cálculo -Calculus

O cálculo é o estudo matemático da mudança contínua, da mesma forma que a geometria é o estudo da forma, e a álgebra é o estudo das generalizações das operações aritméticas .

Tem dois ramos principais, cálculo diferencial e cálculo integral ; o primeiro diz respeito a taxas instantâneas de variação e as inclinações das curvas , enquanto o último diz respeito à acumulação de quantidades e áreas sob ou entre as curvas. Esses dois ramos estão relacionados entre si pelo teorema fundamental do cálculo e fazem uso das noções fundamentais de convergência de sequências infinitas e séries infinitas a um limite bem definido .

O cálculo infinitesimal foi desenvolvido independentemente no final do século XVII por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz . Trabalhos posteriores, incluindo a codificação da ideia de limites , colocaram esses desenvolvimentos em uma base conceitual mais sólida. Hoje, o cálculo tem usos generalizados em ciência , engenharia e ciências sociais .

Etimologia

Na educação matemática , cálculo denota cursos de análise matemática elementar , que são principalmente dedicados ao estudo de funções e limites. A palavra cálculo é latim para "pedrinha" (o diminutivo de calx , que significa "pedra"), um significado que ainda persiste na medicina . Como essas pedras eram usadas para contar distâncias, contar votos e fazer aritmética com ábaco , a palavra passou a significar um método de cálculo. Nesse sentido, foi usado em inglês pelo menos desde 1672, vários anos antes das publicações de Leibniz e Newton.

Além do cálculo diferencial e cálculo integral, o termo também é usado para nomear métodos específicos de cálculo e teorias relacionadas que buscam modelar um determinado conceito em termos de matemática. Exemplos dessa convenção incluem cálculo proposicional , cálculo de Ricci , cálculo de variações , cálculo lambda e cálculo de processo . Além disso, o termo "cálculo" foi aplicado de forma variada na ética e na filosofia, para sistemas como o cálculo feliz de Bentham e o cálculo ético .

História

O cálculo moderno foi desenvolvido na Europa do século XVII por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (independentemente um do outro, publicando pela primeira vez na mesma época), mas elementos dele apareceram na Grécia antiga, depois na China e no Oriente Médio, e ainda mais tarde novamente na Europa medieval e na Índia.

Precursores antigos

Egito

Cálculos de volume e área , um objetivo do cálculo integral, podem ser encontrados no papiro egípcio de Moscou ( c.  1820  aC), mas as fórmulas são instruções simples, sem indicação de como foram obtidas.

Grécia

Arquimedes usou o método de exaustão para calcular a área sob uma parábola em sua obra Quadratura da Parábola .

Lançando as bases para o cálculo integral e prenunciando o conceito de limite, o antigo matemático grego Eudoxo de Cnido ( c.  390 – 337 aC) desenvolveu o método de exaustão para provar as fórmulas para os volumes de cones e pirâmides.

Durante o período helenístico , este método foi desenvolvido por Arquimedes ( c.  287c.  212 aC ), que o combinou com um conceito de indivisíveis — um precursor dos infinitesimais — permitindo-lhe resolver vários problemas agora tratados pelo cálculo integral. Em The Method of Mechanical Theorems, ele descreve. por exemplo, calculando o centro de gravidade de um hemisfério sólido , o centro de gravidade de um tronco de um parabolóide circular e a área de uma região limitada por uma parábola e uma de suas linhas secantes .

China

O método de exaustão foi posteriormente descoberto independentemente na China por Liu Hui no século III dC, a fim de encontrar a área de um círculo. No século V dC, Zu Gengzhi , filho de Zu Chongzhi , estabeleceu um método que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera .

Medieval

Médio Oriente

Ibn al-Haytham, matemático e físico árabe do século XI

No Oriente Médio, Hasan Ibn al-Haytham , latinizado como Alhazen ( c.  965  – c.  1040  DC) derivou uma fórmula para a soma das quartas potências . Ele usou os resultados para realizar o que hoje se chamaria de integração dessa função, onde as fórmulas das somas dos quadrados inteiros e das quartas potências lhe permitiam calcular o volume de um parabolóide .

Índia

No século 14, os matemáticos indianos apresentaram um método não rigoroso, semelhante à diferenciação, aplicável a algumas funções trigonométricas. Madhava de Sangamagrama e a Escola Kerala de Astronomia e Matemática declararam assim os componentes do cálculo. Uma teoria completa que engloba esses componentes é agora bem conhecida no mundo ocidental como a série de Taylor ou aproximações de séries infinitas . No entanto, eles não foram capazes de "combinar muitas ideias diferentes sob os dois temas unificadores da derivada e da integral , mostrar a conexão entre os dois e transformar o cálculo na grande ferramenta de solução de problemas que temos hoje".

Moderno

O trabalho de Johannes Kepler , Stereometrica Doliorum , formou a base do cálculo integral. Kepler desenvolveu um método para calcular a área de uma elipse somando os comprimentos de muitos raios traçados a partir de um foco da elipse.

Um trabalho significativo foi um tratado, cuja origem são os métodos de Kepler, escritos por Bonaventura Cavalieri , que defendia que volumes e áreas deveriam ser calculados como a soma dos volumes e áreas de seções transversais infinitesimalmente finas. As ideias eram semelhantes às de Arquimedes em O Método , mas acredita-se que este tratado tenha sido perdido no século 13 e só foi redescoberto no início do século 20 e, portanto, seria desconhecido para Cavalieri. O trabalho de Cavalieri não era muito respeitado, pois seus métodos podiam levar a resultados errôneos, e as quantidades infinitesimais que ele introduziu eram de má reputação a princípio.

O estudo formal do cálculo reuniu os infinitesimais de Cavalieri com o cálculo de diferenças finitas desenvolvido na Europa mais ou menos na mesma época. Pierre de Fermat , alegando ter emprestado de Diofanto , introduziu o conceito de igualdade , que representava a igualdade até um termo de erro infinitesimal. A combinação foi alcançada por John Wallis , Isaac Barrow e James Gregory , os dois últimos provando predecessores do segundo teorema fundamental do cálculo por volta de 1670.

A regra do produto e regra da cadeia , as noções de derivadas superiores e série de Taylor , e de funções analíticas foram usadas por Isaac Newton em uma notação idiossincrática que ele aplicou para resolver problemas de física matemática . Em suas obras, Newton reformulou suas ideias para se adequar ao idioma matemático da época, substituindo cálculos com infinitesimais por argumentos geométricos equivalentes que foram considerados irrepreensíveis. Ele usou os métodos de cálculo para resolver o problema do movimento planetário, a forma da superfície de um fluido em rotação, o achatamento da Terra, o movimento de um peso deslizando sobre uma cicloide e muitos outros problemas discutidos em seu Principia Mathematica ( 1687). Em outros trabalhos, ele desenvolveu expansões em série para funções, incluindo potências fracionárias e irracionais, e ficou claro que ele entendia os princípios da série de Taylor . Ele não publicou todas essas descobertas e, nessa época, os métodos infinitesimais ainda eram considerados de má reputação.

Gottfried Wilhelm Leibniz foi o primeiro a estabelecer claramente as regras do cálculo.
Isaac Newton desenvolveu o uso do cálculo em suas leis de movimento e gravitação .

Essas ideias foram organizadas em um verdadeiro cálculo de infinitesimais por Gottfried Wilhelm Leibniz , que foi originalmente acusado de plágio por Newton. Ele agora é considerado um inventor independente e colaborador do cálculo. Sua contribuição foi fornecer um conjunto claro de regras para trabalhar com quantidades infinitesimais, permitindo o cálculo de segundas e maiores derivadas e fornecendo a regra do produto e a regra da cadeia , em suas formas diferencial e integral. Ao contrário de Newton, Leibniz colocou um esforço meticuloso em suas escolhas de notação.

Hoje, Leibniz e Newton geralmente recebem crédito por inventar e desenvolver o cálculo de forma independente. Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física geral e Leibniz desenvolveu grande parte da notação usada no cálculo hoje. Os insights básicos que Newton e Leibniz forneceram foram as leis de diferenciação e integração, enfatizando que diferenciação e integração são processos inversos, derivadas secundárias e superiores, e a noção de uma série polinomial aproximada.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados pela primeira vez, houve grande controvérsia sobre qual matemático (e, portanto, qual país) merecia crédito. Newton derivou seus resultados primeiro (mais tarde a serem publicados em seu Method of Fluxions ), mas Leibniz publicou seu " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " primeiro. Newton alegou que Leibniz roubou ideias de suas notas não publicadas, que Newton havia compartilhado com alguns membros da Royal Society . Essa controvérsia dividiu os matemáticos de língua inglesa dos matemáticos da Europa continental por muitos anos, em detrimento da matemática inglesa. Um exame cuidadoso dos artigos de Leibniz e Newton mostra que eles chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz começando primeiro com a integração e Newton com a diferenciação. Foi Leibniz, no entanto, quem deu o nome à nova disciplina. Newton chamou seu cálculo de " a ciência das fluxões ", um termo que perdurou nas escolas inglesas até o século XIX. O primeiro tratado completo sobre cálculo a ser escrito em inglês e usar a notação de Leibniz não foi publicado até 1815.

