Variedade 3 hiperbólica - Hyperbolic 3-manifold

Em matemática , mais precisamente em topologia e geometria diferencial , uma variedade 3 hiperbólica é uma variedade de dimensão 3 equipada com uma métrica hiperbólica , que é uma métrica Riemanniana que tem todas as suas curvaturas seccionais iguais a -1. Em geral, é necessário que essa métrica também seja completa : neste caso, a variedade pode ser percebida como um quociente do espaço hiperbólico tridimensional por um grupo discreto de isometrias (um grupo kleiniano ).

Variedades hiperbólicas tridimensionais de volume finito têm uma importância particular na topologia tridimensional como segue da conjectura de geometrização de Thurston provada por Perelman. O estudo de grupos kleinianos também é um tópico importante na teoria geométrica dos grupos .

Importância na topologia

A geometria hiperbólica é a mais rica e menos compreendida das oito geometrias na dimensão 3 (por exemplo, para todas as outras geometrias, não é difícil dar uma enumeração explícita das variedades de volume finito com esta geometria, embora esta esteja longe de ser a caso para variedades hiperbólicas ). Após a prova da conjectura da geometrização, compreender as propriedades topológicas das variedades hiperbólicas de três dimensões é, portanto, o principal objetivo da topologia tridimensional. Descobertas recentes de Kahn-Markovic, Wise, Agol e outros responderam à maioria das perguntas abertas de longa data sobre o tópico, mas ainda existem muitas outras menos importantes que não foram resolvidas.

Na dimensão 2, quase todas as superfícies fechadas são hiperbólicas (todas menos a esfera, o plano projetivo, o toro e a garrafa de Klein). Na dimensão 3, isso está longe de ser verdade: há muitas maneiras de construir infinitas variedades fechadas não hiperbólicas. Por outro lado, a afirmação heurística de que "uma variedade 3 genérica tende a ser hiperbólica" é verificada em muitos contextos. Por exemplo, qualquer nó que não seja um nó satélite ou um nó toróide é hiperbólico. Além disso, quase todas as cirurgias de Dehn em um nó hiperbólico produzem uma variedade hiperbólica. Um resultado semelhante é verdadeiro para os links (o teorema hiperbólico da cirurgia de Dehn de Thurston ) e, uma vez que todas as variedades 3 são obtidas como cirurgias em um link na esfera 3, isso dá um sentido mais preciso à afirmação informal. Outro sentido em que "quase todas" variedades são hiperbólicas na dimensão 3 é o dos modelos aleatórios. Por exemplo, as divisões aleatórias de Heegaard do gênero pelo menos 2 são quase certamente hiperbólicas (quando a complexidade do mapa de colagem vai para o infinito).

A relevância da geometria hiperbólica de uma variedade 3 para sua topologia também vem do teorema de rigidez de Mostow , que afirma que a estrutura hiperbólica de uma variedade 3 hiperbólica de volume finito é determinada exclusivamente por seu tipo de homotopia. Em particular, invariantes geométricos, como o volume, podem ser usados ​​para definir novos invariantes topológicos.

Estrutura

Manifolds de volume finito

Nesse caso, uma ferramenta importante para entender a geometria de uma variedade é a decomposição espesso-fino . Ele afirma que uma variedade 3 hiperbólica de volume finito tem uma decomposição em duas partes:

• a parte espessa , onde o raio de injetividade é maior que uma constante absoluta;
• e seu complemento, a parte delgada , que é uma união disjunta de toros e cúspides sólidos .

Variedades geometricamente finitas

A decomposição espesso-fina é válida para todas as variedades hiperbólicas de 3, embora, em geral, a parte fina não seja conforme descrito acima. Uma variedade 3 hiperbólica é considerada geometricamente finita se contiver uma subvariedade convexa (seu núcleo convexo ) sobre a qual se retrai e cuja parte espessa é compacta (observe que todas as variedades têm um núcleo convexo, mas em geral não é compacta ) O caso mais simples é quando a variedade não tem "cúspides" (ou seja, o grupo fundamental não contém elementos parabólicos), caso em que a variedade é geometricamente finita se e somente se for o quociente de um subconjunto fechado e convexo de espaço hiperbólico por um grupo agindo de forma co-compacta neste subconjunto.

