Impredicatividade - Impredicativity

Em matemática , lógica e filosofia da matemática , algo que é impredicativo é uma definição de autorreferência . Grosso modo, uma definição é impredicativa se invoca (menciona ou quantifica) o conjunto que está sendo definido ou (mais comumente) outro conjunto que contém a coisa que está sendo definida. Não existe uma definição precisa geralmente aceita do que significa ser predicativo ou impredicativo. Os autores deram definições diferentes, mas relacionadas.

O oposto da impredicatividade é a predicatividade, que envolve essencialmente a construção de teorias estratificadas (ou ramificadas) em que a quantificação em níveis inferiores resulta em variáveis ​​de algum tipo novo, distintas dos tipos inferiores sobre os quais a variável se estende. Um exemplo prototípico é a teoria dos tipos intuicionista , que retém ramificações para descartar a impredicatividade.

O paradoxo de Russell é um exemplo famoso de construção impredicativa - a saber, o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm. O paradoxo é que tal conjunto não pode existir: se ele existisse, poderia ser perguntado se ele contém a si mesmo ou não - se o contém, por definição, não deveria, e se não existe, então, por definição, deveria.

O maior limite inferior de um conjunto X , glb ( X ) , também tem uma definição impredicativa: y = glb ( X ) se e somente se para todos os elementos x de X , y for menor ou igual a xe qualquer z menor que ou igual a todos os elementos de X é menor ou igual a y . Esta definição quantifica sobre o conjunto (potencialmente infinito , dependendo da ordem em questão) cujos membros são os limites inferiores de X , um dos quais sendo o próprio glb. Conseqüentemente, o predicativismo rejeitaria essa definição.

História

Normas (contendo uma variável) que não definem classes que proponho chamar de não predicativas ; aqueles que definem classes, chamarei de predicativos .

( Russell 1907 , p.34) (Russell usou "norma" para significar uma proposição: algo que pode assumir os valores "verdadeiro" ou "falso".)

Os termos "predicativo" e "impredicativo" foram introduzidos por Russell (1907) , embora o significado tenha mudado um pouco desde então.

Solomon Feferman fornece uma revisão histórica da predicatividade, conectando-a aos atuais problemas de pesquisa pendentes.

O princípio do círculo vicioso foi sugerido por Henri Poincaré (1905-6, 1908) e Bertrand Russell na esteira dos paradoxos como uma exigência nas especificações de conjuntos legítimos. Conjuntos que não atendem ao requisito são chamados de impredicativos .

O primeiro paradoxo moderno apareceu com Cesare Burali-Forti 's 1897 A questão sobre números transfinitos e ficaria conhecido como o paradoxo Burali-Forti . Aparentemente, Cantor descobriu o mesmo paradoxo em sua teoria dos conjuntos "ingênua" (Cantor) e isso ficou conhecido como o paradoxo de Cantor . A consciência de Russell do problema originou-se em junho de 1901 com sua leitura do tratado de lógica matemática de Frege , seu Begriffsschrift de 1879 ; a sentença ofensiva em Frege é a seguinte:

Por outro lado, também pode ser que o argumento seja determinado e a função indeterminada.

Em outras palavras, dado f ( a ), a função f é a variável e a é a parte invariante. Então, por que não substituir o próprio valor f ( a ) por f ? Russell prontamente escreveu a Frege uma carta apontando que:

Você afirma ... que uma função também pode atuar como o elemento indeterminado. Antes eu acreditava nisso, mas agora essa visão me parece duvidosa por causa da seguinte contradição. Seja w o predicado: ser um predicado que não pode ser predicado por si mesmo. Podem w ser predicado de si mesmo? De cada resposta segue-se o seu oposto. Devemos então concluir que w não é um predicado. Da mesma forma, não há classe (como uma totalidade) daquelas classes que cada uma tomada como uma totalidade, não pertence a si mesma. Disto concluo que, em certas circunstâncias, uma coleção definível não forma uma totalidade.

Frege respondeu prontamente a Russell reconhecendo o problema:

A sua descoberta da contradição causou-me a maior surpresa e, quase diria, consternação, pois abalou as bases sobre as quais pretendia construir a aritmética.

Enquanto o problema teve consequências pessoais adversas para os dois homens (ambos tiveram trabalhos na gráfica que tiveram que ser corrigidos), van Heijenoort observa que "O paradoxo abalou o mundo dos lógicos, e os rumores ainda são sentidos hoje ... Paradoxo de Russell , que usa as noções básicas de conjunto e elemento, cai diretamente no campo da lógica. O paradoxo foi publicado pela primeira vez por Russell em Os princípios da matemática (1903) e é discutido lá em grande detalhe ... ". Russell, após seis anos de falsos começos, acabaria respondendo à questão com sua teoria dos tipos de 1908, "propondo seu axioma da redutibilidade . Diz que qualquer função é coextensiva com o que ele chama de função predicativa : uma função na qual os tipos de as variáveis ​​aparentes não ultrapassam os tipos de argumentos ". Mas esse "axioma" encontrou resistência de todos os quadrantes.

