
Esfera 2 Orientável 1 0 1 Nenhum
Círculo sólido (ou seja, disco; 2-manifold) Não orientável 1 0 0
Esfera sólida (ou seja, bola) Não orientável 1 0 0
Toro 0 Orientável 1 2 1 Nenhum
Plano projetivo 1 Não orientável 1 0 0 2
Garrafa de Klein 0 Não orientável 1 1 0 2
Toro de 2 furos -2 Orientável 1 4 1 Nenhum
toro com orifícios g ( g é o gênero ) 2 - 2 g Orientável 1 2 g 1 Nenhum
Esfera com c cross-caps 2 - c Não orientável 1 c - 1 0 2
2-manifold com orifícios em g  e c  tampas cruzadas ( c  >  0) 2  -  (2 g  + c )  Não orientável 1 (2 g  + c ) - 1    0 2
Notas
  1. Para uma superfície não orientável, um orifício é equivalente a duas tampas cruzadas.
  2. Qualquer variedade de 2 é a soma conectada de g tori e c planos projetivos. Para a esfera , g = c = 0.

Generalização

Um coletor com limite ou coletor aberto é topologicamente distinto de um coletor fechado e pode ser criado fazendo um corte em qualquer coletor fechado adequado. Por exemplo, o disco ou bola única é delimitado por um círculo . Pode ser criado cortando um ciclo trivial em qualquer 2-manifold e mantendo a peça removida, perfurando a esfera e esticando o punção, ou cortando o plano projetivo. Também pode ser visto como o preenchimento do círculo no plano.

Quando dois ciclos podem ser continuamente deformados um no outro, cortar ao longo de um produz a mesma forma que cortar ao longo do outro, até alguma flexão e alongamento. Neste caso, os dois ciclos são considerados homólogos ou pertencentes à mesma classe de homologia . Além disso, se um ciclo pode ser continuamente deformado em uma combinação de outros ciclos, o corte ao longo do ciclo inicial é o mesmo que cortar ao longo da combinação de outros ciclos. Por exemplo, cortar ao longo de uma figura 8 é equivalente a cortar ao longo de seus dois lóbulos. Nesse caso, a figura 8 é dita homóloga à soma de seus lóbulos.

Duas variedades abertas com limites semelhantes (até alguma flexão e alongamento) podem ser coladas para formar uma nova variedade que é sua soma conectada.

Esta análise geométrica de variedades não é rigorosa. Em uma busca por maior rigor, Poincaré desenvolveu a homologia simplicial de uma variedade triangulada e criou o que agora é chamado de complexo de cadeia . Esses complexos de cadeia (desde que amplamente generalizados) formam a base para a maioria dos tratamentos modernos de homologia.

Em tais tratamentos, um ciclo não precisa ser contínuo: um ciclo 0 é um conjunto de pontos, e o corte ao longo desse ciclo corresponde a perfurar o manifold. Um 1 ciclo corresponde a um conjunto de loops fechados (uma imagem do 1-manifold ). Em uma superfície, o corte ao longo de um ciclo produz peças desconectadas ou uma forma mais simples. Um ciclo de 2 corresponde a uma coleção de superfícies embutidas, como uma esfera ou um toro, e assim por diante.

Emmy Noether e, independentemente, Leopold Vietoris e Walther Mayer desenvolveram ainda mais a teoria de grupos de homologia algébrica no período 1925-1928. A nova topologia combinatória tratava formalmente as classes topológicas como grupos abelianos . Os grupos de homologia são grupos abelianos finitamente gerados e as classes de homologia são elementos desses grupos. Os números de Betti da variedade são a classificação da parte livre do grupo de homologia, e os ciclos não orientáveis ​​são descritos pela parte de torção.

A disseminação subsequente de grupos de homologia trouxe uma mudança de terminologia e ponto de vista de "topologia combinatória" para " topologia algébrica ". A homologia algébrica continua sendo o método principal de classificação de variedades.

Exemplos informais

A homologia de um espaço topológico X é um conjunto de invariantes topológicos de X representados por seus grupos de homologia

onde o grupo de homologia descreve, informalmente, o número de k furos -dimensional em X . Um furo 0-dimensional é simplesmente uma lacuna entre dois componentes . Por conseguinte, descreve os componentes ligados de caminho-de X .

O círculo ou 1 esfera
A 2-esfera é a casca, não o interior, de uma bola

Uma esfera unidimensional é um círculo . Ele tem um único componente conectado e um orifício unidimensional, mas nenhum orifício de dimensão superior. Os grupos de homologia correspondentes são fornecidos como

onde é o grupo de inteiros e é o grupo trivial . O grupo representa um grupo abeliano finitamente gerado , com um único gerador representando o buraco unidimensional contido em um círculo.

