Identidade (matemática) - Identity (mathematics)

Em matemática , uma identidade é uma igualdade que relaciona uma expressão matemática A  a outra expressão matemática  B , de modo que A e B (que podem conter algumas variáveis ) produzem o mesmo valor para todos os valores das variáveis ​​dentro de um certo intervalo de validade. Em outras palavras, A  =  B é uma identidade se A e B definem as mesmas funções , e uma identidade é uma igualdade entre funções que são definidas de forma diferente. Por exemplo, e são identidades. Às vezes, as identidades são indicadas pelo símbolo de barra tripla ≡ em vez de = , o sinal de igual . ${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1}$

Identidades comuns

Identidades algébricas

Certas identidades, como e , formam a base da álgebra, enquanto outras identidades, como e , podem ser úteis para simplificar expressões algébricas e expandi-las. ${\ displaystyle a + 0 = a}$${\ displaystyle a + (- a) = 0}$${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}$

Identidades trigonométricas

Geometricamente, as identidades trigonométricas são identidades que envolvem certas funções de um ou mais ângulos . Eles são distintos das identidades triangulares , que são identidades envolvendo ângulos e comprimentos laterais de um triângulo . Apenas os primeiros são abordados neste artigo.

Essas identidades são úteis sempre que as expressões envolvendo funções trigonométricas precisam ser simplificadas. Outra aplicação importante é a integração de funções não trigonométricas: uma técnica comum que envolve primeiro o uso da regra de substituição com uma função trigonométrica e, em seguida, a simplificação da integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Um dos exemplos mais proeminentes de identidades trigonométricas envolve a equação que é verdadeira para todos os valores complexos de (uma vez que os números complexos formam o domínio de seno e cosseno). Por outro lado, a equação ${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1,}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ cos \ theta = 1}$

só é verdadeiro para certos valores de , não todos (nem para todos os valores em uma vizinhança ). Por exemplo, esta equação é verdadeira quando, mas falsa quando . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta = 0,}$${\ displaystyle \ theta = 2}$

Outro grupo de identidades trigonométricas diz respeito às chamadas fórmulas de adição / subtração (por exemplo, a identidade de ângulo duplo , a fórmula de adição para ), que podem ser usadas para decompor expressões de ângulos maiores naqueles com constituintes menores. ${\ displaystyle \ sin (2 \ theta) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta}$${\ displaystyle \ tan (x + y)}$

Identidades exponenciais

As seguintes identidades são válidas para todos os expoentes inteiros, desde que a base seja diferente de zero:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} b ^ {m + n} & = b ^ {m} \ cdot b ^ {n} \\ (b ^ {m}) ^ {n} & = b ^ {m \ cdot n} \\ (b \ cdot c) ^ {n} & = b ^ {n} \ cdot c ^ {n} \ end {alinhado}}}$

Ao contrário da adição e multiplicação, a exponenciação não é comutativa . Por exemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 e 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , mas 2 ³ = 8 , enquanto 3 ² = 9 .

E, ao contrário da adição e da multiplicação, a exponenciação também não é associativa . Por exemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 e (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , mas 2 ³ a 4 é 8 ⁴ (ou 4.096), enquanto 2 elevado a 3 ⁴ é 2 ⁸¹ (ou 2.417.851.639.229.258.349.412.352). Sem parênteses para modificar a ordem de cálculo, por convenção, a ordem é de cima para baixo, não de baixo para cima:

${\ displaystyle b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} \ neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p \ cdot q)} = b ^ {p \ cdot q}.}$

Identidades logarítmicas

Várias fórmulas importantes, às vezes chamadas de identidades logarítmicas ou leis de log , relacionam logaritmos uns com os outros.

