Círculo e círculos de um triângulo - Incircle and excircles of a triangle

Em geometria , o círculo incircle ou círculo inscrito de um triângulo é o maior círculo contido no triângulo; ele toca (é tangente a) os três lados. O centro do círculo interno é um centro de triângulo chamado de incentivo do triângulo .

Um círculo ou círculo escrito do triângulo é um círculo situado fora do triângulo, tangente a um de seus lados e tangente às extensões dos outros dois . Cada triângulo tem três círculos distintos, cada um tangente a um dos lados do triângulo.

O centro do incircle, chamado de incenter , pode ser encontrado como a intersecção das três bissetoras do ângulo interno . O centro de um círculo é a intersecção da bissetriz interna de um ângulo (no vértice , por exemplo) e as bissetoras externas dos outros dois. O centro desse círculo é denominado excentro em relação ao vértice , ou excentro de . Como a bissetriz interna de um ângulo é perpendicular à sua bissetriz externa, segue-se que o centro do incírculo junto com os três centros do círculo formam um sistema ortocêntrico . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Todos os polígonos regulares têm incircles tangentes a todos os lados, mas nem todos os polígonos têm; aqueles que o fazem são polígonos tangenciais . Veja também Linhas tangentes aos círculos .

Círculo e incentivo

Suponha que tem um incircle com raio e centro . Let Ser o comprimento de , o comprimento de e o comprimento de . Também deixe , e ser os pontos de contato onde os toques InCircle , e . ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle AB}$

No centro

O incentivo é o ponto onde as bissetoras do ângulo interno se encontram. ${\ displaystyle \ angle ABC, \ angle BCA, {\ text {e}} \ angle BAC}$

A distância do vértice ao incentivo é: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle d (A, I) = c {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}} = b {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} }.}$

Coordenadas trilineares

As coordenadas trilineares de um ponto no triângulo são a razão de todas as distâncias para os lados do triângulo. Como o incentivo está à mesma distância de todos os lados do triângulo, as coordenadas trilineares para o incentivo são

${\ displaystyle \ 1: 1: 1.}$

Coordenadas baricêntricas

As coordenadas baricêntricas para um ponto em um triângulo fornecem pesos tais que o ponto é a média ponderada das posições dos vértices do triângulo. As coordenadas baricêntricas para o incentivo são fornecidas por

${\ displaystyle \ a: b: c}$

onde , e são os comprimentos dos lados do triângulo, ou equivalentemente (utilizando a lei dos senos ) por ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}$

onde , e são os ângulos nos três vértices. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas do incentivo são uma média ponderada das coordenadas dos três vértices usando os comprimentos laterais do triângulo em relação ao perímetro (isto é, usando as coordenadas baricêntricas fornecidas acima, normalizadas para somar à unidade) como pesos. Os pesos são positivos, então o incentivo fica dentro do triângulo, conforme indicado acima. Se os três vértices estão localizados no , e , e os lados opostos desses vértices têm comprimentos correspondentes , e , em seguida, o incentro é a ${\ displaystyle (x_ {a}, y_ {a})}$${\ displaystyle (x_ {b}, y_ {b})}$${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax_ {a} + bx_ {b} + cx_ {c}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {a} + by_ {b} + cy_ { c}} {a + b + c}} \ right) = {\ frac {a \ left (x_ {a}, y_ {a} \ right) + b \ left (x_ {b}, y_ {b} \ direita) + c \ esquerda (x_ {c}, y_ {c} \ direita)} {a + b + c}}.}$

Raio

O inradius da circunferência inscrita em um triângulo com lados de comprimento , , é dada pela ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}},}$ Onde ${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2.}$

Veja a fórmula de Heron .

Distâncias para os vértices

Denotando o incentivo de as , as distâncias do incentivo aos vértices combinadas com os comprimentos dos lados do triângulo obedecem à equação ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}$

Além disso,

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}$

onde e são do triângulo circumradius e inradius respectivamente. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$

Outras propriedades

A coleção de centros de triângulos pode receber a estrutura de um grupo sob a multiplicação coordenada de coordenadas trilineares; neste grupo, o incentivo constitui o elemento de identidade .

