Superfície incompressível - Incompressible surface

Em matemática , uma superfície incompressível é uma superfície devidamente embutida em uma variedade de 3 , que, em termos intuitivos, é uma superfície "não trivial" que não pode ser simplificada por pinçamento de tubos. Eles são úteis para decomposição de variedades de Haken , teoria da superfície normal e estudo de grupos fundamentais de variedades de 3.

Definição formal

Para obter uma superfície incompressível S , cada disco de compress D circunda um disco D ' em S . Juntos, D e D ′ formam uma esfera 2. Esta esfera não precisa amarrar uma bola, a menos que M seja irredutível .

Seja S uma superfície compacta devidamente embutida em um manifold M liso ou PL 3 . Um disco de compressão D é um disco embutido em M tal que

e a interseção é transversal. Se a curva ∂ D não limita um disco dentro de S , então D é chamado de disco compactador não trivial . Se S tem um disco de compressão não-trivial, em seguida, a que chamamos S um compressível superfície em H .

Se S não é a 2-esfera nem uma superfície compressível, então chamamos a superfície ( geometricamente ) de incompressível .

Observe que as 2 esferas são excluídas, uma vez que não possuem discos de compressão não triviais pelo teorema de Jordan-Schoenflies , e as variedades de 3 têm abundantes esferas 2 embutidas. Às vezes, a definição é alterada para que uma esfera incompressível seja uma esfera 2 embutida em uma variedade 3 que não liga uma esfera 3 embutida . Essas esferas surgem exatamente quando uma variedade de 3 não é irredutível . Uma vez que essa noção de incompressibilidade para uma esfera é bastante diferente da definição acima para superfícies, muitas vezes uma esfera incompressível é, em vez disso, referida como uma esfera essencial ou uma esfera redutora .

Compressão

Comprimir uma superfície S ao longo de um disco D resulta em uma superfície S ', que é obtida removendo o limite do anel de N (D) de S e adicionando os dois limites do disco de N (D) .

Dada uma superfície compressível S com um disco de compressão D que podem assumir reside no interior de H e intersecta S transversalmente, pode-se realizar incorporado 1- cirurgia em S para obter uma superfície que é obtida por compactação de S ao longo D . Há uma vizinhança tubular de D cujo fechamento é uma incorporação de D × [-1,1] com D × 0 sendo identificado com D e com

Então

é uma nova superfície adequadamente incorporado obtidas por compressão de S ao longo D .

Uma medida de complexidade não negativa em superfícies compactas sem componentes de 2 esferas é b 0 ( S ) - χ ( S ), onde b 0 ( S ) é o número zero de Betti (o número de componentes conectados) e χ ( S ) é a característica de Euler . Ao comprimir uma superfície compressível ao longo de um disco de compressão não trivial, a característica de Euler aumenta em dois, enquanto b 0 pode permanecer o mesmo ou aumentar em 1. Assim, toda superfície compacta incorporada corretamente sem componentes de 2 esferas está relacionada a uma superfície incompressível por meio de um sequência de compressões.

Às vezes, eliminamos a condição de que S seja compressível. Se D foram ligados a um disco interior S (que é sempre o caso quando S é incompressível, por exemplo), em seguida, comprimindo S ao longo D resultaria numa união disjuntos de uma esfera e um homeomorfos superfície de S . A superfície resultante com a esfera deletada pode ou não ser isotópica a S , e será se S for incompressível e M for irredutível.

Superfícies algébricamente incompressíveis

Também existe uma versão algébrica de incompressibilidade. Suponha que seja uma incorporação adequada de uma superfície compacta em uma variedade de 3. Então S é π 1 -injetivo (ou algebricamente incompressível ) se o mapa induzido

em grupos fundamentais é injetiva .

Em geral, toda superfície π 1 -injetiva é incompressível, mas a implicação inversa nem sempre é verdadeira. Por exemplo, o espaço Lens L (4,1) contém uma garrafa de Klein incompressível que não é π 1 -injetiva.

Porém, se S é bilateral , o teorema do laço implica o lema de Kneser, que se S é incompressível, então é π 1 -injetivo.

Superfícies Seifert

Uma superfície Seifert S para um elo orientado L é uma superfície orientada cujo limite é L com a mesma orientação induzida. Se S não é π 1 injetivo em S 3 - N ( L ), onde N ( L ) é uma vizinhança tubular de L , então o teorema do loop dá um disco de compressão que pode ser usado para comprimir S ao longo, fornecendo outra superfície Seifert de complexidade reduzida. Conseqüentemente, existem superfícies Seifert incompressíveis.

Cada superfície Seifert de um elo está relacionada entre si por meio de compressões no sentido de que a relação de equivalência gerada pela compressão tem uma classe de equivalência. O inverso de uma compressão é às vezes chamado de cirurgia de arco embutido (uma cirurgia 0 embutida).

O gênero de um link é o gênero mínimo de todas as superfícies Seifert de um link. Uma superfície Seifert de gênero mínimo é incompressível. No entanto, em geral não é o caso que uma superfície incompressível de Seifert é de gênero mínimo, então π 1 sozinho não pode certificar o gênero de um link. Gabai provou em particular que uma superfície de Seifert que minimiza o gênero é uma folha de alguma foliação esticada e transversalmente orientada do complemento do nó, que pode ser certificada com uma hierarquia múltipla suturada esticada .

Dada uma superfície incompressível de Seifert S para um nó K , então o grupo fundamental de S 3 - N ( K ) se divide como uma extensão HNN sobre π 1 ( S ), que é um grupo livre . Os dois mapas de π 1 ( S ) em π 1 ( S 3 - N ( S )) dados empurrando loops para fora da superfície para o lado positivo ou negativo de N ( S ) são ambos injeções.

Veja também

Referências