Manifolds com grupo fundamental finitamente gerado

Esta é a classe maior de variedades 3 hiperbólicas para a qual existe uma teoria de estrutura satisfatória. Baseia-se em dois teoremas:

• O teorema da mansidão que afirma que tal variedade é homeomórfica ao interior de uma variedade compacta com limite;
• O teorema da laminação final, que fornece uma classificação da estrutura hiperbólica no interior de uma variedade compacta por seus "invariantes finais".

Construção de variedades hiperbólicas 3 de volume finito

Poliedros hiperbólicos, grupos de reflexão

A construção mais antiga de variedades hiperbólicas, que remonta pelo menos a Poincaré, é a seguinte: comece com uma coleção finita de politopos hiperbólicos tridimensionais finitos . Suponha que haja um pareamento lateral entre as faces bidimensionais desses poliedros (ou seja, cada face é pareada com outra, distinta, uma de modo que sejam isométricas entre si como polígonos hiperbólicos bidimensionais) e considere o espaço obtido colando as faces emparelhadas (formalmente, isso é obtido como um espaço quociente ). Ele carrega uma métrica hiperbólica que é bem definida fora da imagem dos 1-esqueletos do poliedro. Esta métrica se estende a uma métrica hiperbólica em todo o espaço se as duas seguintes condições forem satisfeitas:

• para cada vértice (não ideal) na colagem, a soma dos ângulos sólidos do poliedro ao qual pertence é igual ;${\ displaystyle 4 \ pi}$
• para cada aresta da colagem, a soma dos ângulos diédricos do poliedro a que pertence é igual .${\ displaystyle 2 \ pi}$

Um exemplo notável dessa construção é o espaço Seifert-Weber, obtido pela colagem de faces opostas de um dodecaedro regular .

Uma variação dessa construção é o uso de politopos hiperbólicos de Coxeter (politopos cujos ângulos diedros são da mesma forma ). Esse politopo dá origem a um grupo de reflexão Kleiniano , que é um subgrupo discreto de isometrias do espaço hiperbólico. Tomando um subgrupo de índice finito livre de torção, obtém-se uma variedade hiperbólica (que pode ser recuperada pela construção anterior, colando cópias do politopo de Coxeter original de uma maneira prescrita por um gráfico coset de Schreier apropriado ). ${\ displaystyle \ pi / m, m \ in \ mathbb {N}}$

Colando tetraedros ideais e cirurgia de Dehn hiperbólica

Na construção anterior, os manifolds obtidos são sempre compactos. Para obter variedades com cúspides, deve-se usar politopos que possuem vértices ideais (isto é, vértices que se encontram na esfera no infinito). Neste cenário, a construção de colagem nem sempre produz um coletor completo. A integridade é detectada por um sistema de equações envolvendo os ângulos diédricos em torno das bordas adjacentes a um vértice ideal, que são comumente chamados de equações de colagem de Thurston. Caso a colagem esteja completa, os vértices ideais tornam-se cúspides na variedade. Um exemplo de variedade hiperbólica não compacta de volume finito obtida dessa maneira é a variedade de Gieseking, que é construída colando as faces de um tetraedro hiperbólico ideal regular .

Também é possível construir uma variedade hiperbólica completa de volume finito quando a colagem não está completa. Neste caso, a conclusão do espaço métrico obtido é uma variedade com um limite de toro e, sob algumas condições (não genéricas), é possível colar um toro sólido hiperbólico em cada componente de limite de modo que o espaço resultante tenha uma métrica hiperbólica completa. Topologicamente, o coletor é obtido por cirurgia de Dehn hiperbólica no coletor hiperbólico completo que resultaria de uma colagem completa.

Não se sabe se todas as variedades hiperbólicas 3 de volume finito podem ser construídas dessa maneira. Na prática, porém, é assim que o software computacional (como SnapPea ou Regina ) armazena variedades hiperbólicas.

Construções aritméticas

A construção de grupos aritméticos kleinianos a partir de álgebras de quaternion dá origem a variedades hiperbólicas particularmente interessantes. Por outro lado, eles são, em certo sentido, "raros" entre as variedades 3 hiperbólicas (por exemplo, a cirurgia de Dehn hiperbólica em uma variedade fixa resulta em uma variedade não aritmética para quase todos os parâmetros).

