Huai-Dong Cao - Huai-Dong Cao

Huai-Dong Cao
Chinês tradicional 曹懷東
Chinês simplificado 曹怀东

Huai-Dong Cao (nascido em 8 de novembro de 1959, em Jiangsu ) é um matemático sino-americano. Ele é o A. Everett Pitcher Professor de Matemática na Lehigh University . Ele é conhecido por suas contribuições de pesquisa para o fluxo de Ricci , um tópico no campo da análise geométrica .

História acadêmica

Cao recebeu seu BA

da Universidade de Tsinghua em 1981

e seu Ph.D. da Universidade de Princeton em 1986 sob a supervisão de Shing-Tung Yau .

Cao é um ex-diretor associado do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IPAM) da UCLA. Ele ocupou cargos de professor visitante no MIT, Universidade de Harvard, Instituto Isaac Newton, Instituto Max-Planck, IHES, ETH Zurique e Universidade de Pisa. Ele é o editor-chefe do Journal of Differential Geometry desde 2003. Seus prêmios e homenagens incluem:

Contribuições matemáticas

Fluxo Kähler-Ricci

Em 1982, Richard S. Hamilton introduziu o fluxo de Ricci , provando um novo teorema dramático sobre a geometria de variedades tridimensionais . Cao, que acabava de iniciar seu doutorado. estudos sob Shing-Tung Yau , começou a estudar o fluxo de Ricci no cenário de coletores Kähler . Em seu Ph.D. tese, publicada em 1985, ele mostrou que as estimativas de Yau na resolução da conjectura de Calabi poderiam ser modificadas para o contexto de fluxo de Kähler-Ricci, para provar um teorema de convergência semelhante ao resultado original de Hamilton. Isso também forneceu uma alternativa parabólica ao método de continuidade de Yau na prova da conjectura de Calabi, embora muito do trabalho técnico nas provas seja semelhante.

O trabalho de Perelman no fluxo de Ricci

Seguindo uma sugestão de Yau de que o fluxo de Ricci pode ser usado para provar William Thurston 's Geometrização conjectura , Hamilton desenvolveu a teoria sobre as duas décadas seguintes. Em 2002 e 2003, Grisha Perelman postou dois artigos no arXiv em que afirmava apresentar uma prova, via fluxo de Ricci, da conjectura da geometrização. Além disso, ele postou um terceiro artigo no qual deu um atalho para a prova da famosa conjectura de Poincaré , para a qual os resultados da segunda metade do segundo artigo eram desnecessários. Os artigos de Perelman foram imediatamente reconhecidos por fornecerem novos resultados notáveis ​​na teoria do fluxo de Ricci, embora muitos matemáticos fossem incapazes de compreender completamente os detalhes técnicos de algumas seções extraordinariamente complexas ou concisas de seu trabalho.

Bruce Kleiner, da Universidade de Yale, e John Lott, da Universidade de Michigan, começaram a postar na web anotações dos dois primeiros artigos de Perelman em 2003, acrescentando e modificando-os nos anos seguintes. Os resultados deste trabalho foram publicados em um jornal acadêmico em 2008. Cao colaborou com Xi-Ping Zhu da Zhongshan University , publicando uma exposição em 2006 do trabalho de Hamilton e dos dois primeiros artigos de Perelman, explicando-os no contexto da literatura matemática sobre análise geométrica . John Morgan da Columbia University e Gang Tian da Princeton University publicaram um livro em 2007 sobre o primeiro e o terceiro artigos de Perelman, e a primeira metade do segundo artigo; mais tarde, publicaram um segundo livro na segunda metade do segundo artigo de Perelman.

O resumo do artigo de Cao e Zhu afirma

Neste artigo, damos uma prova completa das conjecturas de Poincaré e da geometrização. Este trabalho depende dos trabalhos acumulativos de muitos analistas geométricos nos últimos trinta anos. Esta prova deve ser considerada como o coroamento da teoria do fluxo de Ricci de Hamilton-Perelman.

com início de introdução

Neste artigo, apresentaremos a teoria de Hamilton-Perelman do fluxo de Ricci. Com base nisso, daremos o primeiro relato escrito de uma prova completa da conjectura de Poincaré e da conjectura de geometrização de Thurston. Embora o trabalho completo seja um esforço acumulado de muitos analistas geométricos, os principais contribuintes são, sem dúvida, Hamilton e Perelman.

Alguns observadores achavam que Cao e Zhu estavam exagerando o valor de seu jornal. Além disso, verificou-se que algumas páginas do artigo de Cao e Zhu eram semelhantes às do artigo de Kleiner e Lott, levando a acusações de plágio. Cao e Zhu disseram que, em 2003, haviam feito anotações nessa seção do trabalho de Perelman a partir das primeiras postagens de Kleiner e Lott e que, como um descuido acidental, não conseguiram perceber a fonte das anotações ao escrever seu artigo em 2005. Eles lançou uma versão revisada de seu artigo para o arXiv em dezembro de 2006.

Solitons de gradiente de Ricci

Um soliton gradiente de Ricci consiste em uma variedade Riemanniana ( M , g ) e uma função f em M tal que Ric g + Hess g f é um múltiplo constante de g . No caso especial em que M tem uma estrutura complexa, g é uma métrica de Kähler e o gradiente de f é um campo vetorial holomórfico, tem-se um gradiente de soliton de Kähler-Ricci . Os solitons de Ricci são às vezes considerados generalizações das métricas de Einstein , que correspondem ao caso f = 0 . A importância dos sólidos gradientes de Ricci para a teoria do fluxo de Ricci foi reconhecida pela primeira vez por Hamilton em um influente artigo de 1995. Na análise de Perelman, os solitons de gradiente de Ricci onde o múltiplo constante é positivo são especialmente importantes; estes são chamados de solitons de Ricci de redução de gradiente . Uma pesquisa de 2010 de Cao em solitons de Ricci foi amplamente citada.