Uma esfera bidimensional tem um único componente conectado, nenhum orifício unidimensional, um orifício bidimensional e nenhum orifício de dimensão superior. Os grupos de homologia correspondentes são

Em geral, para uma esfera n- dimensional, os grupos de homologia são

O disco sólido ou 2-ball
O toro

Uma bola bidimensional é um disco sólido. Ele tem um único componente conectado por caminho, mas, em contraste com o círculo, não tem orifícios unidimensionais ou de dimensões superiores. Os grupos de homologia correspondentes são todos triviais, exceto . Em geral, para uma bola n- dimensional

O toro é definido como o produto de dois círculos . O toro tem um componente conectado por caminho único, dois orifícios unidimensionais independentes (indicados por círculos em vermelho e azul) e um orifício bidimensional como o interior do toro. Os grupos de homologia correspondentes são

Os dois orifícios unidimensionais independentes formam geradores independentes em um grupo abeliano finitamente gerado, expresso como o grupo de produtos

Para o plano projetivo P , um cálculo simples mostra (onde está o grupo cíclico de ordem 2):

corresponde, como nos exemplos anteriores, ao fato de haver um único componente conectado. é um fenômeno novo: intuitivamente, corresponde ao fato de que existe um único "laço" não contraível, mas se fizermos o laço duas vezes, ele se torna contraível a zero. Este fenômeno é denominado torção .

Construção de grupos de homologia

A construção começa com um objecto, tal como um espaço topológico X , em que um primeiro define uma cadeia complexa de C ( X ) que codifica informações sobre X . Um complexo de cadeia é uma sequência de grupos ou módulos abelianos . conectados por homomorfismos que são chamados de operadores de fronteira . Isso é,

onde 0 denota o grupo trivial e para i <0. Também é necessário que a composição de quaisquer dois operadores de fronteira consecutivos seja trivial. Ou seja, para todos n ,

isto é, o mapa constante enviando todos os elementos de para a identidade do grupo em A afirmação de que a fronteira de uma fronteira é trivial é equivalente à afirmação que , onde denota a imagem do operador de fronteira e seu kernel . Os elementos de são chamados de limites e os elementos de são chamados de ciclos .

Como cada grupo de cadeias C n é abeliano, todos os seus subgrupos são normais. Então, porque é um subgrupo de C n , é abeliano e, portanto, é um subgrupo normal de . Em seguida, pode-se criar o grupo de quociente

chamado o n ésimo grupo de homologia de X . Os elementos de H n ( X ) são chamados de classes de homologia . Cada classe de homologia é uma classe de equivalência sobre ciclos e dois ciclos na mesma classe de homologia são considerados homólogos .

A cadeia é complexa dito ser exato se a imagem do ( n + 1) th mapa é sempre igual ao kernel do n º mapa. Os grupos de homologia de X, portanto, medem "até que ponto" o complexo de cadeia associado a X está de ser exato.

Os grupos de homologia reduzida de um complexo de cadeia C ( X ) são definidos como homologias do complexo de cadeia aumentada

onde o operador de fronteira está

para uma combinação de pontos que são os geradores fixos de C 0 . Os grupos de homologia reduzidas coincidir com a O adicional no complexo de cadeia única representa o mapa do simplex vazio para X .

Calcular o ciclo e os grupos de fronteira geralmente é bastante difícil, pois eles têm um grande número de geradores. Por outro lado, existem ferramentas que facilitam a tarefa.

Os simpliciais homologia grupos H n ( X ) de um complexo simplicial X são definidos utilizando a cadeia simplicial complexo C ( X ), com C N ( X ) o grupo abeliano livre gerado pela N -simplices de X . Veja homologia simplicial para detalhes.

Os grupos de homologia singulares H n ( X ) são definidos para qualquer espaço topológico X e concordam com os grupos de homologia simplicial para um complexo simplicial.

Os grupos de cohomologia são formalmente semelhantes aos grupos de homologia: um começa com um complexo de cochain , que é o mesmo que um complexo de cadeia, mas cujas setas, agora denotadas apontam na direção de aumentar n em vez de diminuir n ; então, os grupos de cociclos e de co-limites seguem a mesma descrição. O n ésimo grupo cohomología de X é, em seguida, o grupo quociente

em analogia com o n ésimo grupo homologia.

Homologia vs. homotopia

Os grupos de homotopia são semelhantes aos grupos de homologia, pois podem representar "buracos" em um espaço topológico. Há uma conexão estreita entre o primeiro grupo de homotopia e o primeiro grupo de homologia : o último é a abelianização do primeiro. Portanto, diz-se que "a homologia é uma alternativa comutativa à homotopia". Os grupos de homotopia mais elevados são abelianos e estão relacionados aos grupos de homologia pelo teorema de Hurewicz , mas podem ser muito mais complicados. Por exemplo, os grupos de homotopia de esferas são mal compreendidos e não são conhecidos em geral, em contraste com a descrição direta dada acima para os grupos de homologia.

