Divisibilidade infinita - Infinite divisibility

A divisibilidade infinita surge de diferentes maneiras na filosofia , física , economia , teoria da ordem (um ramo da matemática) e teoria da probabilidade (também um ramo da matemática). Pode-se falar de divisibilidade infinita, ou da falta dela, de matéria , espaço , tempo , dinheiro ou objetos matemáticos abstratos como o continuum .

Em filosofia

A origem da ideia na tradição ocidental pode ser rastreada até o século 5 aC, começando com o filósofo pré-socrático da Grécia Antiga Demócrito e seu professor Leucipo , que teorizou a divisibilidade da matéria além do que pode ser percebido pelos sentidos até finalmente terminar em um indivisível átomo. O filósofo indiano Kanada também propôs uma teoria atomística, no entanto, há uma ambigüidade em torno da época em que esse filósofo viveu, variando entre o século 6 e o ​​século 2 aC. Atomismo é explorado em Plato 's diálogo Timeu e também foi suportada por Aristóteles . Andrew Pyle dá um relato lúcido da divisibilidade infinita nas primeiras páginas de seu Atomism and its Critics . Lá, ele mostra como a divisibilidade infinita envolve a ideia de que existe algum item extenso , como uma maçã, que pode ser dividido infinitamente muitas vezes, onde nunca se divide em pontos, ou em átomos de qualquer tipo. Muitos filósofos profissionais afirmam que a divisibilidade infinita envolve uma coleção de um número infinito de itens (uma vez que há divisões infinitas, deve haver uma coleção infinita de objetos), ou (mais raramente), itens de tamanho pontual , ou ambos. Pyle afirma que a matemática das extensões infinitamente divisíveis não envolve nenhum destes - que existem divisões infinitas, mas apenas coleções finitas de objetos e eles nunca são divididos para baixo para apontar itens sem extensão.

Zenão questionou como uma flecha pode se mover se em um momento ela está aqui e imóvel e em um momento posterior em outro lugar e imóvel.

O raciocínio de Zenão, entretanto, é falacioso, quando diz que se tudo quando ocupa um espaço igual está em repouso, e se aquilo que está em locomoção está sempre ocupando tal espaço a qualquer momento, a flecha voadora fica então imóvel. Isso é falso, pois o tempo não é composto de momentos indivisíveis mais do que qualquer outra magnitude é composta de indivisíveis.

-  Aristóteles, Física VI: 9, 239b5

Em referência ao paradoxo de Zenão da flecha em vôo, Alfred North Whitehead escreve que "um número infinito de atos de devir pode ocorrer em um tempo finito se cada ato subsequente for menor em uma série convergente":

O argumento, na medida em que é válido, provoca uma contradição das duas premissas: (i) que em um devir algo ( res vera ) se torna, e (ii) que todo ato de se tornar é divisível em seções anteriores e posteriores que são próprios atos de devir. Considere, por exemplo, um ato de vir a ser durante um segundo. O ato é divisível em dois atos, um durante a primeira metade do segundo, o outro durante a última metade do segundo. Assim, aquilo que se torna durante todo o segundo pressupõe aquilo que se torna durante o primeiro meio segundo. Analogamente, aquilo que se torna durante o primeiro meio segundo pressupõe aquilo que se torna durante o primeiro quarto de segundo, e assim por diante indefinidamente. Assim, se considerarmos o processo de devir até o início do segundo em questão, e perguntarmos o que então se torna, nenhuma resposta pode ser dada. Pois, qualquer criatura que indicamos pressupõe uma criatura anterior que se tornou após o início da segunda e antecedentemente à criatura indicada. Portanto, não há nada que se torne, de modo a efetuar uma transição para o segundo em questão.

-  AN Whitehead, Process and Reality

Na física quântica

Até a descoberta da mecânica quântica , nenhuma distinção foi feita entre a questão de se a matéria é infinitamente divisível e a questão de se a matéria pode ser cortada em partes menores ad infinitum .

Como resultado, a palavra grega átomos ( ἄτομος ), que significa literalmente "imutável", é geralmente traduzida como "indivisível". Enquanto o átomo moderno é de fato divisível, na verdade ele é imutável: não há partição do espaço de forma que suas partes correspondam às partes materiais do átomo. Em outras palavras, a descrição da mecânica quântica da matéria não está mais de acordo com o paradigma do cortador de biscoitos. Isso lança uma nova luz sobre o antigo enigma da divisibilidade da matéria. A multiplicidade de um objeto material - o número de suas partes - depende da existência, não de superfícies delimitadoras, mas de relações espaciais internas (posições relativas entre as partes), e estas carecem de valores determinados. De acordo com o modelo padrão da física de partículas, as partículas que constituem um átomo - quarks e elétrons - são partículas pontuais : não ocupam espaço. O que faz um átomo, entretanto, ocupar espaço não é qualquer "coisa" espacialmente estendida que "ocupa espaço" e que pode ser cortada em pedaços cada vez menores, mas a indeterminação de suas relações espaciais internas.

O espaço físico é freqüentemente considerado infinitamente divisível: acredita-se que qualquer região do espaço, não importa quão pequena, possa ser dividida ainda mais. O tempo também é considerado infinitamente divisível.

No entanto, o trabalho pioneiro de Max Planck (1858-1947) no campo da física quântica sugere que há, de fato, uma distância mensurável mínimo (agora chamado de comprimento de Planck , 1,616229 (38) × 10 -35 metros) e, portanto, um intervalo de tempo mínimo (a quantidade de tempo que a luz leva para percorrer essa distância no vácuo, 5,39116 (13) × 10 −44 segundos, conhecido como o tempo de Planck ) menor do que a medição significativa é impossível.

