Hipercubo - Hypercube

Projeções em perspectiva

Cubo (3 cubos)	Tesseract (4 cubos)

Em geometria , um hipercubo é um análogo n- dimensional de um quadrado ( n = 2 ) e um cubo ( n = 3 ). É uma figura fechada , compacta e convexa cujo 1- esqueleto é constituído por grupos de segmentos de linhas paralelas opostas alinhadas em cada uma das dimensões do espaço , perpendiculares entre si e do mesmo comprimento. A diagonal mais longa de um hipercubo unitário em n dimensões é igual a . ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

Um n hypercube dimensional é mais comumente referido como um n -cube ou às vezes como um n cubo dimensional . O termo politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) também é usado, notadamente no trabalho de HSM Coxeter, que também rotula os hipercubos de politopos γ n .

O hipercubo é o caso especial de um hiper - retângulo (também chamado de n-ortotopo ).

Um hipercubo unitário é um hipercubo cujo lado tem o comprimento de uma unidade . Muitas vezes, o hipercúbica cujos cantos (ou vértices ) são os 2 ⁿ pontos em R ⁿ com cada coordenada igual a 0 ou 1 é chamado o hipercúbica unidade.

Construção

Um diagrama que mostra como criar um tesseract a partir de um ponto.

Uma animação mostrando como criar um tesseract a partir de um ponto.

Um hipercubo pode ser definido aumentando o número de dimensões de uma forma:

0 - Um ponto é um hipercubo de dimensão zero.

1 - Se alguém mover este ponto uma unidade de comprimento, ele varrerá um segmento de linha, que é um hipercubo de unidade de dimensão um.

2 - Se alguém move este segmento de linha seu comprimento em uma direção perpendicular a si mesmo; ele varre um quadrado bidimensional.

3 - Se movermos o quadrado uma unidade de comprimento na direção perpendicular ao plano em que ele se encontra, será gerado um cubo tridimensional.

4 - Se alguém mover o cubo de uma unidade de comprimento para a quarta dimensão, ele gera um hipercubo de unidade de 4 dimensões (um tesserato de unidade ).

Isso pode ser generalizado para qualquer número de dimensões. Este processo de varrer os volumes pode ser formalizado matematicamente como uma soma de Minkowski : o hipercubo d- dimensional é a soma de Minkowski de d segmentos de linha de comprimento unitário mutuamente perpendiculares e é, portanto, um exemplo de um zonotopo .

O 1- esqueleto de um hipercubo é um gráfico de hipercubo .

Coordenadas do vértice

Um hipercubo unitário de dimensão é o invólucro convexo de todos os pontos cujas coordenadas cartesianas são iguais a ou . Esse hipercubo também é o produto cartesiano de cópias do intervalo unitário . Outra unidade hipercubo, centrada na origem do espaço ambiente, pode ser obtida desta por uma translação . É o casco convexo dos pontos cujos vetores de coordenadas cartesianas são ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle [0,1] ^ {n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle [0,1]}$

${\ displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ cdots, \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \! \ !.}$

Aqui, o símbolo significa que cada coordenada é igual a ou a . Este hipercubo unitário também é o produto cartesiano . Qualquer hipercubo unitário tem um comprimento de borda de e um volume dimensional de . ${\ displaystyle \ pm}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle -1/2}$${\ displaystyle [-1 / 2,1 / 2] ^ {n}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1}$

O hipercubo -dimensional obtido como o casco convexo dos pontos com coordenadas ou, de forma equivalente ao produto cartesiano, também é frequentemente considerado devido à forma mais simples de suas coordenadas de vértice. Seu comprimento de borda é , e seu volume dimensional é . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ cdots, \ pm 1)}$${\ displaystyle [-1,1] ^ {n}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

Rostos

Todo hipercubo admite, como suas faces, hipercubos de dimensão inferior contidos em seu limite. Um hipercubo de dimensão admite facetas, ou faces de dimensão : um segmento de linha ( -dimensional) possui pontos finais; um quadrado ( -dimensional) tem lados ou arestas; um cubo dimensional tem faces quadradas; um tesserato ( -dimensional) tem cubo tridimensional como suas facetas. O número de vértices de um hipercubo de dimensão é (um cubo normal com dimensão tem vértices, por exemplo). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$

O número de hipercubos -dimensionais (apenas referidos como -cubos daqui em diante) contidos na fronteira de um -cubo é ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle E_ {m, n} = 2 ^ {nm} {n \ escolha m}}$, onde e denota o fatorial de .${\ displaystyle {n \ escolha m} = {\ frac {n!} {m! \, (nm)!}}}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