Como exemplo, seja X a figura oito . Seu primeiro grupo de homotopia é o grupo de loops direcionados começando e terminando em um ponto predeterminado (por exemplo, seu centro). É equivalente ao grupo livre de classificação 2, que não é comutativo: girar em torno do ciclo mais à esquerda e, em seguida, girar em torno do ciclo mais à direita é diferente de girar em torno do ciclo mais à direita e, em seguida, girar em torno do ciclo mais à esquerda. Em contraste, seu primeiro grupo de homologia é o grupo de cortes feitos em uma superfície. Este grupo é comutativo, pois (informalmente) cortar o ciclo mais à esquerda e depois o ciclo mais à direita leva ao mesmo resultado que cortar o ciclo mais à direita e depois o ciclo mais à esquerda.

Tipos de homologia

Os diferentes tipos de teoria da homologia surgem do mapeamento de functores de várias categorias de objetos matemáticos para a categoria de complexos em cadeia. Em cada caso, a composição do functor de objetos para complexos de cadeia e do functor de complexos de cadeia para grupos de homologia define o functor de homologia geral para a teoria.

Homologia Simplicial

O exemplo motivador vem da topologia algébrica : a homologia simplicial de um complexo X simplicial . Aqui, o grupo de cadeia C n é o grupo abeliano livre ou módulo cujos geradores são os n simplexos orientados -dimensional de X . A orientação é capturada ordenando os vértices do complexo e expressando um simplex orientado como um n -tuplo de seus vértices listados em ordem crescente (isto é, na ordenação dos vértices do complexo, onde é o ésimo vértice aparecendo na tupla). O mapeamento de C n para C n − 1 é chamado de mapeamento de fronteira e envia o simplex

para a soma formal

que é considerado 0 se Este comportamento nos geradores induz um homomorfismo em todos os C n como segue. Dado um elemento , escreva-o como a soma dos geradores onde é o conjunto de n -simplexes em X e m i são coeficientes do anel C n é definido (geralmente inteiros, a menos que especificado de outra forma). Então defina

A dimensão da n- ésima homologia de X acaba sendo o número de "buracos" em X na dimensão n . Pode ser calculado colocando representações matriciais desses mapeamentos de fronteira na forma normal de Smith .

Homologia singular

Usando exemplo homologia simplicial como um modelo, pode-se definir uma homologia singular para qualquer espaço topológico X . Um complexo de cadeia para X é definida tomando C n ser o grupo livre abeliano (ou módulo livre) cujos geradores são todas contínuas mapas de n -dimensional simplices em X . Os homomorfismos ∂ n surgem dos mapas de fronteira dos simplexes.

Homologia de grupo

Na álgebra abstrata , usa-se homologia para definir functores derivados , por exemplo, os functores Tor . Aqui começa-se com alguns functor aditivo covariant F e algum módulo X . O complexo da cadeia para X é definido como segue: primeiro encontre um módulo livre e um homomorfismo sobrejetivo Depois, encontra-se um módulo livre e um homomorfismo sobrejetivo. Continuando desta forma, uma seqüência de módulos livres e homomorfismos podem ser definidos. Aplicando o functor F a esta sequência, obtém-se um complexo de cadeias; a homologia deste complexo depende apenas de F e X e é, por definição, o n -simo derivado functor de F , aplicada a X .

Um uso comum de grupo (co) homologia é classificar os possíveis grupos de extensão E que contêm um dado módulo G M como um subgrupo normal e têm um determinado grupo quociente G , de modo que

Outras teorias de homologia

Functores de homologia

Os complexos de cadeia formam uma categoria : Um morfismo do complexo de cadeia ( ) para o complexo de cadeia ( ) é uma sequência de homomorfismos tal que para todos os n . A n -ésima homologia H n pode ser vista como um functor covariante da categoria de complexos de cadeia para a categoria de grupos abelianos (ou módulos).

Se o complexo de cadeia depende do objeto X de forma covariante (o que significa que qualquer morfismo induz um morfismo do complexo de cadeia de X para o complexo de cadeia de Y ), então os H n são functores covariantes da categoria à qual X pertence a categoria de grupos abelianos (ou módulos).

A única diferença entre homologia e cohomologia é que em cohomologia os complexos de cadeia dependem de uma maneira contravariante de X , e que, portanto, os grupos de homologia (que são chamados de grupos de cohomologia neste contexto e denotados por H n ) formam functores contravariantes da categoria que X pertence à categoria de grupos ou módulos abelianos.

