Trajetória hiperbólica - Hyperbolic trajectory

O caminho azul nesta imagem é um exemplo de uma trajetória hiperbólica

Uma trajetória hiperbólica é representada no quadrante inferior direito deste diagrama, onde o poço de potencial gravitacional da massa central mostra a energia potencial e a energia cinética da trajetória hiperbólica é mostrada em vermelho. A altura da energia cinética diminui à medida que a velocidade diminui e a distância aumenta de acordo com as leis de Kepler. A parte da energia cinética que permanece acima de zero a energia total é aquela associada ao excesso de velocidade hiperbólica.

Na astrodinâmica ou na mecânica celeste , uma trajetória hiperbólica é a trajetória de qualquer objeto ao redor de um corpo central com velocidade mais do que suficiente para escapar da atração gravitacional do objeto central. O nome deriva do fato de que, de acordo com a teoria newtoniana, essa órbita tem a forma de uma hipérbole . Em termos mais técnicos, isso pode ser expresso pela condição de que a excentricidade orbital seja maior do que um.

Sob suposições simplistas, um corpo viajando ao longo dessa trajetória irá deslizar em direção ao infinito, estabelecendo-se para um excesso de velocidade final em relação ao corpo central. Da mesma forma que as trajetórias parabólicas , todas as trajetórias hiperbólicas também são trajetórias de escape . A energia específica de uma órbita de trajetória hiperbólica é positiva.

Os voos planetários, usados para estilingues gravitacionais , podem ser descritos dentro da esfera de influência do planeta usando trajetórias hiperbólicas.

Parâmetros que descrevem uma trajetória hiperbólica

Como uma órbita elíptica, uma trajetória hiperbólica para um determinado sistema pode ser definida (ignorando a orientação) por seu semieixo maior e a excentricidade. No entanto, com uma órbita hiperbólica, outros parâmetros podem ser mais úteis na compreensão do movimento de um corpo. A tabela a seguir lista os principais parâmetros que descrevem o caminho do corpo seguindo uma trajetória hiperbólica em torno de outro sob suposições padrão e a fórmula que os conecta.

Equações de trajetória hiperbólica
Elemento	Símbolo	Fórmula	usando (ou ), e ${\ displaystyle v _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$
Parâmetro gravitacional padrão	${\ displaystyle \ mu \,}$	${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {(2 / r-1 / a)}}}$	${\ displaystyle bv _ {\ infty} ^ {2} \ cot \ theta _ {\ infty}}$
Excentricidade (> 1)	${\ displaystyle e}$	${\ displaystyle {\ frac {\ ell} {r_ {p}}} - 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + b ^ {2} / a ^ {2}}}}$
Semi-eixo maior (<0)	${\ displaystyle a \, \!}$	${\ displaystyle 1 / (2 / rv ^ {2} / \ mu)}$	${\ displaystyle - \ mu / v _ {\ infty} ^ {2}}$
Velocidade hiperbólica de excesso	${\ displaystyle v _ {\ infty}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {- \ mu / a}}}$
(Externo) Ângulo entre assíntotas	${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty}}$	${\ displaystyle 2 \ cos ^ {- 1} (- 1 / e)}$	${\ displaystyle \ pi +2 \ tan ^ {- 1} (b / a)}$
Ângulo entre as assíntotas e o eixo conjugado do caminho hiperbólico de abordagem	${\ displaystyle 2 \ nu}$	${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty} - \ pi}$	${\ displaystyle 2 \ sin ^ {- 1} {\ bigg (} {\ frac {1} {(1 + r_ {p} v _ {\ infty} ^ {2} / \ mu)}} {\ bigg)} }$
Parâmetro de impacto ( semi-eixo menor )	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle -a {\ sqrt {e ^ {2} -1}}}$
Reto semi-latus	${\ displaystyle \ ell}$	${\ displaystyle a (e ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle -b ^ {2} / a = h ^ {2} / \ mu}$
Distância periapsia	${\ displaystyle r_ {p}}$	${\ displaystyle -a (e-1)}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a}$
Energia orbital específica	${\ displaystyle \ varepsilon}$	${\ displaystyle - \ mu / 2a}$	${\ displaystyle v _ {\ infty} ^ {2} / 2}$
Momento angular específico	${\ displaystyle h}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ mu \ ell}}}$	${\ displaystyle bv _ {\ infty}}$
Área varrida por vez	${\ displaystyle {\ frac {\ Delta A} {\ Delta t}}}$	${\ displaystyle {\ frac {h} {2}}}$

