Número imaginário - Imaginary number

Um número imaginário é um número complexo que pode ser escrito como um número real multiplicado pela unidade imaginária i , que é definida por sua propriedade i ² = −1 . O quadrado de um número imaginário bi é - b ² . Por exemplo, 5 i é um número imaginário e seu quadrado é −25 . Por definição, zero é considerado real e imaginário.

Originalmente cunhado no século 17 por René Descartes como um termo depreciativo e considerado fictício ou inútil, o conceito ganhou ampla aceitação após o trabalho de Leonhard Euler (no século 18) e Augustin-Louis Cauchy e Carl Friedrich Gauss (no início século 19).

Um número imaginário bi pode ser adicionado a um número real a de modo a formar um número complexo da forma de uma + bi , onde os números reais a e b são denominados, respectivamente, a parte real e a parte imaginária do número complexo.

História

Uma ilustração do plano complexo. Os números imaginários estão no eixo de coordenadas vertical.

Embora o matemático e engenheiro grego Herói de Alexandria seja apontado como o primeiro a conceber números imaginários, foi Rafael Bombelli quem primeiro estabeleceu as regras para a multiplicação de números complexos em 1572. O conceito havia aparecido na imprensa anteriormente, como no trabalho por Gerolamo Cardano . Na época, os números imaginários e os negativos eram mal compreendidos e considerados por alguns como fictícios ou inúteis, tanto quanto o zero já foi. Muitos outros matemáticos demoraram a adotar o uso de números imaginários, incluindo René Descartes , que escreveu sobre eles em sua La Géométrie, em que o termo imaginário foi usado e pretendia ser depreciativo. O uso de números imaginários não foi amplamente aceito até o trabalho de Leonhard Euler (1707-1783) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855). O significado geométrico dos números complexos como pontos em um plano foi descrito pela primeira vez por Caspar Wessel (1745-1818).

Em 1843, William Rowan Hamilton estendeu a ideia de um eixo de números imaginários no plano para um espaço quadridimensional de imaginários de quatérnios em que três das dimensões são análogas aos números imaginários no campo complexo.

Interpretação geométrica

Rotações de 90 graus no plano complexo

Geometricamente, os números imaginários encontram-se no eixo vertical do plano dos números complexos , o que permite que sejam apresentados perpendicularmente ao eixo real. Uma maneira de ver os números imaginários é considerar uma reta numérica padrão aumentando positivamente em magnitude para a direita e negativamente aumentando em magnitude para a esquerda. Em 0 no eixo x , um eixo y pode ser desenhado com a direção "positiva" subindo; os números imaginários "positivos" aumentam em magnitude para cima, e os números imaginários "negativos" aumentam em magnitude para baixo. Este eixo vertical é freqüentemente chamado de "eixo imaginário" e é denotado ou ℑ . ${\ displaystyle i \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {I},}$

Nesta representação, a multiplicação por  -1 corresponde a uma rotação de 180 graus em torno da origem. A multiplicação por i corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário "positivo", e a equação i ² = −1 é interpretada como dizendo que, se aplicarmos duas rotações de 90 graus sobre a origem, o resultado líquido será um único Rotação de 180 graus. Observe que uma rotação de 90 graus na direção "negativa" (sentido horário) também satisfaz essa interpretação, que reflete o fato de que - i também resolve a equação x ² = −1 . Em geral, multiplicar por um número complexo é o mesmo que girar em torno da origem pelo argumento do número complexo , seguido por uma escala por sua magnitude.

Raízes quadradas de números negativos

Deve-se ter cuidado ao trabalhar com números imaginários que são expressos como os valores principais das raízes quadradas de números negativos :

${\ displaystyle 6 = {\ sqrt {36}} = {\ sqrt {(-4) (- 9)}} \ neq {\ sqrt {-4}} {\ sqrt {-9}} = (2i) ( 3i) = 6i ^ {2} = - 6.}$

Isso às vezes é escrito como:

${\ displaystyle -1 = i ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} {\ stackrel {\ text {(falácia)}} {=}} {\ sqrt {(- 1) (- 1)}} = {\ sqrt {1}} = 1.}$

A falácia ocorre quando a igualdade falha quando as variáveis ​​não são adequadamente restritas. Nesse caso, a igualdade falha porque os números são negativos, o que pode ser demonstrado por: ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-x}} {\ sqrt {-y}} = i {\ sqrt {x}} \ i {\ sqrt {y}} = i ^ {2} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} = - {\ sqrt {xy}} \ neq {\ sqrt {xy}},}$

onde ambos x e y são números reais não-negativos.

Veja também

• fórmula de de Moivre
• Octonion
• -1

Notas

Referências

Bibliografia

• Nahin, Paul (1998). Um conto imaginário: a história da raiz quadrada de -1 . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explica muitas aplicações de expressões imaginárias.

links externos

• Como mostrar que os números imaginários realmente existem? - um artigo que discute a existência de números imaginários.
• 5 Programa de números 4 programa BBC Radio 4
• Por que usar números imaginários? Explicação básica e usos de números imaginários