Hipercubo - Hypercube
Cubo (3 cubos) | Tesseract (4 cubos) |
---|
Em geometria , um hipercubo é um análogo n- dimensional de um quadrado ( n = 2 ) e um cubo ( n = 3 ). É uma figura fechada , compacta e convexa cujo 1- esqueleto é constituído por grupos de segmentos de linhas paralelas opostas alinhadas em cada uma das dimensões do espaço , perpendiculares entre si e do mesmo comprimento. A diagonal mais longa de um hipercubo unitário em n dimensões é igual a .
Um n hypercube dimensional é mais comumente referido como um n -cube ou às vezes como um n cubo dimensional . O termo politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) também é usado, notadamente no trabalho de HSM Coxeter, que também rotula os hipercubos de politopos γ n .
O hipercubo é o caso especial de um hiper - retângulo (também chamado de n-ortotopo ).
Um hipercubo unitário é um hipercubo cujo lado tem o comprimento de uma unidade . Muitas vezes, o hipercúbica cujos cantos (ou vértices ) são os 2 n pontos em R n com cada coordenada igual a 0 ou 1 é chamado o hipercúbica unidade.
Construção
Um hipercubo pode ser definido aumentando o número de dimensões de uma forma:
- 0 - Um ponto é um hipercubo de dimensão zero.
- 1 - Se alguém mover este ponto uma unidade de comprimento, ele varrerá um segmento de linha, que é um hipercubo de unidade de dimensão um.
- 2 - Se alguém move este segmento de linha seu comprimento em uma direção perpendicular a si mesmo; ele varre um quadrado bidimensional.
- 3 - Se movermos o quadrado uma unidade de comprimento na direção perpendicular ao plano em que ele se encontra, será gerado um cubo tridimensional.
- 4 - Se alguém mover o cubo de uma unidade de comprimento para a quarta dimensão, ele gera um hipercubo de unidade de 4 dimensões (um tesserato de unidade ).
Isso pode ser generalizado para qualquer número de dimensões. Este processo de varrer os volumes pode ser formalizado matematicamente como uma soma de Minkowski : o hipercubo d- dimensional é a soma de Minkowski de d segmentos de linha de comprimento unitário mutuamente perpendiculares e é, portanto, um exemplo de um zonotopo .
O 1- esqueleto de um hipercubo é um gráfico de hipercubo .
Coordenadas do vértice
Um hipercubo unitário de dimensão é o invólucro convexo de todos os pontos cujas coordenadas cartesianas são iguais a ou . Esse hipercubo também é o produto cartesiano de cópias do intervalo unitário . Outra unidade hipercubo, centrada na origem do espaço ambiente, pode ser obtida desta por uma translação . É o casco convexo dos pontos cujos vetores de coordenadas cartesianas são
Aqui, o símbolo significa que cada coordenada é igual a ou a . Este hipercubo unitário também é o produto cartesiano . Qualquer hipercubo unitário tem um comprimento de borda de e um volume dimensional de .
O hipercubo -dimensional obtido como o casco convexo dos pontos com coordenadas ou, de forma equivalente ao produto cartesiano, também é frequentemente considerado devido à forma mais simples de suas coordenadas de vértice. Seu comprimento de borda é , e seu volume dimensional é .
Rostos
Todo hipercubo admite, como suas faces, hipercubos de dimensão inferior contidos em seu limite. Um hipercubo de dimensão admite facetas, ou faces de dimensão : um segmento de linha ( -dimensional) possui pontos finais; um quadrado ( -dimensional) tem lados ou arestas; um cubo dimensional tem faces quadradas; um tesserato ( -dimensional) tem cubo tridimensional como suas facetas. O número de vértices de um hipercubo de dimensão é (um cubo normal com dimensão tem vértices, por exemplo).
O número de hipercubos -dimensionais (apenas referidos como -cubos daqui em diante) contidos na fronteira de um -cubo é
- , onde e denota o fatorial de .
Por exemplo, o limite de um -cubo ( ) contém cubos ( -cubos), quadrados ( -cubos), segmentos de linha ( -cubos) e vértices ( -cubos). Essa identidade pode ser comprovada por um simples argumento combinatório: para cada um dos vértices do hipercubo, existem maneiras de escolher uma coleção de arestas incidentes a esse vértice. Cada uma dessas coleções define uma das faces dimensionais incidentes no vértice considerado. Fazendo isso para todos os vértices do hipercubo, cada uma das faces -dimensionais do hipercubo é contada vezes, uma vez que tem tantos vértices, e precisamos dividir por esse número.