Por exemplo, o limite de um -cubo ( ) contém cubos ( -cubos), quadrados ( -cubos), segmentos de linha ( -cubos) e vértices ( -cubos). Essa identidade pode ser comprovada por um simples argumento combinatório: para cada um dos vértices do hipercubo, existem maneiras de escolher uma coleção de arestas incidentes a esse vértice. Cada uma dessas coleções define uma das faces dimensionais incidentes no vértice considerado. Fazendo isso para todos os vértices do hipercubo, cada uma das faces -dimensionais do hipercubo é contada vezes, uma vez que tem tantos vértices, e precisamos dividir por esse número. ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 24}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 32}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 16}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {m}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 2 ^ {m}}$${\ displaystyle 2 ^ {n} {\ tbinom {n} {m}}}$

O número de facetas do hipercubo pode ser usado para calcular o volume -dimensional de sua fronteira: esse volume é vezes o volume de um hipercubo -dimensional; ou seja, onde está o comprimento das bordas do hipercubo. ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle 2ns ^ {n-1}}$${\ displaystyle s}$

Esses números também podem ser gerados pela relação de recorrência linear

${\ displaystyle E_ {m, n} = 2E_ {m, n-1} + E_ {m-1, n-1} \!}$, Com , e quando , ou .${\ displaystyle E_ {0,0} = 1}$${\ displaystyle E_ {m, n} = 0}$${\ displaystyle n <m}$${\ displaystyle n <0}$${\ displaystyle m <0}$

Por exemplo, estender um quadrado por meio de seus 4 vértices adiciona um segmento de linha extra (aresta) por vértice. Adicionar o quadrado oposto para formar um cubo fornece segmentos de linha. ${\ displaystyle E_ {1,3} = 12}$

Número de faces dimensionais de um hipercubo dimensional (sequência A038207 no OEIS ) ${\ displaystyle E_ {m, n}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n- cubo	Nomes	Schläfli Coxeter	Vértice 0-face	Edge 1 face	Rosto 2 faces	Célula 3 faces	4 faces	5 faces	6 faces	7 faces	8 faces	9 faces	10 faces
0	0-cubo	Point Monon	()	1
1	1 cubo	Segmento de linha Dion	{}	2	1
2	2 cubos	Tetrágono Quadrado	{4}	4	4	1
3	3 cubos	Cube Hexahedron	{4,3}	8	12	6	1
4	4 cubos	Octachoron Tesseract	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5 cubos	Penteract Deca-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6 cubos	Hexeract Dodeca-6-tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7 cubos	Hepteract Tetradeca-7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8 cubos	Octeract Hexadeca-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9 cubos	Ativar Octadeca-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10 cubos	Dekeract Icosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Gráficos

Um n- cubo pode ser projetado dentro de um polígono regular de 2 n- gonal por uma projeção ortogonal inclinada , mostrada aqui a partir do segmento de linha para o 15-cubo.

Polígono de Petrie projeções ortográficas

Apontar	Segmento de linha	Quadrado	Cubo	Tesseract
5 cubos	6 cubos	7 cubos	8 cubos
9 cubos	10 cubos	11 cubos	12 cubos
13 cubos	14 cubos	15 cubos	16 cubos

Projeção de um tesserato rotativo .

Famílias relacionadas de politopos

Os hipercubos são uma das poucas famílias de politopos regulares que são representados em qualquer número de dimensões.

A família hipercubo (deslocamento) é uma das três famílias regulares de politopo , rotuladas por Coxeter como γ _n . Os outros dois são a família dupla do hipercubo, os cross-polytopes , rotulados como β _n, e os simplices , rotulados como α _n . Uma quarta família, as infinitas tesselações de hipercubos , ele rotulou como δ _n .

Outra família relacionada de politopos semirregulares e uniformes são os semihipercubos , que são construídos a partir de hipercubos com vértices alternativos deletados e facetas simplex adicionadas nas lacunas, rotuladas como hγ _n .

n- cubos podem ser combinados com seus duais (os politopos cruzados ) para formar politopos compostos:

• Em duas dimensões, obtemos a figura estelar octograma {8/2},
• Em três dimensões, obtemos o composto de cubo e octaedro ,
• Em quatro dimensões, obtemos o composto de tesserato e 16 células .

Relação com ( n −1) -simplices

O gráfico da n arestas de -hypercube é isomorfo para o diagrama de Hasse do ( n -1) - simplex do rosto treliça . Isso pode ser visto orientando o n- hipercubo de modo que dois vértices opostos fiquem verticalmente, correspondendo ao próprio ( n -1) -simplexo e ao politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado ao vértice superior, em seguida, mapeia exclusivamente para uma das facetas do ( n −1) -simplex ( n −2 faces), e cada vértice conectado a esses vértices é mapeado para uma das n −3 faces do simplex , e assim por diante , e os vértices conectados ao vértice inferior são mapeados para os vértices do simplex.