Produto, quociente, potência e raiz

O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números que estão sendo multiplicados; o logaritmo da razão de dois números é a diferença dos logaritmos. O logaritmo da p- ésima potência de um número é p vezes o logaritmo do próprio número; o logaritmo de uma p- ésima raiz é o logaritmo do número dividido por p . A tabela a seguir lista essas identidades com exemplos. Cada uma das identidades pode ser derivada após a substituição das definições de logaritmo x = b ^{log _b (x)} e / ou y = b ^{log _b (y)} , nos lados esquerdos.

	Fórmula	Exemplo
produtos	${\ displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$	${\ displaystyle \ log _ {3} (243) = \ log _ {3} (9 \ cdot 27) = \ log _ {3} (9) + \ log _ {3} (27) = 2 + 3 = 5}$
quociente	${\ displaystyle \ log _ {b} \! \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$	${\ displaystyle \ log _ {2} (16) = \ log _ {2} \! \ left ({\ frac {64} {4}} \ right) = \ log _ {2} (64) - \ log _ {2} (4) = 6-2 = 4}$
potência	${\ displaystyle \ log _ {b} (x ^ {p}) = p \ log _ {b} (x)}$	${\ displaystyle \ log _ {2} (64) = \ log _ {2} (2 ^ {6}) = 6 \ log _ {2} (2) = 6}$
raiz	${\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{p}] {x}} = {\ frac {\ log _ {b} (x)} {p}}}$	${\ displaystyle \ log _ {10} {\ sqrt {1000}} = {\ frac {1} {2}} \ log _ {10} 1000 = {\ frac {3} {2}} = 1,5}$

Mudança de base

O registo de logaritmo _b ( x ) pode ser calculado a partir dos logaritmos dos x e b , com respeito a uma base arbitrária k com a seguinte fórmula:

${\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {k} (x)} {\ log _ {k} (b)}}.}$

Calculadoras científicas típicas calculam os logaritmos para as bases 10 e e . Os logaritmos com relação a qualquer base b podem ser determinados usando qualquer um desses dois logaritmos pela fórmula anterior:

${\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {10} (x)} {\ log _ {10} (b)}} = {\ frac {\ log _ {e} (x)} {\ log _ {e} (b)}}.}$

Dado um número x e seu logaritmo log _b ( x ) para uma base desconhecida b , a base é dada por:

${\ displaystyle b = x ^ {\ frac {1} {\ log _ {b} (x)}}.}$

Identidades de função hiperbólica

As funções hiperbólicas satisfazem muitas identidades, todas elas semelhantes em forma às identidades trigonométricas . Na verdade, a regra de Osborn afirma que se pode converter qualquer identidade trigonométrica em uma identidade hiperbólica, expandindo-a completamente em termos de poderes integrais de senos e cossenos, mudando seno para sinh e cosseno para cosh, e trocando o sinal de cada termo que contém um produto de 2, 6, 10, 14, ... sinhs.

A função Gudermanniana fornece uma relação direta entre as funções circulares e as hiperbólicas que não envolvem números complexos.

Álgebra lógica e universal

Na lógica matemática e na álgebra universal , uma identidade é definida como uma fórmula da forma " ∀ x ₁ , ..., x _n . S = t ", onde s e t são termos sem outras variáveis ​​livres do que x ₁ , ..., x _n . O prefixo quantificador ("∀ x ₁ , ..., x _n .") É freqüentemente deixado implícito, em particular na álgebra universal. Por exemplo, os axiomas de um monóide são frequentemente dados como o conjunto de identidade

{   ∀ x , y , z . x * ( y * z ) = ( x * y ) * z   ,   ∀ x . x * 1 = x   ,   ∀ x . 1 * x = x   },

ou, resumidamente, como

{   x * ( y * z ) = ( x * y ) * z   ,   x * 1 = x   ,   1 * x = x   }.

Alguns autores usam o nome "equação" em vez de "identidade".

Veja também

• Identidade contábil
• Lista de identidades matemáticas

Referências

Notas

Citações

Origens

links externos

• The Encyclopedia of Equation Online enciclopédia de identidades matemáticas (arquivado)
• Uma coleção de identidades algébricas