O número de facetas do hipercubo pode ser usado para calcular o volume -dimensional de sua fronteira: esse volume é vezes o volume de um hipercubo -dimensional; ou seja, onde está o comprimento das bordas do hipercubo.
Esses números também podem ser gerados pela relação de recorrência linear
- , Com , e quando , ou .
Por exemplo, estender um quadrado por meio de seus 4 vértices adiciona um segmento de linha extra (aresta) por vértice. Adicionar o quadrado oposto para formar um cubo fornece segmentos de linha.
m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n | n- cubo | Nomes |
Schläfli Coxeter |
Vértice 0-face |
Edge 1 face |
Rosto 2 faces |
Célula 3 faces |
4 faces |
5 faces |
6 faces |
7 faces |
8 faces |
9 faces |
10 faces |
0 | 0-cubo | Point Monon |
() |
1 | ||||||||||
1 | 1 cubo |
Segmento de linha Dion |
{} |
2 | 1 | |||||||||
2 | 2 cubos |
Tetrágono Quadrado |
{4} |
4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | 3 cubos |
Cube Hexahedron |
{4,3} |
8 | 12 | 6 | 1 | |||||||
4 | 4 cubos |
Octachoron Tesseract |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||||
5 | 5 cubos | Penteract Deca-5-tope |
{4,3,3,3} |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||||
6 | 6 cubos | Hexeract Dodeca-6-tope |
{4,3,3,3,3} |
64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||||
7 | 7 cubos | Hepteract Tetradeca-7-tope |
{4,3,3,3,3,3} |
128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |||
8 | 8 cubos | Octeract Hexadeca-8-tope |
{4,3,3,3,3,3,3} |
256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | ||
9 | 9 cubos | Ativar Octadeca-9-tope |
{4,3,3,3,3,3,3,3} |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 1 | |
10 | 10 cubos | Dekeract Icosa-10-tope |
{4,3,3,3,3,3,3,3,3} |
1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 1 |
Gráficos
Um n- cubo pode ser projetado dentro de um polígono regular de 2 n- gonal por uma projeção ortogonal inclinada , mostrada aqui a partir do segmento de linha para o 15-cubo.
Apontar |
Segmento de linha |
Quadrado |
Cubo |
Tesseract |
---|---|---|---|---|
5 cubos |
6 cubos |
7 cubos |
8 cubos |
|
9 cubos |
10 cubos |
11 cubos |
12 cubos |
|
13 cubos |
14 cubos |
15 cubos |
16 cubos |
Famílias relacionadas de politopos
Os hipercubos são uma das poucas famílias de politopos regulares que são representados em qualquer número de dimensões.
A família hipercubo (deslocamento) é uma das três famílias regulares de politopo , rotuladas por Coxeter como γ n . Os outros dois são a família dupla do hipercubo, os cross-polytopes , rotulados como β n, e os simplices , rotulados como α n . Uma quarta família, as infinitas tesselações de hipercubos , ele rotulou como δ n .
Outra família relacionada de politopos semirregulares e uniformes são os semihipercubos , que são construídos a partir de hipercubos com vértices alternativos deletados e facetas simplex adicionadas nas lacunas, rotuladas como hγ n .
n- cubos podem ser combinados com seus duais (os politopos cruzados ) para formar politopos compostos:
- Em duas dimensões, obtemos a figura estelar octograma {8/2},
- Em três dimensões, obtemos o composto de cubo e octaedro ,
- Em quatro dimensões, obtemos o composto de tesserato e 16 células .
Relação com ( n −1) -simplices
O gráfico da n arestas de -hypercube é isomorfo para o diagrama de Hasse do ( n -1) - simplex do rosto treliça . Isso pode ser visto orientando o n- hipercubo de modo que dois vértices opostos fiquem verticalmente, correspondendo ao próprio ( n -1) -simplexo e ao politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado ao vértice superior, em seguida, mapeia exclusivamente para uma das facetas do ( n −1) -simplex ( n −2 faces), e cada vértice conectado a esses vértices é mapeado para uma das n −3 faces do simplex , e assim por diante , e os vértices conectados ao vértice inferior são mapeados para os vértices do simplex.
Esta relação pode ser usada para gerar a rede de faces de um ( n −1) -simplex de forma eficiente, uma vez que os algoritmos de enumeração de redes de faces aplicáveis a politopos gerais são mais caros computacionalmente.