A rejeição de objetos matemáticos definidos impredicativamente (embora aceitem os números naturais como entendidos classicamente) leva à posição na filosofia da matemática conhecida como predicativismo, defendida por Henri Poincaré e Hermann Weyl em seu Das Kontinuum . Poincaré e Weyl argumentaram que as definições impredicativas são problemáticas apenas quando um ou mais conjuntos subjacentes são infinitos.

Ernst Zermelo em seu 1908 "Uma nova prova da possibilidade de um bom ordenamento" apresenta uma seção inteira "b. Objeção quanto à definição não predicativa ", onde argumentou contra "Poincaré (1906, p. 307) [que afirma que] uma definição é 'predicativa' e logicamente admissível apenas se excluir todos os objetos que dependem da noção definida, isto é, que pode de alguma forma ser determinada por ela ". Ele dá dois exemplos de definições impredicativas - (i) a noção de cadeias de Dedekind e (ii) "em análise sempre que o máximo ou mínimo de um conjunto de números Z " concluído "previamente definido é usado para inferências posteriores. Isso acontece, por exemplo , na conhecida prova de Cauchy ... ". Ele termina sua seção com a seguinte observação: "Uma definição pode muito bem basear-se em noções que são equivalentes àquela que está sendo definida; na verdade, em toda definição definiens e definiendum são noções equivalentes, e a estrita observância da exigência de Poincaré faria todas as definições , portanto, toda a ciência, impossível ".

O exemplo de Zermelo de mínimo e máximo de um conjunto de números "completo" previamente definido reaparece em Kleene 1952: 42-42, onde Kleene usa o exemplo do limite superior mínimo em sua discussão de definições impredicativas; Kleene não resolve esse problema. Nos próximos parágrafos ele discute a tentativa de Weyl em seu livro de 1918 Das Kontinuum ( The Continuum ) para eliminar definições impredicativa e sua falha em manter o "teorema que uma arbitrariedade não vazio conjunto M de números reais tem um limite superior tem um menor limite superior ( cf. também Weyl 1919) ".

Ramsey argumentou que as definições "impredicativas" podem ser inofensivas: por exemplo, a definição de "pessoa mais alta na sala" é impredicativa, uma vez que depende de um conjunto de coisas das quais é um elemento, ou seja, o conjunto de todas as pessoas no sala. Em relação à matemática, um exemplo de definição impredicativa é o menor número em um conjunto, que é formalmente definido como: y = min ( X ) se e somente se para todos os elementos x de X , y for menor ou igual a x , e Y é em X .

Burgess (2005) discute teorias predicativas e impredicativas com certa profundidade, no contexto da lógica de Frege , aritmética de Peano , aritmética de segunda ordem e teoria dos conjuntos axiomáticos .

Veja também

Notas

Referências

  • "Definições Predicativas e Impredicativas" . Internet Encyclopedia of Philosophy .
  • Artigo PlanetMath sobre predicativismo
  • John Burgess , 2005. Fixing Frege . Princeton Univ. Aperte.
  • Solomon Feferman , 2005, " Predicativity " no The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic . Oxford University Press: 590–624.
  • Russell, B. (1907), "On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types" , Proc. London Math. Soc. , s2-4 (1): 29-53, doi : 10.1112 / plms / s2-4.1.29
  • Stephen C. Kleene 1952 (edição de 1971), Introduction to Metamathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN   0-7204-2103-9 . Em particular cf. seu §11 The Paradoxes (pp. 36-40) e §12 First inferences from the paradoxes IMPREDICATIVE DEFINITION (p. 42). Ele afirma que seus 6 ou mais (famosos) exemplos de paradoxos (antinomias) são todos exemplos de definição impredicativa, e diz que Poincaré (1905-6, 1908) e Russell (1906, 1910) "enunciaram a causa dos paradoxos para mentir nessas definições impredicativas "(p. 42), entretanto," partes da matemática que queremos reter, particularmente a análise, também contêm definições impredicativas. " (ibid). Weyl em seu 1918 ("Das Kontinuum") tentou derivar o máximo de análise possível sem o uso de definições impredicativas ", mas não o teorema de que um conjunto arbitrário não vazio M de números reais com um limite superior tem pelo menos limite superior (CF. também Weyl 1919) "(p. 43).
  • Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic , Dover Publications, Inc., NY, ISBN   0-486-24004-5 . Cf. seu §40. As antinomias e a teoria dos tipos (pp. 218 - em que ele demonstra como criar antinomias, incluindo a própria definição de imprevisível ("A definição de" imprevisível "imprevisível?"). Ele afirma mostrar métodos para eliminar os "paradoxos da sintaxe "(" paradoxos lógicos ") - pelo uso da teoria dos tipos - e" os paradoxos da semântica "- pelo uso da metalinguagem (sua" teoria dos níveis da linguagem "). Ele atribui a sugestão dessa noção a Russell e mais concretamente para Ramsey.
  • Jean van Heijenoort 1967, terceira impressão 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN   0-674-32449-8 (pbk.)