Em 1996, Cao estudou os solitons de Kähler-Ricci gradiente sob o ansatz da simetria rotacional, de modo que a equação do soliton de Ricci se reduz à análise ODE . Ele mostrou que para cada n positivo existe um gradiente estável de Kähler-Ricci soliton em ℂ n que é rotacionalmente simétrico, completo e positivamente curvo. No caso em que n é igual a 1, isso recupera o soliton de charuto de Hamilton. Cao também mostrou a existência de solitons de Kähler-Ricci gradientes constantes no espaço total do feixe canônico sobre o espaço projetivo complexo que é completo e rotacionalmente simétrico, e não negativamente curvado. Ele construiu exemplos fechados de solitons de Kähler-Ricci encolhendo gradiente na projetivização de certos feixes de linha sobre o espaço projetivo complexo; esses exemplos foram considerados independentemente por Norihito Koiso. O ansatz de Cao e Koiso foi levado mais longe em um artigo influente de Mikhail Feldman, Tom Ilmanen e Dan Knopf, e os exemplos de Cao, Koiso e Feldman-Ilmanen-Knopf foram unificados e estendidos em 2011 por Andrew Dancer e McKenzie Wang.

Utilizando um argumento de Perelman, Cao e Detang Zhou mostraram que os solitons de Ricci de encolhimento de gradiente completo têm um caráter gaussiano , em que para qualquer ponto p de M , a função f deve crescer quadraticamente com a função de distância para p . Além disso, o volume das bolas geodésicas em torno de p pode crescer no máximo polinomialmente com seu raio. Essas estimativas tornam possível muitas análises integrais relacionadas com os solitons de Ricci de encolhimento de gradiente completo, em particular permitindo que e - f seja usado como uma função de ponderação.

Publicações principais

  • Cao, Huai Dong. Deformação de métricas Kähler para métricas Kähler-Einstein em coletores Kähler compactos. Inventar. Matemática. 81 (1985), no. 2, 359–372.
  • Cao, Huai-Dong. Existência de solitons gradientes de Kähler-Ricci. Métodos elípticos e parabólicos em geometria (Minneapolis, MN, 1994), 1-16, AK Peters, Wellesley, MA, 1996.
  • Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Uma prova completa das conjecturas de Poincaré e geometrização - aplicação da teoria de Hamilton-Perelman do fluxo de Ricci. Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165-492.
  • Cao, Huai-Dong. Progresso recente nos solitons de Ricci. Avanços recentes em análise geométrica, 1-38, Adv. Lect. Matemática. (ALM), 11, Int. Press, Somerville, MA, 2010.
  • Cao, Huai-Dong; Zhou, Detang. No gradiente completo, encolhendo os solitons de Ricci. J. Differential Geom. 85 (2010), no. 2, 175–185.

Referências

  1. ^ Hamilton, Richard S. Três variedades com curvatura de Ricci positiva. Journal of Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 255–306.
  2. ^ Yau, Shing Tung. Sobre a curvatura de Ricci de uma variedade de Kähler compacta e a complexa equação de Monge-Ampère. I. Comm. Pure Appl. Matemática. 31 (1978), no. 3, 339–411.
  3. ^ Perelman, Grisha. A fórmula de entropia para o fluxo de Ricci e suas aplicações geométricas. arXiv : math / 0211159
  4. ^ Perelman, Grisha. Fluxo de Ricci com cirurgia em três manifolds. arXiv : math / 0303109
  5. ^ Perelman, Grisha. Tempo de extinção finito para as soluções do fluxo de Ricci em certas variedades de três. arXiv : math / 0307245
  6. ^ Kleiner, Bruce; Lott, John. Notas sobre os papéis de Perelman. Geom. Topol. 12 (2008), no. 5, 2587–2855.
  7. ^ Morgan, John; Tian, ​​gangue. Fluxo de Ricci e a conjectura de Poincaré. Clay Mathematics Monographs, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii + 521 pp. ISBN  978-0-8218-4328-4
  8. ^ Morgan, John; Tian, ​​gangue. A conjectura da geometrização. Clay Mathematics Monographs, 5. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x + 291 pp. ISBN  978-0-8218-5201-9
  9. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Errata para: "Uma prova completa das conjecturas de Poincaré e geometrização - aplicação da teoria de Hamilton-Perelman do fluxo de Ricci [Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165-492]. Asian J. Math. 10 (2006), nº 4, 663.
  10. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Prova de Hamilton-Perelman da conjectura de Poincaré e da conjectura de geometrização. arXiv : math / 0612069
  11. ^ Hamilton, Richard S. A formação de singularidades no fluxo de Ricci. Surveys in diferencial geometry, vol. II (Cambridge, MA, 1993), 7–136, Int. Press, Cambridge, MA, 1995.
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  13. ^ Feldman, Mikhail; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan. Sólitons de Kähler-Ricci de gradiente de redução e expansão rotacionalmente simétricos. J. Differential Geom. 65 (2003), no. 2, 169–209.
  14. ^ Dançarino, Andrew S .; Wang, McKenzie Y. On Ricci solitons of cohomogeneity one. Ann. Global Anal. Geom. 39 (2011), no. 3, 259–292.