Independência (lógica matemática) - Independence (mathematical logic)
Na lógica matemática , a independência é a impossibilidade de provar uma frase de outras frases.
Uma sentença σ é independente de uma dada teoria de primeira ordem T se T não prova nem refuta σ; isto é, é impossível provar σ a partir de T , e também é impossível provar a partir de T que σ é falso. Às vezes, σ é dito (sinonimamente) como indecidível de T ; este não é o mesmo significado de " decidibilidade " como em um problema de decisão .
Uma teoria T é independente se cada axioma em T não é dedutível dos axiomas restantes T . Uma teoria para a qual existe um conjunto independente de axiomas é independentemente axiomatizável .
Nota de uso
Alguns autores dizem que σ é independente de T quando T simplesmente não pode provar σ, e não necessariamente afirmam com isso que T não pode refutar σ. Esses autores às vezes dirão "σ é independente e consistente com T " para indicar que T não pode provar nem refutar σ.
Independência resulta na teoria dos conjuntos
Muitas declarações interessantes na teoria dos conjuntos são independentes da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZF). As seguintes afirmações na teoria dos conjuntos são conhecidas por serem independentes de ZF, partindo do pressuposto de que ZF é consistente:
- O axioma da escolha
- A hipótese do continuum e a hipótese generalizada do continuum
- A conjectura de Suslin
As seguintes afirmações (nenhuma das quais foi provada como falsa) não podem ser provadas em ZFC (a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma de escolha) como independentes de ZFC, sob a hipótese adicional de que ZFC é consistente.
- A existência de cardeais fortemente inacessíveis
- A existência de grandes cardeais
- A inexistência de árvores Kurepa
As declarações a seguir são inconsistentes com o axioma de escolha e, portanto, com ZFC. No entanto, eles são provavelmente independentes de ZF, em um sentido correspondente ao acima: eles não podem ser provados em ZF, e poucos teóricos do conjunto de trabalho esperam encontrar uma refutação em ZF. No entanto, ZF não pode provar que eles são independentes de ZF, mesmo com a hipótese adicional de que ZF é consistente.
Aplicações à teoria física
Desde 2000, a independência lógica passou a ser entendida como tendo um significado crucial nos fundamentos da física.
Veja também
- Lista de declarações independentes de ZFC
- Postulado paralelo para um exemplo em geometria
Notas
Referências
- Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4ª ed.), Londres: Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-80830-2
- Monk, J. Donald (1976), Mathematical Logic , Graduate Texts in Mathematics, Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90170-1
- Stabler, Edward Russell (1948), Uma introdução ao pensamento matemático , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley