Equilíbrio hidrostático - Hydrostatic equilibrium

Na mecânica dos fluidos , o equilíbrio hidrostático ( equilíbrio hidrostático , hidrostase ) é a condição de um fluido ou sólido plástico em repouso, que ocorre quando forças externas, como a gravidade , são equilibradas por uma força gradiente de pressão . Na física planetária da Terra, a força do gradiente de pressão impede a gravidade de colapsar a atmosfera planetária em uma casca fina e densa, enquanto a gravidade impede que a força do gradiente de pressão difunda a atmosfera no espaço sideral .

O equilíbrio hidrostático é o critério de distinção entre planetas anões e pequenos corpos do sistema solar , e características em astrofísica e geologia planetária . A referida qualificação de equilíbrio indica que a forma do objeto é simetricamente elipsóide , onde quaisquer características irregulares da superfície são conseqüentes a uma crosta sólida relativamente fina . Além do Sol, há cerca de uma dúzia de objetos de equilíbrio com existência confirmada no Sistema Solar .

Consideração matemática

Se o volume de fluido destacado não estiver acelerando, as forças para cima devem ser iguais às forças para baixo.

Para um fluido hidrostático na Terra:

${\ displaystyle dP = - \ rho (P) \ cdot g (h) \ cdot dh}$

Derivação da soma de força

As leis do movimento de Newton afirmam que um volume de um fluido que não está em movimento ou que está em um estado de velocidade constante deve ter força líquida zero sobre ele. Isso significa que a soma das forças em uma determinada direção deve ser oposta por uma soma igual de forças na direção oposta. Esse equilíbrio de força é chamado de equilíbrio hidrostático.

O fluido pode ser dividido em um grande número de elementos de volume cubóide ; considerando um único elemento, a ação do fluido pode ser derivada.

Existem 3 forças: a força para baixo no topo do cubóide da pressão, P, do fluido acima dele é, a partir da definição de pressão ,

${\ displaystyle F_ {top} = - P_ {top} \ cdot A}$

Da mesma forma, a força no elemento de volume da pressão do fluido abaixo empurrando para cima é

${\ displaystyle F_ {inferior} = P_ {inferior} \ cdot A}$

Finalmente, o peso do elemento de volume causa uma força para baixo. Se a densidade for ρ, o volume é V e g a gravidade padrão , então:

${\ displaystyle F_ {weight} = - \ rho \ cdot g \ cdot V}$

O volume desse cubo é igual à área da parte superior ou inferior, vezes a altura - a fórmula para encontrar o volume de um cubo.

${\ displaystyle F_ {weight} = - \ rho \ cdot g \ cdot A \ cdot h}$

Ao equilibrar essas forças, a força total no fluido é

${\ displaystyle \ sum F = F_ {parte inferior} + F_ {parte superior} + F_ {peso} = P_ {parte inferior} \ cdot A-P_ {parte superior} \ cdot A- \ rho \ cdot g \ cdot A \ cdot h}$

Essa soma é igual a zero se a velocidade do fluido for constante. Dividindo por A,

${\ displaystyle 0 = P_ {inferior} -P_ {superior} - \ rho \ cdot g \ cdot h}$

Ou,

${\ displaystyle P_ {top} -P_ {bottom} = - \ rho \ cdot g \ cdot h}$

P _superior - P _inferior é uma mudança na pressão e h é a altura do elemento de volume - uma mudança na distância acima do solo. Ao dizer que essas mudanças são infinitesimalmente pequenas, a equação pode ser escrita na forma diferencial .

${\ displaystyle dP = - \ rho \ cdot g \ cdot dh}$

A densidade muda com a pressão e a gravidade muda com a altura, então a equação seria:

${\ displaystyle dP = - \ rho (P) \ cdot g (h) \ cdot dh}$

Derivação das equações de Navier-Stokes

Observe, finalmente, que esta última equação pode ser derivada resolvendo as equações tridimensionais de Navier-Stokes para a situação de equilíbrio onde

${\ displaystyle u = v = {\ frac {\ parcial p} {\ parcial x}} = {\ frac {\ parcial p} {\ parcial y}} = 0}$

Então, a única equação não trivial é a -equação, que agora lê ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + \ rho g = 0}$

Assim, o equilíbrio hidrostático pode ser considerado uma solução de equilíbrio particularmente simples das equações de Navier-Stokes.

Derivação da relatividade geral

Conectando o tensor de momentum de energia para um fluido perfeito

${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = (\ rho c ^ {- 2} + P) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + Pg ^ {\ mu \ nu}}$

nas equações de campo de Einstein

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} (T _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} T)}$

e usando a condição de conservação

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0}$

pode-se derivar a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para a estrutura de uma estrela relativística estática e esfericamente simétrica em coordenadas isotrópicas:

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dr}} = - {\ frac {GM (r) \ rho (r)} {r ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {P (r) } {\ rho (r) c ^ {2}}} \ right) \ left (1 + {\ frac {4 \ pi r ^ {3} P (r)} {M (r) c ^ {2}} } \ right) \ left (1 - {\ frac {2GM (r)} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1}}$

Na prática, Ρ e ρ estão relacionados por uma equação de estado da forma f ( Ρ , ρ ) = 0, com f específico para a constituição da estrela. M ( r ) é uma foliação de esferas ponderadas pela densidade de massa ρ ( r ), com a maior esfera tendo raio r :

${\ displaystyle M (r) = 4 \ pi \ int _ {0} ^ {r} dr'r '^ {2} \ rho (r').}$

Por procedimento padrão ao tomar o limite não relativístico, deixamos c → ∞, de modo que o fator

${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {P (r)} {\ rho (r) c ^ {2}}} \ right) \ left (1 + {\ frac {4 \ pi r ^ {3} P (r)} {M (r) c ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {2GM (r)} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} \ rightarrow 1}$

Portanto, no limite não relativístico, a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se reduz ao equilíbrio hidrostático de Newton:

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dr}} = - {\ frac {GM (r) \ rho (r)} {r ^ {2}}} = - g (r) \, \ rho (r) \ longrightarrow dP = - \ rho (h) \, g (h) \, dh}$

(fizemos a mudança de notação trivial h = r e usamos f ( Ρ , ρ ) = 0 para expressar ρ em termos de P ). Uma equação semelhante pode ser calculada para estrelas rotativas axialmente simétricas, que em sua forma independente de bitola lêem:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial _ {i} P} {P + \ rho}} - \ partial _ {i} \ ln u ^ {t} + u_ {t} u ^ {\ phi} \ partial _ { i} {\ frac {u _ {\ phi}} {u_ {t}}} = 0}$

Ao contrário da equação de equilíbrio TOV, essas são duas equações (por exemplo, se como de costume ao tratar estrelas, escolhe-se coordenadas esféricas como coordenadas de base , o índice i corre para as coordenadas r e ). ${\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi)}$${\ displaystyle \ theta}$

Formulários

Fluidos

O equilíbrio hidrostático pertence à hidrostática e aos princípios de equilíbrio dos fluidos . Uma balança hidrostática é uma balança particular para pesar substâncias na água. O equilíbrio hidrostático permite a descoberta de suas gravidades específicas . Este equilíbrio é estritamente aplicável quando um fluido ideal está em fluxo laminar horizontal estável e quando qualquer fluido está em repouso ou em movimento vertical em velocidade constante. Também pode ser uma aproximação satisfatória quando as velocidades de fluxo são baixas o suficiente para que a aceleração seja desprezível.

Astrofísica

Em qualquer camada de uma estrela , há um equilíbrio hidrostático entre a pressão térmica externa vinda de baixo e o peso do material acima pressionando para dentro. O campo gravitacional isotrópico comprime a estrela na forma mais compacta possível. Uma estrela em rotação em equilíbrio hidrostático é um esferóide achatado até uma certa velocidade angular (crítica). Um exemplo extremo desse fenômeno é a estrela Vega , que tem um período de rotação de 12,5 horas. Consequentemente, Vega é cerca de 20% maior no equador do que nos pólos. Uma estrela com uma velocidade angular acima da velocidade angular crítica torna-se um elipsóide Jacobi (escaleno) e, em uma rotação ainda mais rápida, não é mais elipsoidal, mas piriforme ou oviforme , com outras formas além disso, embora as formas além do escaleno não sejam estáveis.

Se a estrela tem um objeto companheiro massivo próximo, então as forças de maré também entram em ação, distorcendo a estrela em uma forma escalena quando a rotação sozinha a tornaria um esferóide. Um exemplo disso é Beta Lyrae .

O equilíbrio hidrostático também é importante para o meio intracluster , onde restringe a quantidade de fluido que pode estar presente no núcleo de um aglomerado de galáxias .

Também podemos usar o princípio do equilíbrio hidrostático para estimar a velocidade de dispersão da matéria escura em aglomerados de galáxias. Apenas a matéria bariônica (ou melhor, as colisões dela) emite radiação de raios-X . A luminosidade absoluta de raios-X por unidade de volume assume a forma onde e são a temperatura e densidade da matéria bariônica, e é alguma função da temperatura e constantes fundamentais. A densidade bariônica satisfaz a equação acima : ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = \ Lambda (T_ {B}) \ rho _ {B} ^ {2}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle \ rho _ {B}}$${\ displaystyle \ Lambda (T)}$${\ displaystyle dP = - \ rho gdr}$

${\ displaystyle p_ {B} (r + dr) -p_ {B} (r) = - dr {\ frac {\ rho _ {B} (r) G} {r ^ {2}}} \ int _ { 0} ^ {r} 4 \ pi r ^ {2} \, \ rho _ {M} (r) \, dr.}$

A integral é uma medida da massa total do cluster, sendo a distância adequada ao centro do cluster. Usando a lei dos gases ideais ( é a constante de Boltzmann e é uma massa característica das partículas de gás bariônico) e reorganizando, chegamos a ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle p_ {B} = kT_ {B} \ rho _ {B} / m_ {B}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m_ {B}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {kT_ {B} (r) \ rho _ {B} (r)} {m_ {B}}} \ right) = - { \ frac {\ rho _ {B} (r) G} {r ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {r} 4 \ pi r ^ {2} \, \ rho _ {M} (r ) \, dr.}$

Multiplicando e diferenciando em relação aos rendimentos ${\ displaystyle r ^ {2} / \ rho _ {B} (r)}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dr}} \ left [{\ frac {r ^ {2}} {\ rho _ {B} (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {kT_ {B} (r) \ rho _ {B} (r)} {m_ {B}}} \ direita) \ direita] = - 4 \ pi Gr ^ {2} \ rho _ {M } (r).}$

Se fizermos a suposição de que as partículas de matéria escura fria têm uma distribuição de velocidade isotrópica, então a mesma derivação se aplica a essas partículas, e sua densidade satisfaz a equação diferencial não linear ${\ displaystyle \ rho _ {D} = \ rho _ {M} - \ rho _ {B}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dr}} \ left [{\ frac {r ^ {2}} {\ rho _ {D} (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {kT_ {D} (r) \ rho _ {D} (r)} {m_ {D}}} \ direita) \ direita] = - 4 \ pi Gr ^ {2} \ rho _ {M } (r).}$

Com dados de raio-X e distância perfeitos, poderíamos calcular a densidade bárion em cada ponto do aglomerado e, portanto, a densidade de matéria escura. Poderíamos então calcular a velocidade de dispersão da matéria escura, que é dada por ${\ displaystyle \ sigma _ {D} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {D} ^ {2} = {\ frac {kT_ {D}} {m_ {D}}}.}$

A taxa de densidade central é dependente do desvio para o vermelho do cluster e é dada por ${\ displaystyle \ rho _ {B} (0) / \ rho _ {M} (0)}$ ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ rho _ {B} (0) / \ rho _ {M} (0) \ propto (1 + z) ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {s}} \ right) ^ {3/2}}$

onde é a largura angular do cluster e a distância adequada para o cluster. Os valores da proporção variam de 0,11 a 0,14 para várias pesquisas. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle s}$

Geologia planetária

O conceito de equilíbrio hidrostático também se tornou importante para determinar se um objeto astronômico é um planeta , planeta anão ou um pequeno corpo do Sistema Solar . De acordo com a definição de planeta adotada pela União Astronômica Internacional em 2006, uma característica definidora de planetas e planetas anões é que eles são objetos que têm gravidade suficiente para superar sua própria rigidez e assumir o equilíbrio hidrostático. Tal corpo muitas vezes terá o interior diferenciado e a geologia de um mundo (um planemo ), embora corpos quase hidrostáticos ou anteriormente hidrostáticos, como o proto-planeta 4 Vesta também possam ser diferenciados e alguns corpos hidrostáticos (notavelmente Calisto ) não tenham completamente diferenciados desde a sua formação. Freqüentemente, a forma de equilíbrio é um esferóide achatado , como é o caso da Terra. No entanto, nos casos de luas em órbita síncrona, forças de maré quase unidirecionais criam um elipsóide escaleno . Além disso, o suposto planeta anão Haumea é escaleno devido à sua rápida rotação, embora possa não estar atualmente em equilíbrio.

Anteriormente, acreditava-se que os objetos gelados precisavam de menos massa para atingir o equilíbrio hidrostático do que os objetos rochosos. O menor objeto que parece ter uma forma de equilíbrio é a lua gelada Mimas a 396 km, enquanto o maior objeto conhecido por ter uma forma obviamente não equilibrada é a lua gelada Proteu a 420 km. No entanto, Mimas não está realmente em equilíbrio hidrostático para sua rotação atual. O menor corpo confirmado em equilíbrio hidrostático é o planeta anão Ceres , que é gelado, a 945 km, enquanto o maior corpo conhecido por ter um desvio perceptível do equilíbrio hidrostático é Iápeto sendo feito de gelo permeável e quase nenhuma rocha. Com 1.469 km, esta lua não é esférica nem elipsóide. Em vez disso, tem uma forma estranha de noz devido à sua crista equatorial única. Alguns corpos gelados podem estar em equilíbrio, pelo menos em parte devido a um oceano subsuperficial, o que não é a definição de equilíbrio usada pelo IAU (gravidade superando as forças internas do corpo rígido). Corpos ainda maiores mostram desvios perceptíveis do equilíbrio hidrostático, embora sejam elipsoidais: exemplos são a Lua da Terra a 3.474 km (principalmente rocha) e o planeta Mercúrio a 4.880 km (principalmente metal).

Os corpos sólidos têm superfícies irregulares, mas as irregularidades locais podem ser consistentes com o equilíbrio global. Por exemplo, a base maciça da montanha mais alta da Terra, Mauna Kea , deformou e deprimiu o nível da crosta circundante, de modo que a distribuição geral da massa se aproxima do equilíbrio.

Modelagem atmosférica

Na atmosfera, a pressão do ar diminui com o aumento da altitude. Essa diferença de pressão causa uma força ascendente chamada força gradiente de pressão . A força da gravidade equilibra isso, mantendo a atmosfera ligada à Terra e mantendo as diferenças de pressão com a altitude.

Veja também

• Lista de objetos do Sistema Solar em equilíbrio hidrostático
• Statics
• Experiência de dois balões

Notas

Referências

• White, Frank M. (2008). "Distribuição de pressão em um fluido". Mecânica dos fluidos . Nova York: McGraw-Hill. pp. 63–107. ISBN 978-0-07-128645-9.

links externos

• Strobel, Nick. (Maio de 2001). Notas de astronomia de Nick Strobel.
• Demonstração no YouTube pelo Prof. Richard Pogge, The Ohio State University, Departamento de Astronomia