Propriedades

Se ( ) é um complexo de cadeia tal que todos, exceto finitamente muitos A n, são zero, e os outros são grupos abelianos finitamente gerados (ou espaços vetoriais de dimensão finita), então podemos definir a característica de Euler

(usando a classificação no caso de grupos abelianos e a dimensão de Hamel no caso de espaços vetoriais). Acontece que a característica de Euler também pode ser calculada no nível de homologia:

e, especialmente na topologia algébrica, isso fornece duas maneiras de calcular o invariante importante para o objeto X que deu origem ao complexo de cadeia.

Cada pequena sequência exata

de complexos de cadeia dá origem a uma longa sequência exata de grupos de homologia

Todos os mapas nesta longa sequência exata são induzidos pelos mapas entre os complexos de cadeia, exceto os mapas. Os últimos são chamados de homomorfismos de conexão e são fornecidos pelo lema do zigue-zague . Este lema pode ser aplicado à homologia de várias maneiras que ajudam no cálculo de grupos de homologia, como as teorias de homologia relativa e sequências de Mayer-Vietoris .

Formulários

Aplicação em matemática pura

Teoremas notáveis ​​provados usando homologia incluem o seguinte:

  • O teorema do ponto fixo de Brouwer : Se f é qualquer mapa contínuo da bola B n para si mesma, então há um ponto fixo com
  • Invariância de domínio : Se L é um subconjunto aberta de e é um injetivo mapa contínua , em seguida, é aberto e f é um homeomorphism entre L e V .
  • O Cabeludo bola teorema : qualquer campo de vectores sobre a 2-esfera (ou, mais geralmente, a 2 k -sphere para qualquer ) desaparece em algum ponto.
  • O teorema de Borsuk-Ulam : qualquer função contínua de uma n -sfera em um n- espaço euclidiano mapeia alguns pares de pontos antípodas para o mesmo ponto. (Dois pontos em uma esfera são chamados de antípodas se estiverem em direções exatamente opostas do centro da esfera.)
  • Invariância de dimensão: se subconjuntos abertos não vazios e são homeomórficos, então

Aplicação em ciência e engenharia

Na análise de dados topológicos , os conjuntos de dados são considerados como uma amostragem de nuvem de pontos de uma variedade ou variedade algébrica embutida no espaço euclidiano . Ao ligar os pontos vizinhos mais próximos na nuvem em uma triangulação, uma aproximação simplicial da variedade é criada e sua homologia simplicial pode ser calculada. Encontrar técnicas para calcular a homologia de forma robusta usando várias estratégias de triangulação em várias escalas de comprimento é o tópico da homologia persistente .

Em redes de sensores, os sensores podem comunicar informações por meio de uma rede ad-hoc que muda dinamicamente no tempo. Para entender o contexto global deste conjunto de medidas locais e caminhos de comunicação, é útil calcular a homologia da topologia da rede para avaliar, por exemplo, falhas na cobertura.

Na teoria dos sistemas dinâmicos na física , Poincaré foi um dos primeiros a considerar a interação entre a variedade invariante de um sistema dinâmico e seus invariantes topológicos. A teoria de Morse relaciona a dinâmica de um fluxo gradiente em uma variedade com, por exemplo, sua homologia. A homologia de Floer estendeu isso a variedades de dimensão infinita. O teorema KAM estabeleceu que as órbitas periódicas podem seguir trajetórias complexas; em particular, eles podem formar tranças que podem ser investigadas usando homologia de Floer.

Em uma classe de métodos de elementos finitos , os problemas de valor limite para equações diferenciais envolvendo o operador de Hodge-Laplace podem precisar ser resolvidos em domínios topologicamente não triviais, por exemplo, em simulações eletromagnéticas . Nessas simulações, a solução é auxiliada pela fixação da classe de cohomologia da solução com base nas condições de contorno escolhidas e na homologia do domínio. Os domínios FEM podem ser triangulados, a partir dos quais a homologia simplicial pode ser calculada.

Programas

Vários pacotes de software foram desenvolvidos para fins de computação de grupos de homologia de complexos de células finitas. Linbox é uma biblioteca C ++ para realizar operações rápidas de matriz, incluindo a forma normal de Smith ; ele faz interface com Gap e Maple . Chomp , CAPD :: Redhom e Perseus também são escritos em C ++. Todos os três implementam algoritmos de pré-processamento baseados na equivalência de homotopia simples e na teoria de Morse discreta para realizar reduções de preservação de homologia dos complexos de células de entrada antes de recorrer à álgebra de matriz. Kenzo é escrito em Lisp e, além da homologia, também pode ser usado para gerar apresentações de grupos de homotopia de complexos simpliciais finitos. Gmsh inclui um solucionador de homologia para malhas de elementos finitos, que pode gerar bases de cohomologia diretamente utilizáveis ​​por software de elementos finitos.

Veja também

Notas

Referências

links externos