Teoria da homotopia - Homotopy theory

Em matemática , a teoria da homotopia é um estudo sistemático de situações em que os mapas vêm com homotopias entre eles. Ele se originou como um tópico na topologia algébrica, mas hoje em dia é estudado como uma disciplina independente. Além da topologia algébrica, a teoria também foi usada em outras áreas da matemática, como geometria algébrica (por exemplo, teoria da homotopia Aopy ) e teoria das categorias (especificamente o estudo de categorias superiores ).

Conceitos

Espaços e mapas

Na teoria da homotopia e na topologia algébrica, a palavra "espaço" denota um espaço topológico . Para evitar patologias , raramente se trabalha com espaços arbitrários; em vez disso, são necessários espaços para atender a restrições extras, como ser gerado de forma compacta , ou Hausdorff , ou um complexo CW .

Na mesma linha que acima, um " mapa " é uma função contínua, possivelmente com algumas restrições extras.

Freqüentemente, trabalha-se com um espaço pontiagudo - isto é, um espaço com um "ponto distinto", denominado ponto base. Um mapa pontiagudo é então um mapa que preserva pontos de base; ou seja, ele envia o ponto de base do domínio para o do codomínio. Em contraste, um mapa livre é aquele que não precisa preservar os pontos de base.

Homotopia

Deixe I denotar o intervalo de unidade. Uma família de mapas indexados pelo I , é chamado de homotopia de a se é um mapa (por exemplo, ele deve ser uma função contínua ). Quando X , Y são espaços pontiagudos, são necessários para preservar os pontos base. Uma homotopia pode ser considerada uma relação de equivalência . Dado um espaço pontas X e um número inteiro , deixar ser as classes de homotopia de mapas com base a partir de uma (pontas) n -sphere para X . Acontece que são grupos ; em particular, é chamado o grupo fundamental de X . ${\ displaystyle h_ {t}: X \ a Y}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h: I \ times X \ to Y, (t, x) \ mapsto h_ {t} (x)}$${\ displaystyle h_ {t}}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) = [S ^ {n}, X] _ {*}}$${\ displaystyle S ^ {n} \ a X}$${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle \ pi _ {n} (X)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Se preferir trabalhar com um espaço em vez de um espaço pontiagudo, há a noção de um grupóide fundamental (e variantes superiores): por definição, o grupóide fundamental de um espaço X é a categoria em que os objetos são os pontos de X e os morfismos são caminhos.

Cofibration and fibation

Um mapa é chamado de co - calibração se dado (1) um mapa e (2) uma homotopia , existe uma homotopia que se estende e tal . Para um sentido mais amplo, é um análogo do diagrama de definição de um módulo injetivo em álgebra abstrata . O exemplo mais básico é um par CW ; uma vez que muitos trabalham apenas com complexos CW, a noção de uma co-calibração está frequentemente implícita. ${\ displaystyle f: A \ to X}$${\ displaystyle h_ {0}: X \ a Z}$${\ displaystyle g_ {t}: A \ a Z}$${\ displaystyle h_ {t}: X \ a Z}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle h_ {t} \ circ f = g_ {t}}$ ${\ displaystyle (X, A)}$

Uma fibração no sentido de Serre é a noção dupla de uma co-vibração: isto é, um mapa é uma fibração se dado (1) um mapa e (2) uma homotopia , existe uma homotopia tal que é dado e . Um exemplo básico é um mapa de cobertura (na verdade, uma fibração é uma generalização de um mapa de cobertura). Se for um pacote G principal , ou seja, um espaço com uma ação de grupo livre e transitiva (topológica) de um grupo ( topológico ), o mapa de projeção é um exemplo de fibração. ${\ displaystyle p: X \ a B}$${\ displaystyle Z \ a X}$${\ displaystyle g_ {t}: Z \ para B}$${\ displaystyle h_ {t}: Z \ a X}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle p \ circ h_ {t} = g_ {t}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle p: E \ a X}$

Classificando espaços e operações de homotopia

Dado um grupo topológico G , o espaço de classificação para os blocos G principais ("o" até a equivalência) é um espaço tal que, para cada espaço X , ${\ displaystyle BG}$

${\ displaystyle [X, BG] =}$ {principal G -bundle em X  } / ~ ${\ displaystyle, \, \, [f] \ mapsto f ^ {*} EG}$

Onde

• o lado esquerdo é o conjunto de classes de homotopia de mapas , ${\ displaystyle X \ to BG}$
• ~ refere-se ao isomorfismo de feixes, e
• = É dada puxando-o para trás feixe distinto em (chamado pacote universal) ao longo de um mapa . ${\ displaystyle EG}$${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle X \ to BG}$

O teorema da representabilidade de Brown garante a existência de espaços de classificação.

Espectro e cohomologia generalizada

A ideia de que um espaço de classificação classifica os pacotes principais pode ser levada mais longe. Por exemplo, pode-se tentar classificar as classes de cohomologia: dado um grupo abeliano A (como ), ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle [X, K (A, n)] = \ operatorname {H} ^ {n} (X; A)}$

onde fica o espaço Eilenberg – MacLane . A equação acima leva à noção de uma teoria de cohomologia generalizada; isto é, um functor contravariante da categoria de espaços para a categoria de grupos abelianos que satisfaz os axiomas que generalizam a teoria da cohomologia comum. Acontece que esse functor pode não ser representado por um espaço, mas sempre pode ser representado por uma sequência de espaços (pontiagudos) com mapas de estrutura chamados de espectro. Em outras palavras, fornecer uma teoria de cohomologia generalizada é fornecer um espectro. ${\ displaystyle K (A, n)}$

Um exemplo básico de um espectro é um espectro de esfera : ${\ displaystyle S ^ {0} \ to S ^ {1} \ to S ^ {2} \ to \ cdots}$

Teoremas-chave

• Teorema de Seifert-van Kampen
• Teorema de excisão de homotopia
• Teorema da suspensão de Freudenthal (um corolário do teorema da excisão)
• Teorema do functor exato de Landweber
• Correspondência Dold-Kan
• Argumento de Eckmann-Hilton - mostra, por exemplo, grupos de homotopia mais elevados são abelianos .
• Teorema do coeficiente universal

Teoria da obstrução e classe característica

Veja também: Classe de característica , torre Postnikov , torção Whitehead

Localização e conclusão de um espaço

Teorias específicas

Existem várias teorias específicas

• teoria de homotopia simples
• teoria da homotopia estável
• teoria da homotopia cromática
• teoria da homotopia racional
• teoria da homotopia p-ádica
• teoria da homotopia equivariante

Hipótese de homotopia

Uma das questões básicas nos fundamentos da teoria da homotopia é a natureza de um espaço. A hipótese da homotopia pergunta se um espaço é algo fundamentalmente algébrico.

Teoria da homotopia abstrata

Conceitos

• seqüência de fibra
• seqüência de cofiber

Categorias de modelo

Teoria da homotopia Simplicial

• Homotopia Simplicial

Veja também

• Espectro de anel altamente estruturado
• Teoria do tipo de homotopia

Referências

• May, J. Um curso conciso em topologia algébrica
• George William Whitehead (1978). Elementos da teoria da homotopia . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 61 (3ª ed.). Nova York-Berlim: Springer-Verlag. pp. xxi + 744. ISBN   978-0-387-90336-1 . MR   0516508 . Recuperado em 6 de setembro de 2011 .
• Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN   1-4196-2722-8 .

Leitura adicional

• Anotações de Cisinski
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf

links externos

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory