Rotação imprópria - Improper rotation
| Grupo | S 4 | S 6 | S 8 | S 10 | S 12 |
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| Subgrupos | C 2 | C 3 , S 2 = C i | C 4 , C 2 | C 5 , S 2 = C i | C 6 , S 4 , C 3 , C 2 |
| Exemplo |
 antiprisma digonal chanfrado |
 antiprisma triangular |
 antiprisma quadrado |
 antiprisma pentagonal |
 antiprisma hexagonal |
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Os antiprismas com bordas direcionadas possuem simetria de rotorreflexão. p -antiprismos para p ímpar contêm simetria de inversão , C i . |
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Em geometria , uma rotação imprópria , também chamada de rotação-reflexão , rotorreflexão, reflexão rotativa ou rotoinversão é, dependendo do contexto, uma transformação linear ou transformação afim que é a combinação de uma rotação em torno de um eixo e uma reflexão em um plano perpendicular a esse eixo.
Três dimensões
Em 3D, equivalentemente, é a combinação de uma rotação e uma inversão em um ponto no eixo. Portanto, também é chamada de rotoinversão ou inversão rotativa . Uma simetria tridimensional que possui apenas um ponto fixo é necessariamente uma rotação inadequada.
Em ambos os casos, as operações comutam. A rotorreflexão e a rotoinversão são iguais se diferirem no ângulo de rotação em 180 ° e o ponto de inversão estiver no plano de reflexão.
Uma rotação imprópria de um objeto, portanto, produz uma rotação de sua imagem espelhada . O eixo é denominado eixo de rotação-reflexão . Isso é chamado de rotação inadequada n vezes se o ângulo de rotação, antes ou depois da reflexão, for 360 ° / n (onde n deve ser par). Existem vários sistemas diferentes para nomear rotações impróprias individuais:
- Na notação Schoenflies, o símbolo S n (alemão, Spiegel , para espelho ), onde n deve ser par, denota o grupo de simetria gerado por uma rotação inadequada de n vezes. Por exemplo, a operação de simetria S 6 é a combinação de uma rotação de (360 ° / 6) = 60 ° e uma reflexão de plano de espelho. (Isso não deve ser confundido com a mesma notação para grupos simétricos ).
- Na notação de Hermann-Mauguin, o símbolo n é usado para uma rotoinversão n- dobrada ; ou seja, rotação por um ângulo de rotação de 360 ° / n com inversão. Se n for par, deve ser divisível por 4. (Observe que 2 seria simplesmente um reflexo e normalmente é denotado m .) Quando n é ímpar, isso corresponde a uma rotação imprópria de 2 n vezes (ou reflexo rotativo).
- A notação de Coxeter para S 2n é [2 n + , 2 + ] e
, como um subgrupo de índice 4 de [2 n , 2],
, gerado como o produto de 3 reflexões. - A notação Orbifold é n ×, ordem 2 n .
O subgrupo direto de S 2n , de índice 2, é C n , [ n ] + , ou ( nn ), de ordem n , sendo o gerador de rotorreflexão aplicado duas vezes.
S 2 n para impar n contém uma inversão , denotado C i . Esta simetria é a mesma que a combinação (ou produto) de uma rotação normal C n e a inversão. Pois mesmo n S 2 n contém C n, mas não contém inversão. Em geral, se p ímpar for um divisor de n , então S 2 n / p é um subgrupo de S 2 n . Por exemplo, S 4 é um subgrupo de S 12 .
Como uma isometria indireta
Em um sentido mais amplo, uma rotação imprópria pode ser definida como qualquer isometria indireta ; ou seja, um elemento de E (3) \ E + (3): portanto, também pode ser um reflexo puro em um plano, ou ter um plano de planagem . Uma isometria indireta é uma transformação afim com uma matriz ortogonal que tem um determinante de -1.
Uma rotação adequada é uma rotação comum. Em um sentido mais amplo, uma rotação adequada é definida como uma isometria direta ; ou seja, um elemento de E + (3): também pode ser a identidade, uma rotação com uma translação ao longo do eixo ou uma translação pura. Uma isometria direta é uma transformação afim com uma matriz ortogonal que tem um determinante de 1.
Tanto no sentido mais estreito quanto no mais amplo, a composição de duas rotações impróprias é uma rotação adequada, e a composição de uma rotação imprópria e adequada é uma rotação imprópria.
Sistemas físicos
Ao estudar a simetria de um sistema físico sob uma rotação inadequada (por exemplo, se um sistema tem um plano de simetria de espelho), é importante distinguir entre vetores e pseudovetores (bem como escalares e pseudoscalares e, em geral, entre tensores e pseudotensores ) , uma vez que os últimos se transformam de maneira diferente sob rotações próprias e impróprias (em 3 dimensões, os pseudovetores são invariantes sob inversão).