Esta relação pode ser usada para gerar a rede de faces de um ( n −1) -simplex de forma eficiente, uma vez que os algoritmos de enumeração de redes de faces aplicáveis ​​a politopos gerais são mais caros computacionalmente.

Hipercubos generalizados

Os politopos complexos regulares podem ser definidos no espaço de Hilbert complexo denominado hipercubos generalizados , γ^p
_n= _p {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ , ou... Soluções reais existem com p = 2, ou seja, γ²
_n= γ _n = ₂ {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ = {4,3, .., 3}. Para p > 2, eles existem em . As facetas são generalizadas ( n −1) -cubo e a figura do vértice são simplex regulares . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

O perímetro poligonal regular visto nessas projeções ortogonais é chamado de polígono petrie . Os quadrados generalizados ( n = 2) são mostrados com bordas delineadas como bordas p de cores alternadas vermelhas e azuis , enquanto os n- cubos superiores são desenhados com bordas p contornadas em preto .

O número de m elementos -Face em um p -generalized n -cube são: . Isso é p ⁿ vértices e facetas pn . ${\ displaystyle p ^ {nm} {n \ escolha m}}$

Hipercubos generalizados

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	γ2 2= {4} = 4 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$	γ3 2 = 9 vértices	γ4 2 = 16 vértices	γ5 2 = 25 vértices	γ6 2 = 36 vértices	γ7 2 = 49 vértices	γ8 2 = 64 vértices
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	γ2 3= {4,3} = 8 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	γ3 3 = 27 vértices	γ4 3 = 64 vértices	γ5 3 = 125 vértices	γ6 3 = 216 vértices	γ7 3 = 343 vértices	γ8 3 = 512 vértices
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	γ2 4= {4,3,3} = 16 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	γ3 4 = 81 vértices	γ4 4 = 256 vértices	γ5 4 = 625 vértices	γ6 4 = 1296 vértices	γ7 4 = 2401 vértices	γ8 4 = 4096 vértices
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	γ2 5= {4,3,3,3} = 32 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	γ3 5 = 243 vértices	γ4 5 = 1024 vértices	γ5 5 = 3125 vértices	γ6 5 = 7776 vértices	γ7 5 = 16.807 vértices	γ8 5 = 32.768 vértices
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$	γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {6}}$	γ3 6 = 729 vértices	γ4 6 = 4096 vértices	γ5 6 = 15.625 vértices	γ6 6 = 46.656 vértices	γ7 6 = 117.649 vértices	γ8 6 = 262.144 vértices
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$	γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {7}}$	γ3 7 = 2187 vértices	γ4 7 = 16.384 vértices	γ5 7 = 78.125 vértices	γ6 7 = 279.936 vértices	γ7 7 = 823.543 vértices	γ8 7 = 2.097.152 vértices
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$	γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vértices	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {8}}$	γ3 8 = 6561 vértices	γ4 8 = 65.536 vértices	γ5 8 = 390.625 vértices	γ6 8 = 1.679.616 vértices	γ7 8 = 5.764.801 vértices	γ8 8 = 16.777.216 vértices

Veja também

• Rede de interconexão hipercubo de arquitetura de computador
• Grupo hiperoctaédrico , o grupo de simetria do hipercubo
• Hiperesfera
• Simplex
• Paralelotopo
• Crucificação (Corpus Hypercubus) (obra de arte famosa)

Notas

Referências

• Bowen, JP (abril de 1982). "Hipercubo" . Computação prática . 5 (4): 97–99. Arquivado do original em 30/06/2008 . Recuperado em 30 de junho de 2008 .
• Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (3ª ed.). §7.2. veja a ilustração Fig. 7-2 C : Dover . pp.  122-123 . ISBN 0-486-61480-8.Manutenção CS1: localização ( link )p. 296, Tabela I (iii): Polopos regulares, três politopos regulares em n dimensões ( n  ≥ 5)
• Hill, Frederick J .; Gerald R. Peterson (1974). Introdução à Teoria de Comutação e Design Lógico: Segunda Edição . Nova York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Cf Capítulo 7.1 "Representação Cúbica de Funções Booleanas" em que a noção de "hipercubo" é introduzida como um meio de demonstrar um código de distância 1 ( código Gray ) como os vértices de um hipercubo, e então o hipercubo com seus vértices assim rotulados é comprimido em duas dimensões para formar um diagrama de Veitch ou um mapa de Karnaugh .

links externos

• Weisstein, Eric W. "Hypercube" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Hypercube graphs" . MathWorld .
• www.4d-screen.de (Rotação de 4D - 7D-Cube)
• Rotating a Hypercube de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project .
• Hipercubo Animado Estereoscópico
• Downloads do hipercubo de Rudy Rucker e Farideh Dormishian
• A001787 Número de arestas em um hipercubo n-dimensional. na OEIS