Princípio de Hume - Hume's principle
O princípio de Hume ou HP diz que o número de F s é igual ao número de G s se e somente se houver uma correspondência um a um (uma bijeção) entre os F s e os G s. HP pode ser declarado formalmente em sistemas de lógica de segunda ordem . O princípio de Hume recebeu esse nome em homenagem ao filósofo escocês David Hume e foi cunhado por George Boolos .
A HP desempenha um papel central na filosofia da matemática de Gottlob Frege . Frege mostra que HP e definições adequadas de noções aritméticas envolvem todos os axiomas do que agora chamamos de aritmética de segunda ordem . Esse resultado é conhecido como teorema de Frege , que é a base para uma filosofia da matemática conhecida como neo-lógico .
Origens
Princípio figura de Hume em de Frege fundamentos da aritmética (§73), que retoma da Parte III do Livro I de David Hume 's Tratado da Natureza Humana (1740). Hume estabelece sete relações fundamentais entre as idéias. A respeito de um deles, proporção em quantidade ou número , Hume argumenta que nosso raciocínio sobre proporção em quantidade, conforme representado pela geometria , nunca pode alcançar "precisão e exatidão perfeitas", uma vez que seus princípios são derivados da aparência dos sentidos. Ele contrasta isso com o raciocínio sobre número ou aritmética , em que tal precisão pode ser alcançada:
Álgebra e aritmética [são] as únicas ciências nas quais podemos manter uma cadeia de raciocínio em qualquer grau de complexidade e, ainda assim, preservar uma exatidão e certeza perfeitas. Temos um padrão preciso pelo qual podemos julgar a igualdade e a proporção dos números; e conforme correspondem ou não a esse padrão, determinamos suas relações, sem possibilidade de erro. Quando dois números são combinados, de modo que um sempre tem uma unidade respondendo a todas as unidades do outro, nós os pronunciamos iguais ; e é por falta de tal padrão de igualdade na extensão [espacial] que a geometria dificilmente pode ser considerada uma ciência perfeita e infalível. (I. III. I.)
Observe o uso de Hume da palavra número no sentido antigo, para significar um conjunto ou coleção de coisas, em vez da noção moderna comum de "número inteiro positivo". A antiga noção grega de número ( aritmos ) é de uma pluralidade finita composta de unidades. Ver Aristóteles , Metafísica , 1020a14 e Euclides , Elementos , Livro VII, Definição 1 e 2. O contraste entre a concepção antiga e a moderna de número é discutido em detalhes em Mayberry (2000).
Influência na teoria dos conjuntos
O princípio de que o número cardinal deveria ser caracterizado em termos de correspondência um a um já havia sido usado com grande efeito por Georg Cantor , cujos escritos Frege conhecia. Foi feita, portanto, a sugestão de que o princípio de Hume deveria ser melhor chamado de "Princípio de Cantor" ou "Princípio de Hume-Cantor". Mas Frege criticou Cantor com o fundamento de que Cantor define os números cardinais em termos de números ordinais , enquanto Frege queria dar uma caracterização dos cardinais que fosse independente dos ordinais. O ponto de vista de Cantor, entretanto, é aquele embutido nas teorias contemporâneas dos números transfinitos , conforme desenvolvido na teoria dos conjuntos axiomáticos .
Referências
- Anderson, D. e Edward Zalta (2004) "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33 : 1-26.
- George Boolos , "The Standard of Equality of Numbers" em George Boolos (ed.), Significado e Método: Ensaios em Honra de Hilary Putnam (Cambridge Eng .: Cambridge University Press, 1990), pp. 261-277.
- George Boolos, 1998. Logic, Logic, and Logic . Harvard Univ. Pressione. Especialmente a seção II, "Estudos Frege".
- Burgess, John, 2005. Fixing Frege . Princeton Univ. Pressione.
- Gottlob Frege , The Foundations of Arithmetic .
- David Hume . Um Tratado da Natureza Humana .
- Mayberry, John P., 2000. The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . Cambridge.