Incircle e suas propriedades de raio

Distâncias entre o vértice e os pontos de contato mais próximos

As distâncias de um vértice aos dois pontos de contato mais próximos são iguais; por exemplo:

${\ displaystyle d \ left (A, T_ {B} \ right) = d \ left (A, T_ {C} \ right) = {\ frac {1} {2}} (b + ca).}$

Outras propriedades

Suponha que os pontos de tangência do incircle dividam os lados em comprimentos de e , e , e e . Então o incircle tem o raio ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {xyz} {x + y + z}}}}$

e a área do triângulo é

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {xyz (x + y + z)}}.}$

Se as alturas dos lados de comprimentos , e são , , e , em seguida, o inradius é um terço da média harmónica destes altitudes; isso é, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h_ {a}}$${\ displaystyle h_ {b}}$${\ displaystyle h_ {c}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c }}}}}.}$

O produto do raio da circunferência inscrita e a circunferência de raio de um triângulo com lados , e está ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle rR = {\ frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Algumas relações entre os lados, raio incircular e raio circuncírculo são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} ab + bc + ca & = s ^ {2} + (4R + r) r, \\ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & = 2s ^ {2} -2 (4R + r) r. \ End {alinhado}}}$

Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentivo do triângulo (o centro de seu círculo interno). Há um, dois ou três deles para qualquer triângulo.

Denotando o centro do círculo de como , temos ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1}$

e

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}.}$

O raio incircle não é maior que um nono da soma das altitudes.

A distância quadrada do incentivo ao circuncentro é dada por ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r)}$ ,

e a distância do incentivo ao centro do círculo de nove pontos é ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle IN = {\ frac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {1} {2}} R.}$

O incentivo está no triângulo medial (cujos vértices são os pontos médios dos lados).

Relação com a área do triângulo

O raio do incircle está relacionado à área do triângulo. A razão entre a área do círculo incircu e a área do triângulo é menor ou igual a , com igualdade válida apenas para triângulos equiláteros . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Suponha que tem um incircle com raio e centro . Let Ser o comprimento de , o comprimento de e o comprimento de . Agora, o incircle é tangente a algum ponto , e por isso está certo. Portanto, o raio é uma altitude de . Portanto, tem comprimento e altura de base e , portanto, área . Da mesma forma, tem área e tem área . Como esses três triângulos se decompõem , vemos que a área é: ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ angle AT_ {C} I}$${\ displaystyle T_ {C} I}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} cr}$${\ displaystyle \ triangle IAC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} br}$${\ displaystyle \ triangle IBC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ar}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle \ Delta {\ text {of}} \ triângulo ABC}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) r = sr,}$     e     ${\ displaystyle r = {\ frac {\ Delta} {s}},}$

onde é a área de e é seu semiperímetro . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$

Para uma fórmula alternativa, considere . Este é um triângulo retângulo com um lado igual a e o outro lado igual a . O mesmo é válido para . O grande triângulo é composto por seis desses triângulos e a área total é: ${\ displaystyle \ triangle IT_ {C} A}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r \ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right)}$${\ displaystyle \ triangle IB'A}$

${\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} \ left (\ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {B} {2}} \ right ) + \ cot \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) \ right).}$

Triângulo e ponta de Gergonne

O triângulo de Gergonne (de ) é definido pelos três pontos de contato do incircle nos três lados. O ponto de contato oposto é denotado , etc. ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T_ {A}}$

Este triângulo de Gergonne,, também é conhecido como triângulo de contato ou triângulo intouch de . Sua área é ${\ displaystyle \ triângulo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$

${\ displaystyle K_ {T} = K {\ frac {2r ^ {2} s} {abc}}}$

onde , e são a área, o raio da circunferência inscrita , e semiperimeter do triângulo original, e , , e são os comprimentos laterais do triângulo original. Esta é a mesma área do triângulo extouch . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

As três linhas , e intersectam-se um único ponto, chamado ponto Gergonne , denotado como (ou centro triângulo X ₇ ). O ponto Gergonne encontra-se no disco ortocentroidal aberto puncionado em seu próprio centro e pode ser qualquer ponto nele. ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$${\ displaystyle G_ {e}}$

A ponta de Gergonne de um triângulo tem várias propriedades, incluindo o fato de ser a ponta simbólica do triângulo de Gergonne.

Coordenadas trilineares para os vértices do triângulo intouch são dadas por

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Coordenadas trilineares para o ponto Gergonne são fornecidas por

${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

ou, equivalentemente, pela Lei de Sines ,

${\ displaystyle {\ frac {bc} {b + ca}}: {\ frac {ca} {c + ab}}: {\ frac {ab} {a + bc}}.}$

Excircles and Excenters

Um círculo ou círculo escrito do triângulo é um círculo situado fora do triângulo, tangente a um de seus lados e tangente às extensões dos outros dois . Cada triângulo tem três círculos distintos, cada um tangente a um dos lados do triângulo.

O centro de um círculo é a intersecção da bissetriz interna de um ângulo (no vértice , por exemplo) e as bissetoras externas dos outros dois. O centro desse círculo é denominado excentro em relação ao vértice , ou excentro de . Como a bissetriz interna de um ângulo é perpendicular à sua bissetriz externa, segue-se que o centro do incírculo junto com os três centros do círculo formam um sistema ortocêntrico . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Coordenadas trilineares de excentros

Enquanto o incenter de tem coordenadas trilineares , os excenters tem trilinears , e . ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$ ${\ displaystyle 1: 1: 1}$${\ displaystyle -1: 1: 1}$${\ displaystyle 1: -1: 1}$${\ displaystyle 1: 1: -1}$

Exradii

Os raios dos círculos são chamados de exradii .

O exradius do círculo oposto (tão tocante , centrado em ) é ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle J_ {A}}$

${\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {rs} {sa}} = {\ sqrt {\ frac {s (sb) (sc)} {sa}}},}$ Onde ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c).}$

Veja a fórmula de Heron .

Derivação da fórmula exradii

Outras propriedades

Pelas fórmulas acima, pode-se ver que os círculos são sempre maiores que o incircle e que o maior é aquele que tangencia o lado mais longo e o menor é tangente ao lado mais curto. Além disso, a combinação dessas fórmulas resulta em:

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

Outras propriedades do círculo

O casco circular dos círculos é tangente internamente a cada um dos círculos e, portanto, é um círculo de Apolônio . O raio deste círculo de Apolônio é onde está o raio do incirculo e é o semiperímetro do triângulo. ${\ displaystyle {\ tfrac {r ^ {2} + s ^ {2}} {4r}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

As seguintes relações segurar entre os inradius , o circumradius , o semiperimeter , e os raios excircle , , : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle r_ {a}}$${\ displaystyle r_ {b}}$${\ displaystyle r_ {c}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} & = 4R + r, \\ r_ {a} r_ {b} + r_ {b} r_ {c} + r_ {c} r_ {a} & = s ^ {2}, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} & = \ left (4R + r \ direita) ^ {2} -2s ^ {2}. \ end {alinhado}}}$

O círculo entre os centros dos três círculos tem raio . ${\ displaystyle 2R}$

Se for o ortocentro de , então ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r & = AH + BH + CH + 2R, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} & = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}. \ End {alinhado }}}$

Triângulo de Nagel e ponto de Nagel

O triângulo de Nagel ou triângulo extouch de é denotado pelos vértices , e esses são os três pontos onde os círculos tocam a referência e onde é o oposto de , etc. Isso também é conhecido como o triângulo extouch de . O circumcircle do extouch é chamado de círculo de Mandart . ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ triângulo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle \ triângulo T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$

As três linhas , e são chamados os divisores do triângulo; cada um deles corta o perímetro do triângulo, ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$

${\ displaystyle AB + BT_ {A} = AC + CT_ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (AB + BC + AC \ right).}$

Os divisores se cruzam em um único ponto, o ponto Nagel do triângulo (ou centro do triângulo X ₈ ). ${\ displaystyle N_ {a}}$

Coordenadas trilineares para os vértices do triângulo extouch são dadas por

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Coordenadas trilineares para o ponto de Nagel são dadas por

${\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

ou, equivalentemente, pela Lei de Sines ,

${\ displaystyle {\ frac {b + ca} {a}}: {\ frac {c + ab} {b}}: {\ frac {a + bc} {c}}.}$

O ponto Nagel é o conjugado isotômico do ponto Gergonne.

Construções relacionadas

Círculo de nove pontos e ponto de Feuerbach

Em geometria , o círculo de nove pontos é um círculo que pode ser construído para qualquer triângulo . Tem esse nome porque passa por nove pontos concíclicos significativos definidos no triângulo. Esses nove pontos são:

• O ponto médio de cada lado do triângulo
• O pé de cada altitude
• O ponto médio do segmento de linha de cada vértice do triângulo até o ortocentro (onde as três altitudes se encontram; esses segmentos de linha estão em suas respectivas altitudes).

Em 1822, Karl Feuerbach descobriu que o círculo de nove pontos de qualquer triângulo é externamente tangente aos três círculos desse triângulo e internamente tangente ao seu incirculo ; este resultado é conhecido como teorema de Feuerbach . Ele provou que:

... o círculo que passa pelos pés das altitudes de um triângulo é tangente a todos os quatro círculos que por sua vez são tangentes aos três lados do triângulo ... ( Feuerbach 1822 ) erro harv: sem alvo: CITEREFFeuerbach1822 ( ajuda )

O centro do triângulo no qual o incircle e o círculo de nove pontos se tocam é chamado de ponto de Feuerbach .