O teorema da hiperbolização

Em contraste com as construções explícitas acima, é possível deduzir a existência de uma estrutura hiperbólica completa em uma variedade 3 puramente a partir de informações topológicas. Isso é uma consequência da conjectura de geometrização e pode ser afirmado da seguinte forma (uma afirmação às vezes referida como o "teorema da hiperbolização", que foi comprovada por Thurston no caso especial das variedades de Haken):

Se uma variedade 3 compacta com limite tórico é irredutível e algebricamente atoroidal (o que significa que todo toro imerso injetivamente é homotópico a um componente de limite), então seu interior carrega uma métrica hiperbólica completa de volume finito.${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Um caso particular é o de um feixe de superfície sobre o círculo : tais variedades são sempre irredutíveis e carregam uma métrica hiperbólica completa se e somente se a monodromia for um mapa pseudo-Anosov .

Outra consequência da conjectura da geometrização é que qualquer variedade 3 fechada que admite uma métrica Riemanniana com curvaturas seccionais negativas admite de fato uma métrica Riemanniana com curvatura seccional constante -1. Isso não é verdade em dimensões superiores.

Propriedades virtuais

As propriedades topológicas de variedades 3 são suficientemente complexas que em muitos casos é interessante saber que uma propriedade é válida virtualmente para uma classe de variedades, ou seja, para qualquer variedade na classe existe um espaço de cobertura finito da variedade com a propriedade . As propriedades virtuais das variedades hiperbólicas 3 são objetos de uma série de conjecturas de Waldhausen e Thurston, que foram recentemente comprovadas por Ian Agol após o trabalho de Jeremy Kahn, Vlad Markovic, Frédéric Haglund, Dani Wise e outros. A primeira parte das conjecturas estava logicamente relacionada à conjectura virtualmente de Haken . Em ordem de força, eles são:

1. (a conjectura do subgrupo de superfície ) O grupo fundamental de qualquer variedade hiperbólica de volume finito contém um grupo de superfície (não livre) (o grupo fundamental de uma superfície fechada ).
2. (a conjectura de Virtually Haken ) Qualquer variedade 3 hiperbólica de volume finito é virtualmente Haken; ou seja, ele contém uma superfície fechada embutida de modo que a incorporação induz um mapa injetivo entre grupos fundamentais.
3. Qualquer variedade 3 hiperbólica de volume finito tem uma cobertura finita com um primeiro número de Betti diferente de zero .
4. Qualquer variedade 3 hiperbólica de volume finito tem uma cobertura finita cujo grupo fundamental se sobrepõe a um grupo livre não abeliano (tais grupos são geralmente chamados de grandes ).

Outra conjectura (também comprovada por Agol) que implica 1-3 acima, mas a priori não tem relação com 4 é a seguinte:

5. (a conjectura virtualmente fibrosa ) Qualquer variedade 3 hiperbólica de volume finito tem uma cobertura finita que é um feixe de superfície sobre o círculo.

O espaço de todas as variedades hiperbólicas de 3

Convergência geométrica

Uma sequência de grupos kleinianos é dita geometricamente convergente se convergir na topologia Chabauty . Para as variedades obtidas como quocientes, isso equivale a elas serem convergentes na métrica pontiaguda de Gromov-Hausdorff .

Teoria de Jørgensen-Thurston

O volume hiperbólico pode ser usado para ordenar o espaço de todas as variedades hiperbólicas. O conjunto de variedades correspondente a um determinado volume é no máximo finito, e o conjunto de volumes é bem ordenado e do tipo de pedido . Mais precisamente, o teorema da cirurgia de Dehn hiperbólica de Thurston implica que uma variedade com cúspides é um limite de uma sequência de variedades com cúspides para qualquer , de modo que os pontos isolados são volumes de variedades compactas, as variedades com exatamente uma cúspide são limites de variedades compactas, e assim por diante. Juntamente com os resultados de Jørgensen, o teorema também prova que qualquer sequência convergente deve ser obtida por cirurgias de Dehn na variedade limite. ${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle 0 \ leq l <m}$

Grupos quase fuchsianos

Seqüências de grupos de superfície quase-fuchsianos de determinado gênero podem convergir para um grupo de superfície duplamente degenerado, como no teorema do limite duplo .

Notas

Referências

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