Em economia

Um dólar , ou um euro , é dividido em 100 centavos; só se pode pagar em incrementos de um centavo. É bastante comum que os preços de algumas mercadorias, como a gasolina, estejam em incrementos de um décimo de centavo por galão ou por litro. Se a gasolina custa $ 3,979 por galão e se compra 10 galões, então os 9/10 "extras" de um centavo chegam a dez vezes mais: 9 centavos "extras", então o centavo nesse caso é pago. O dinheiro é infinitamente divisível no sentido de que é baseado no sistema de números reais. No entanto, as moedas modernas não são divisíveis (no passado, algumas moedas eram pesadas com cada transação e eram consideradas divisíveis sem nenhum limite específico em mente). Há um ponto de precisão em cada transação que é inútil porque essas pequenas quantias de dinheiro são insignificantes para os humanos. Quanto mais o preço é multiplicado, mais a precisão pode importar. Por exemplo, ao comprar um milhão de ações, o comprador e o vendedor podem estar interessados ​​em uma diferença de preço de um décimo de centavo, mas é apenas uma escolha. Tudo o mais na avaliação e escolha de negócios é igualmente divisível na medida em que as partes estão interessadas. Por exemplo, os relatórios financeiros podem ser relatados anualmente, trimestralmente ou mensalmente. Alguns gerentes de negócios executam relatórios de fluxo de caixa mais de uma vez por dia.

Embora o tempo possa ser infinitamente divisível, os dados sobre os preços dos títulos são relatados em momentos discretos. Por exemplo, se olharmos para os registros dos preços das ações na década de 1920, podemos encontrar os preços no final de cada dia, mas talvez não em trezentosésimos de segundo após 12h47. Um novo método, no entanto, teoricamente, poderia relatar com o dobro da taxa, o que não impediria novos aumentos na velocidade de notificação. Talvez paradoxalmente, a matemática técnica aplicada aos mercados financeiros costuma ser mais simples se o tempo infinitamente divisível for usado como uma aproximação. Mesmo nesses casos, é escolhida uma precisão com a qual trabalhar e as medições são arredondadas para essa aproximação. Em termos de interação humana, dinheiro e tempo são divisíveis, mas apenas até o ponto em que uma divisão posterior não tenha valor, ponto esse que não pode ser determinado com exatidão.

Teoria da ordem

Dizer que o campo dos números racionais é infinitamente divisível (isto é, ordem teoricamente densa ) significa que entre quaisquer dois números racionais existe outro número racional. Em contraste, o anel de inteiros não é infinitamente divisível.

A divisibilidade infinita não implica em ausência de lacuna: os racionais não desfrutam da propriedade de limite superior mínimo . Isso significa que se alguém fosse particionar os racionais em dois conjuntos não vazios A e B, onde A contém todos os racionais menores do que algum número irracional ( π , digamos) e B todos os racionais maiores do que ele, então A não tem o maior membro e B não tem o menor membro. O campo dos números reais , em contraste, é infinitamente divisível e sem intervalos. Qualquer conjunto ordenado linearmente que seja infinitamente divisível e sem intervalos, e tenha mais de um membro, é infinitamente infinito . Para uma prova, veja a primeira prova de incontáveis ​​de Cantor . A divisibilidade infinita por si só implica infinitude, mas não incontabilidade, como exemplificam os números racionais.

Em distribuições de probabilidade

Artigo principal: divisibilidade infinita (probabilidade)

Dizer que uma distribuição de probabilidade F na linha real é infinitamente divisível significa que se X for qualquer variável aleatória cuja distribuição é F , então para cada inteiro positivo n existem n variáveis ​​aleatórias independentes distribuídas de forma idêntica X 1 , ..., X n cuja soma é igual em distribuição a X (aquelas n outras variáveis ​​aleatórias geralmente não têm a mesma distribuição de probabilidade que X ).

A distribuição de Poisson , a distribuição de Poisson com gagueira, a distribuição binomial negativa e a distribuição Gama são exemplos de distribuições infinitamente divisíveis - assim como a distribuição normal , a distribuição de Cauchy e todos os outros membros da família de distribuição estável . A distribuição normal oblíqua é um exemplo de distribuição não infinitamente divisível. (Ver Domínguez-Molina e Rocha Arteaga (2007).)

Cada distribuição de probabilidade infinitamente divisível corresponde de forma natural a um processo de Lévy , ou seja, um processo estocástico { X t  : t ≥ 0} com incrementos independentes estacionários ( estacionário significa que para s < t , a distribuição de probabilidade de X t - X s depende apenas de t - s ; incrementos independentes significam que essa diferença é independente da diferença correspondente em qualquer intervalo que não se sobreponha a [ s , t ], e da mesma forma para qualquer número finito de intervalos).

Este conceito de divisibilidade infinita de distribuições de probabilidade foi introduzido em 1929 por Bruno de Finetti .

Veja também

Referências

  1. ^ Educação, Pearson (2016). O trampolim da ciência, 9º . ISBN 9789332585164.
  2. ^ Aristotle. "Física" . Arquivo de clássicos da Internet .
  3. ^ a b Ross, SD (1983). Perspectiva na Metafísica de Whitehead . Suny Series in Systematic Philosophy. Imprensa da Universidade Estadual de Nova York. pp.  182 –183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN  82008332 .
  4. ^ Ulrich Mohrhoff (2000). "Mecânica Quântica e o Paradigma do Cortador de Biscoitos". arXiv : quant-ph / 0009001v2 .
  • Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "Sobre a divisibilidade infinita de algumas distribuições simétricas assimétricas". Estatísticas e cartas de probabilidade , 77 (6), 644-648 doi : 10.1016 / j.spl.2006.09.014

links externos