Triângulos Incentral e Excentral

Os pontos de intersecção das bissectrizes ângulo interior de com os segmentos , , e são os vértices do triângulo incentral . Coordenadas trilineares para os vértices do triângulo de incentivo são dadas por ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$

• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vértice oposto}} \, A \ right) = 0: 1: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vértice oposto}} \, B \ right) = 1: 0: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vértice oposto}} \, C \ right) = 1: 1: 0.}$

O triângulo excentral de um triângulo de referência tem vértices nos centros dos círculos do triângulo de referência. Seus lados estão nas bissetoras do ângulo externo do triângulo de referência (veja a figura no topo da página ). Coordenadas trilineares para os vértices do triângulo excentral são dadas por

• ${\ displaystyle ({\ text {vértice oposto}} \, A) = - 1: 1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {vértice oposto}} \, B) = 1: -1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {vértice oposto}} \, C) = 1: 1: -1.}$

Equações para quatro círculos

Vamos ser um ponto variável em coordenadas trilineares , e deixe , , . Os quatro círculos descritos acima são dados de forma equivalente por qualquer uma das duas equações fornecidas: ${\ displaystyle x: y: z}$${\ displaystyle u = \ cos ^ {2} \ left (A / 2 \ right)}$${\ displaystyle v = \ cos ^ {2} \ left (B / 2 \ right)}$${\ displaystyle w = \ cos ^ {2} \ left (C / 2 \ right)}$

• Incircle:

  ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz-2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alinhado}}}$

• ${\ displaystyle A}$ - círculo:

  ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz + 2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {-x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alinhado}}}$

• ${\ displaystyle B}$ - círculo:

  ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz-2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {-y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alinhado}}}$

• ${\ displaystyle C}$ - círculo:

  ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz + 2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {-z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alinhado}}}$

Teorema de Euler

O teorema de Euler afirma que em um triângulo:

${\ displaystyle (Rr) ^ {2} = d ^ {2} + r ^ {2},}$

onde e são o circumradius e o inradius respectivamente, e é a distância entre o circuncenter e o incenter. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

Para os círculos, a equação é semelhante:

${\ displaystyle \ left (R + r _ {\ text {ex}} \ right) ^ {2} = d _ {\ text {ex}} ^ {2} + r _ {\ text {ex}} ^ {2}, }$

onde é o raio de um dos círculos, e é a distância entre o circuncentro e o centro desse círculo. ${\ displaystyle r _ {\ text {ex}}}$${\ displaystyle d _ {\ text {ex}}}$

Generalização para outros polígonos

Alguns (mas não todos) quadriláteros têm um círculo incircular. Eles são chamados de quadriláteros tangenciais . Entre suas muitas propriedades, talvez a mais importante seja que seus dois pares de lados opostos têm somas iguais. Isso é chamado de teorema de Pitot .

De maneira mais geral, um polígono com qualquer número de lados que tem um círculo inscrito (ou seja, um que seja tangente a cada lado) é chamado de polígono tangencial .

Veja também

• Circumgon
• Círculo circunscrito
• Quadrilátero Ex-tangencial
• Teorema de Harcourt  - Área de um triângulo de seus lados e distâncias de vértice para qualquer linha tangente a seu incircle
• Circunconic and inconic  - Uma seção cônica que passa pelos vértices de um triângulo ou é tangente a seus lados
• Esfera inscrita
• Poder de um ponto
• Steiner Inellipse
• Quadrilátero tangencial
• Teorema Trillium  - Uma declaração sobre propriedades de círculos inscritos e circunscritos

Notas

Referências

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2ª ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN   52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry , New York: Holt, Rinehart e Winston , LCCN   69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Centros de triângulos e triângulos centrais". Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "Os triângulos Órtico-de-Intouch e Intouch-de-Órtico". Forum Geometricorum (6): 171–177.

links externos

• Derivação da fórmula para o raio do incircle de um triângulo
• Weisstein, Eric W. "Incircle" . MathWorld .

Interativo

• Triangle incenter     Triangle incircle    Incircle de um polígono regular    Com animações interativas
• Construindo um incenter / incircle de triângulo com compasso e régua Uma demonstração animada interativa
• Teorema dos Incircles iguais no corte do nó
• Teorema dos Cinco Incircles no corte do nó
• Pares de Incircles em um Quadrilátero no corte do nó
• Um miniaplicativo Java interativo para o incentivador