Semi-eixo maior, velocidade de excesso de energia e hiperbólica

O semieixo maior ( ) não é imediatamente visível com uma trajetória hiperbólica, mas pode ser construído porque é a distância do periapsia ao ponto onde as duas assíntotas se cruzam. Normalmente, por convenção, é negativo, para manter várias equações consistentes com órbitas elípticas. ${\ displaystyle a \, \!}$

O semieixo maior está diretamente ligado à energia orbital específica ( ) ou energia característica da órbita, e à velocidade que o corpo atinge à medida que a distância tende ao infinito, o excesso de velocidade hiperbólica ( ). ${\ displaystyle \ epsilon \,}$ ${\ displaystyle C_ {3}}$ ${\ displaystyle v _ {\ infty} \, \!}$

{\ displaystyle v _ {\ infty} ^ {2} = 2 \ epsilon = C_ {3} = - \ mu / a}

ou

{\ displaystyle a = - {\ mu / {v _ {\ infty} ^ {2}}}}

onde: é o parâmetro gravitacional padrão e é a energia característica, comumente usada no planejamento de missões interplanetárias ${\ displaystyle \ mu = Gm \, \!}$ ${\ displaystyle C_ {3}}$

Observe que a energia total é positiva no caso de uma trajetória hiperbólica (ao passo que é negativa para uma órbita elíptica).

Excentricidade e ângulo entre a abordagem e a partida

Com uma trajetória hiperbólica, a excentricidade orbital ( ) é maior que 1. A excentricidade está diretamente relacionada ao ângulo entre as assíntotas. Com excentricidade um pouco acima de 1, a hipérbole tem uma forma de "v" acentuada. Nas assíntotas estão em ângulos retos. Com as assíntotas distantes mais de 120 °, a distância do periapsia é maior do que o semieixo maior. À medida que a excentricidade aumenta ainda mais, o movimento se aproxima de uma linha reta. ${\ displaystyle e \,}$ ${\ displaystyle e = {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle e> 2}$

O ângulo entre a direção do periapsis e uma assíntota do corpo central é a verdadeira anomalia, pois a distância tende para o infinito ( ), assim como o ângulo externo entre as direções de aproximação e de partida (entre as assíntotas). Então ${\ displaystyle \ theta _ {\ infty} \,}$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty} \,}$

{\ displaystyle \ theta {_ {\ infty}} = \ cos ^ {- 1} (- 1 / e) \,}

ou

{\ displaystyle e = -1 / \ cos \ theta {_ {\ infty}} \,}

Parâmetro de impacto e a distância da abordagem mais próxima

Trajetórias hiperbólicas seguidas por objetos que se aproximam do objeto central (pequeno ponto) com a mesma velocidade de excesso hiperbólica (e semieixo maior (= 1)) e da mesma direção, mas com diferentes parâmetros de impacto e excentricidades. A linha amarela realmente passa ao redor do ponto central, aproximando-se dele.

O parâmetro de impacto é a distância pela qual um corpo, se continuasse em um caminho não perturbado, perderia o corpo central em sua abordagem mais próxima . Com corpos experimentando forças gravitacionais e seguindo trajetórias hiperbólicas, é igual ao semi-eixo menor da hipérbole.

Na situação de uma espaçonave ou cometa se aproximando de um planeta, o parâmetro de impacto e o excesso de velocidade serão conhecidos com precisão. Se o corpo central for conhecido, a trajetória pode agora ser encontrada, incluindo a proximidade do corpo que se aproxima no periapsia. Se este for menor que o raio do planeta, um impacto deve ser esperado. A distância da abordagem mais próxima, ou distância periapsia, é dada por:

{\ displaystyle r_ {p} = - a (e-1) = \ mu / v {_ {\ infty}} ^ {2} ({\ sqrt {1+ (bv {_ {\ infty}} ^ {2 } / \ mu) ^ {2}}} - 1)}

Portanto, se um cometa se aproximando da Terra (raio efetivo ~ 6400 km) com uma velocidade de 12,5 km / s (a velocidade mínima aproximada de um corpo vindo do Sistema Solar externo ) é para evitar uma colisão com a Terra, o parâmetro de impacto precisará ter pelo menos 8600 km, ou 34% a mais do que o raio da Terra. Um corpo se aproximando de Júpiter (raio de 70000 km) do Sistema Solar exterior com uma velocidade de 5,5 km / s, precisará que o parâmetro de impacto seja de pelo menos 770.000 km ou 11 vezes o raio de Júpiter para evitar a colisão.

Se a massa do corpo central não for conhecida, seu parâmetro gravitacional padrão e, portanto, sua massa, podem ser determinados pela deflexão do corpo menor junto com o parâmetro de impacto e a velocidade de aproximação. Como normalmente todas essas variáveis podem ser determinadas com precisão, o sobrevôo de uma espaçonave fornecerá uma boa estimativa da massa corporal.

{\ displaystyle \ mu = bv _ {\ infty} ^ {2} \ tan \ delta / 2}

onde é o ângulo que o corpo menor é desviado de uma linha reta em seu curso.

{\ displaystyle \ delta = 2 \ theta _ {\ infty} - \ pi}

Equações de movimento

Posição

Em uma trajetória hiperbólica, a verdadeira anomalia está ligada à distância entre os corpos em órbita ( ) pela equação de órbita : ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle r \,}$

{\ displaystyle r = {\ frac {\ ell} {1 + e \ cdot \ cos \ theta}}}

A relação entre a anomalia verdadeira $θ$ e a anomalia excêntrica E (alternativamente, a anomalia hiperbólica H ) é:

{\ displaystyle \ cosh {E} = {{\ cos {\ theta} + e} \ over {1 + e \ cdot \ cos {\ theta}}}}

ou ou

{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {\ frac {E} {2}}}

{\ displaystyle \ tanh {\ frac {E} {2}} = {\ sqrt {\ frac {e-1} {e + 1}}} \ cdot \ tan {\ frac {\ theta} {2}}}

A anomalia excêntrica E está relacionada à anomalia média M pela equação de Kepler :

{\ displaystyle M = e \ sinh EE}

A anomalia média é proporcional ao tempo

{\ displaystyle M = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {- a ^ {3}}}}. (t- \ tau),}

onde μ é um parâmetro gravitacional e a é o semieixo maior da órbita.

Ângulo da trajetória de vôo

O ângulo da trajetória de vôo (φ) é o ângulo entre a direção da velocidade e a perpendicular à direção radial, portanto é zero no periapsia e tende a 90 graus no infinito.

{\ displaystyle \ tan (\ phi) = {\ frac {e \ cdot \ sin \ theta} {1 + e \ cdot \ cos \ theta}}}

Velocidade

Sob suposições padrão, a velocidade orbital ( ) de um corpo viajando ao longo de uma trajetória hiperbólica pode ser calculada a partir da equação vis-viva como: ${\ displaystyle v \,}$

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)}}}

Onde:

${\ displaystyle \ mu \,}$ é o parâmetro gravitacional padrão ,
${\ displaystyle r \,}$ é a distância radial do corpo orbital do corpo central ,
${\ displaystyle a \, \!}$ é o semi-eixo maior (negativo) .

Sob suposições padrão, em qualquer posição na órbita, a seguinte relação é válida para a velocidade orbital ( ), velocidade de escape local ( ) e velocidade de excesso hiperbólico ( ): ${\ displaystyle v \,}$ ${\ displaystyle {v_ {esc}} \,}$ ${\ displaystyle v _ {\ infty} \, \!}$

{\ displaystyle v ^ {2} = {v_ {esc}} ^ {2} + {v _ {\ infty}} ^ {2}}

Observe que isso significa que um delta- v extra relativamente pequeno acima do necessário para acelerar até a velocidade de escape resulta em uma velocidade relativamente grande no infinito. Por exemplo, em um lugar onde a velocidade de escape é 11,2 km / s, a adição de 0,4 km / s produz um excesso de velocidade hiperbólica de 3,02 km / s.

{\ displaystyle {\ sqrt {11,6 ^ {2} -11,2 ^ {2}}} = 3,02}

Este é um exemplo do efeito Oberth . O inverso também é verdadeiro - um corpo não precisa ser muito lento em comparação com seu excesso de velocidade hiperbólica (por exemplo, pelo arrasto atmosférico próximo ao periapsia) para que a velocidade caia abaixo da velocidade de escape e, portanto, para que o corpo seja capturado.

Trajetória hiperbólica radial

Uma trajetória hiperbólica radial é uma trajetória não periódica em linha reta onde a velocidade relativa dos dois objetos sempre excede a velocidade de escape . Existem dois casos: os corpos se afastam ou se aproximam. Esta é uma órbita hiperbólica com eixo semi-menor = 0 e excentricidade = 1. Embora a excentricidade seja 1, esta não é uma órbita parabólica.

Problema relativístico de dois corpos

No contexto do problema dos dois corpos na relatividade geral , as trajetórias de objetos com energia suficiente para escapar da atração gravitacional do outro não têm mais a forma de uma hipérbole. No entanto, o termo "trajetória hiperbólica" ainda é usado para descrever órbitas desse tipo.

Veja também

Referências

Vallado, David A. (2007). Fundamentos de Astrodinâmica e Aplicações, Terceira Edição . Hawthorne, CA: Hawthorne Press. ISBN 978-1-881883-14-2.

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