Hipercubos generalizados
Os politopos complexos regulares podem ser definidos no espaço de Hilbert complexo denominado hipercubos generalizados , γp
n= p {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 , ou... Soluções reais existem com p = 2, ou seja, γ2
n= γ n = 2 {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 = {4,3, .., 3}. Para p > 2, eles existem em . As facetas são generalizadas ( n −1) -cubo e a figura do vértice são simplex regulares .
O perímetro poligonal regular visto nessas projeções ortogonais é chamado de polígono petrie . Os quadrados generalizados ( n = 2) são mostrados com bordas delineadas como bordas p de cores alternadas vermelhas e azuis , enquanto os n- cubos superiores são desenhados com bordas p contornadas em preto .
O número de m elementos -Face em um p -generalized n -cube são: . Isso é p n vértices e facetas pn .
p = 2 | p = 3 | p = 4 | p = 5 | p = 6 | p = 7 | p = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
γ2 2= {4} = 4 vértices |
γ3 2 = 9 vértices |
γ4 2 = 16 vértices |
γ5 2 = 25 vértices |
γ6 2 = 36 vértices |
γ7 2 = 49 vértices |
γ8 2 = 64 vértices |
||
γ2 3= {4,3} = 8 vértices |
γ3 3 = 27 vértices |
γ4 3 = 64 vértices |
γ5 3 = 125 vértices |
γ6 3 = 216 vértices |
γ7 3 = 343 vértices |
γ8 3 = 512 vértices |
||
γ2 4= {4,3,3} = 16 vértices |
γ3 4 = 81 vértices |
γ4 4 = 256 vértices |
γ5 4 = 625 vértices |
γ6 4 = 1296 vértices |
γ7 4 = 2401 vértices |
γ8 4 = 4096 vértices |
||
γ2 5= {4,3,3,3} = 32 vértices |
γ3 5 = 243 vértices |
γ4 5 = 1024 vértices |
γ5 5 = 3125 vértices |
γ6 5 = 7776 vértices |
γ7 5 = 16.807 vértices |
γ8 5 = 32.768 vértices |
||
γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 vértices |
γ3 6 = 729 vértices |
γ4 6 = 4096 vértices |
γ5 6 = 15.625 vértices |
γ6 6 = 46.656 vértices |
γ7 6 = 117.649 vértices |
γ8 6 = 262.144 vértices |
||
γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 vértices |
γ3 7 = 2187 vértices |
γ4 7 = 16.384 vértices |
γ5 7 = 78.125 vértices |
γ6 7 = 279.936 vértices |
γ7 7 = 823.543 vértices |
γ8 7 = 2.097.152 vértices |
||
γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vértices |
γ3 8 = 6561 vértices |
γ4 8 = 65.536 vértices |
γ5 8 = 390.625 vértices |
γ6 8 = 1.679.616 vértices |
γ7 8 = 5.764.801 vértices |
γ8 8 = 16.777.216 vértices |
Veja também
- Rede de interconexão hipercubo de arquitetura de computador
- Grupo hiperoctaédrico , o grupo de simetria do hipercubo
- Hiperesfera
- Simplex
- Paralelotopo
- Crucificação (Corpus Hypercubus) (obra de arte famosa)
Notas
Referências
- Bowen, JP (abril de 1982). "Hipercubo" . Computação prática . 5 (4): 97–99. Arquivado do original em 30/06/2008 . Recuperado em 30 de junho de 2008 .
- Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (3ª ed.). §7.2. veja a ilustração Fig. 7-2 C : Dover . pp. 122-123 . ISBN 0-486-61480-8.Manutenção CS1: localização ( link )p. 296, Tabela I (iii): Polopos regulares, três politopos regulares em n dimensões ( n ≥ 5)
- Hill, Frederick J .; Gerald R. Peterson (1974). Introdução à Teoria de Comutação e Design Lógico: Segunda Edição . Nova York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Cf Capítulo 7.1 "Representação Cúbica de Funções Booleanas" em que a noção de "hipercubo" é introduzida como um meio de demonstrar um código de distância 1 ( código Gray ) como os vértices de um hipercubo, e então o hipercubo com seus vértices assim rotulados é comprimido em duas dimensões para formar um diagrama de Veitch ou um mapa de Karnaugh .
links externos
- Weisstein, Eric W. "Hypercube" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Hypercube graphs" . MathWorld .
- www.4d-screen.de (Rotação de 4D - 7D-Cube)
- Rotating a Hypercube de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project .
- Hipercubo Animado Estereoscópico
- Downloads do hipercubo de Rudy Rucker e Farideh Dormishian
- A001787 Número de arestas em um hipercubo n-dimensional. na OEIS