Família indexada - Indexed family

Em matemática , uma família , ou família indexada , é informalmente uma coleção de objetos, cada um associado a um índice de algum conjunto de índices. Por exemplo, uma família de números reais , indexados pelo conjunto de inteiros é uma coleção de números reais, onde uma determinada função seleciona um número real para cada inteiro (possivelmente o mesmo).

Mais formalmente, uma família indexada é uma função matemática juntamente com o seu domínio I e imagem X . Freqüentemente, os elementos do conjunto X são chamados de constituintes da família. Nesta visão, as famílias indexadas são interpretadas como coleções de elementos indexados em vez de funções. O conjunto I é chamado de índice (conjunto) da família e X é o conjunto indexado . As sequências são um tipo de família com domínios específicos.

Declaração matemática

Definição. Sejam I e X conjuntos ef uma função tal que

onde representa um elemento de I e como a imagem de sob a função f é denotado como (por exemplo, é denotado como . O símbolo é usado para indicar que é um elemento de X. ), então isso estabelece uma família indexada de elementos em X indexado por I , que é denotado por ou simplesmente ( x i ) , quando o conjunto de índices é considerado conhecido. Às vezes, colchetes angulares ou colchetes são usados ​​em vez de parênteses, este último com o risco de confundir famílias com conjuntos. Simplesmente falando, sempre que a notação de índice é usada, os objetos indexados formam uma família (indexada) como a coleção deles. O termo coleção é usado em vez de conjunto, uma vez que uma família pode ter o elemento idêntico várias vezes (enquanto um conjunto é uma coleção de objetos diferentes e não ordenados), desde que cada elemento idêntico seja indexado de maneira diferente.

Funções e famílias são formalmente equivalente, como qualquer função f com um domínio I induz uma família ( f  ( i )) iI . Ser um elemento de uma família equivale a estar no intervalo da função correspondente. Na prática, entretanto, uma família é vista como uma coleção, ao invés de uma função. Uma família contém qualquer elemento exatamente uma vez, se e somente se a função correspondente for injetiva .

Uma família indexada pode ser transformada em um conjunto considerando o conjunto , ou seja, a imagem de I sob f . Visto que o mapeamento f não precisa ser injetivo , pode existir com ij tal que x i = x j . Assim , onde | A | denota a cardinalidade do conjunto Uma . Isso significa que uma família pode ter o mesmo elemento várias vezes, desde que sejam indexados de maneira diferente, e essa é uma diferença entre famílias e conjuntos indexados. Por exemplo, onde o conjunto de índices é o conjunto de números naturais.

Qualquer conjunto X dá origem a uma família ( x x ) xX como X sendo indexado por ele mesmo. Assim, qualquer conjunto torna-se naturalmente uma família. Para qualquer família ( A i ) iI existe o conjunto de todos os elementos { A i | iI } , mas isso não carrega qualquer informação sobre múltiplos contenção do mesmo elemento (indexado de maneira diferente) ou a estrutura dada pelo I . Portanto, ao usar um conjunto em vez da família, algumas informações podem ser perdidas.

O conjunto de índices I não se restringe a ser contável e um subconjunto de um conjunto de potência pode ser indexado, resultando em uma família de conjuntos indexados . As sequências são um tipo de família, pois uma sequência é definida como uma função com o domínio específico (um intervalo de inteiros, o conjunto de números naturais ou o conjunto dos primeiros n números naturais, dependendo de qual sequência é definida e qual definição é usada )

Exemplos

Vetores indexados

Por exemplo, considere a seguinte frase:

Os vetores v 1 ,…, v n são linearmente independentes.

Aqui ( v i ) i ∈ {1,…, n } denota uma família de vetores. O i- ésimo vetor v i só faz sentido com respeito a esta família, como os conjuntos não são ordenados, então não há i- ésimo vetor de um conjunto. Além disso, a independência linear é definida como uma propriedade de uma coleção; portanto, é importante se esses vetores forem linearmente independentes como um conjunto ou como uma família. Por exemplo, se considerarmos n = 2 e v 1 = v 2 = (1, 0) como o mesmo vector, em seguida, o conjunto deles consiste em apenas um elemento (tal como um conjunto é um conjunto de elementos distintos não ordenadas) e está linearmente independente, mas a família contém o mesmo elemento duas vezes (já que indexado de forma diferente) e é linearmente dependente (os mesmos vetores são linearmente dependentes).

Matrizes

Suponha que um texto afirme o seguinte:

Uma matriz quadrada A é invertível, se e somente se as linhas de A são linearmente independentes.

Como no exemplo anterior, é importante que as linhas de A sejam linearmente independentes como uma família, não como um conjunto. Por exemplo, considere a matriz

O conjunto das linhas consiste em um único elemento (1, 1) enquanto um conjunto é feito de elementos únicos, portanto é linearmente independente, mas a matriz não é invertível, pois o determinante da matriz é 0. Por outro lado, a família de as linhas contêm dois elementos indexados de forma diferente, como a 1ª linha (1, 1) e a 2ª linha (1,1), portanto, é linearmente dependente. A afirmação é, portanto, correta se se referir à família de linhas, mas errada se se referir ao conjunto de linhas. (A afirmação também está correta quando "as linhas" são interpretadas como se referindo a um multiconjunto , no qual os elementos também são mantidos distintos, mas que carece de parte da estrutura de uma família indexada.)

Outros exemplos

Seja n o conjunto finito {1, 2,…, n } , onde n é um número inteiro positivo .

  • Um par ordenado (2 tupla ) é uma família indexada pelo conjunto de dois elementos, 2 = {1, 2} ; cada elemento do par ordenado é indexado por cada elemento do conjunto 2 .
  • Um n -tuple é uma família indexada pelo conjunto n .
  • Uma sequência infinita é uma família indexada pelos números naturais .
  • Uma lista é um n -tuplo para um n não especificado ou uma seqüência infinita.
  • Uma matriz n × m é uma família indexada pelo produto cartesiano n × m cujos elementos são pares ordenados, por exemplo, (2, 5) indexando o elemento da matriz na 2ª linha e na 5ª coluna.
  • Uma rede é uma família indexada por um conjunto direcionado .

Operações em famílias indexadas

Conjuntos de índices são freqüentemente usados ​​em somas e outras operações semelhantes. Por exemplo, se ( a i ) iI é uma família indexada de números, a soma de todos esses números é denotada por

Quando ( A i ) iI é uma família de conjuntos , a união de todos esses conjuntos é denotada por

Da mesma forma para cruzamentos e produtos cartesianos .

Subfamília indexada

Uma família indexada ( B i ) iJ é uma subfamília de uma família indexada ( A i ) iI , se e somente se J é um subconjunto de I e B i = A i é válido para todos os i na J .

Uso na teoria da categoria

O conceito análogo na teoria das categorias é chamado de diagrama . Um diagrama é um functor que dá origem a uma família indexada de objetos em uma categoria C , indexados por outra categoria J e relacionados por morfismos dependendo de dois índices.

Veja também

Referências

  • Mathematical Society of Japan , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2ª edição, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citado como EDM (volume).