Desde a época de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento contínuo do cálculo. Um dos primeiros e mais completos trabalhos sobre cálculo infinitesimal e integral foi escrito em 1748 por Maria Gaetana Agnesi .

Fundações

No cálculo, os fundamentos referem-se ao desenvolvimento rigoroso do assunto a partir de axiomas e definições. No cálculo inicial, o uso de quantidades infinitesimais era considerado pouco rigoroso e ferozmente criticado por vários autores, principalmente Michel Rolle e Bishop Berkeley . Berkeley descreveu os infinitesimais como os fantasmas de quantidades que partiram em seu livro The Analyst em 1734. Elaborar uma base rigorosa para o cálculo ocupou os matemáticos durante grande parte do século após Newton e Leibniz e ainda é, até certo ponto, uma área ativa de pesquisa hoje.

Vários matemáticos, incluindo Maclaurin , tentaram provar a solidez do uso de infinitesimais, mas só 150 anos depois, devido ao trabalho de Cauchy e Weierstrass , finalmente foi encontrada uma maneira de evitar meras "noções" de quantidades infinitamente pequenas. . As bases do cálculo diferencial e integral foram lançadas. No Cours d'Analyse de Cauchy , encontramos uma ampla gama de abordagens fundamentais, incluindo uma definição de continuidade em termos de infinitesimais e um protótipo (um tanto impreciso) de uma definição (ε, δ) de limite na definição de diferenciação. Em seu trabalho, Weierstrass formalizou o conceito de limite e eliminou infinitesimais (embora sua definição possa realmente validar infinitesimais nilsquare ). Seguindo o trabalho de Weierstrass, tornou-se comum basear o cálculo em limites em vez de quantidades infinitesimais, embora o assunto ainda seja ocasionalmente chamado de "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann usou essas ideias para dar uma definição precisa da integral. Foi também durante este período que as idéias do cálculo foram generalizadas para o plano complexo com o desenvolvimento da análise complexa .

Na matemática moderna, os fundamentos do cálculo estão incluídos no campo da análise real , que contém definições completas e provas dos teoremas do cálculo. O alcance do cálculo também foi bastante ampliado. Henri Lebesgue inventou a teoria da medida , baseada em desenvolvimentos anteriores de Émile Borel , e a usou para definir integrais de todas as funções, exceto as mais patológicas . Laurent Schwartz introduziu distribuições , que podem ser usadas para obter a derivada de qualquer função.

Limites não são a única abordagem rigorosa para os fundamentos do cálculo. Outra maneira é usar a análise não padronizada de Abraham Robinson . A abordagem de Robinson, desenvolvida na década de 1960, usa maquinário técnico da lógica matemática para aumentar o sistema de números reais com números infinitesimais e infinitos , como na concepção original de Newton-Leibniz. Os números resultantes são chamados de números hiper-reais e podem ser usados ​​para fornecer um desenvolvimento semelhante ao de Leibniz das regras usuais de cálculo. Há também uma análise infinitesimal suave , que difere da análise não padronizada na medida em que obriga a negligenciar infinitesimais de maior potência durante as derivações. Com base nas ideias de FW Lawvere e empregando os métodos da teoria das categorias , a análise infinitesimal suave vê todas as funções como sendo contínuas e incapazes de serem expressas em termos de entidades discretas . Um aspecto dessa formulação é que a lei do terceiro excluído não se aplica. A lei do terceiro excluído também é rejeitada na matemática construtiva , um ramo da matemática que insiste que as provas da existência de um número, função ou outro objeto matemático devem fornecer uma construção do objeto. Reformulações de cálculo em uma estrutura construtiva geralmente fazem parte do assunto da análise construtiva .

Significado

Embora muitas das ideias de cálculo tenham sido desenvolvidas anteriormente na Grécia , China , Índia , Iraque, Pérsia e Japão , o uso do cálculo começou na Europa, durante o século XVII, quando Newton e Leibniz desenvolveram o trabalho de matemáticos anteriores para apresentar seus princípios básicos. O polímata húngaro John von Neumann escreveu sobre este trabalho,

O cálculo foi a primeira conquista da matemática moderna e é difícil superestimar sua importância. Acho que define de forma mais inequívoca do que qualquer outra coisa o início da matemática moderna, e o sistema de análise matemática, que é seu desenvolvimento lógico, ainda constitui o maior avanço técnico no pensamento exato.

As aplicações do cálculo diferencial incluem cálculos envolvendo velocidade e aceleração , a inclinação de uma curva e otimização . As aplicações do cálculo integral incluem cálculos envolvendo área, volume , comprimento do arco , centro de massa , trabalho e pressão . Aplicações mais avançadas incluem séries de potência e séries de Fourier .

O cálculo também é usado para obter uma compreensão mais precisa da natureza do espaço, tempo e movimento. Durante séculos, matemáticos e filósofos lutaram com paradoxos envolvendo divisão por zero ou somas de números infinitos. Essas questões surgem no estudo do movimento e da área. O antigo filósofo grego Zenão de Elea deu vários exemplos famosos de tais paradoxos . O cálculo fornece ferramentas, especialmente o limite e a série infinita , que resolvem os paradoxos.

Princípios

Limites e infinitesimais

O cálculo geralmente é desenvolvido trabalhando com quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de fazer isso foi por infinitesimais . Estes são objetos que podem ser tratados como números reais, mas que são, em certo sentido, "infinitamente pequenos". Por exemplo, um número infinitesimal pode ser maior que 0, mas menor que qualquer número na sequência 1, 1/2, 1/3, ... e, portanto, menor que qualquer número real positivo . Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Os símbolos e foram considerados infinitesimais, e a derivada era sua razão.

A abordagem infinitesimal caiu em desuso no século 19 porque era difícil tornar a noção de um infinitesimal precisa. No final do século 19, os infinitesimais foram substituídos na academia pela abordagem epsilon, delta dos limites . Os limites descrevem o comportamento de uma função em uma determinada entrada em termos de seus valores nas entradas próximas. Eles capturam o comportamento em pequena escala usando a estrutura intrínseca do sistema de números reais (como um espaço métrico com a propriedade de menor limite superior ). Neste tratamento, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular certos limites. Os infinitesimais são substituídos por sequências de números cada vez menores, e o comportamento infinitamente pequeno de uma função é encontrado tomando-se o comportamento limite dessas sequências. Os limites foram pensados ​​para fornecer uma base mais rigorosa para o cálculo e, por esse motivo, eles se tornaram a abordagem padrão durante o século XX. No entanto, o conceito infinitesimal foi revivido no século 20 com a introdução da análise não padronizada e da análise infinitesimal suave , que forneceu bases sólidas para a manipulação de infinitesimais.

Cálculo diferencial

Reta tangente em ( x 0 , f ( x 0 )) . A derivada f′ ( x ) de uma curva em um ponto é a inclinação (elevação sobre corrida) da linha tangente àquela curva naquele ponto.

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedades e aplicações da derivada de uma função. O processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação . Dada uma função e um ponto no domínio, a derivada nesse ponto é uma forma de codificar o comportamento em pequena escala da função próximo a esse ponto. Ao encontrar a derivada de uma função em cada ponto de seu domínio, é possível produzir uma nova função, denominada função derivada ou apenas derivada da função original. Em termos formais, a derivada é um operador linear que toma uma função como entrada e produz uma segunda função como saída. Isso é mais abstrato do que muitos dos processos estudados na álgebra elementar, onde as funções geralmente inserem um número e produzem outro número. Por exemplo, se a função de duplicação recebe a entrada três, ela gera seis, e se a função de quadratura recebe a entrada três, ela gera nove. A derivada, no entanto, pode tomar a função de quadratura como uma entrada. Isso significa que a derivada pega todas as informações da função de quadratura - como dois são enviadas para quatro, três são enviadas para nove, quatro são enviadas para dezesseis e assim por diante - e usam essas informações para produzir outra função. A função produzida pela diferenciação da função de quadratura acaba sendo a função de duplicação.

Em termos mais explícitos, a "função de duplicação" pode ser denotada por g ( x ) = 2 xe a "função de quadratura" por f ( x ) = x 2 . A "derivada" agora toma a função f ( x ) , definida pela expressão " x 2 ", como uma entrada, que é toda a informação - como dois são enviados para quatro, três são enviados para nove, quatro são enviados a dezesseis, e assim por diante - e usa essa informação para produzir outra função, a função g ( x ) = 2 x , como se verá.

Na notação de Lagrange , o símbolo para uma derivada é uma marca semelhante a uma apóstrofe chamada de primo . Assim, a derivada de uma função chamada f é denotada por f′ , pronuncia-se "f linha" ou "f traço". Por exemplo, se f ( x ) = x 2 é a função de quadratura, então f′ ( x ) = 2 x é sua derivada (a função de duplicação g acima).

Se a entrada da função representa o tempo, então a derivada representa a mudança em relação ao tempo. Por exemplo, se f é uma função que toma um tempo como entrada e dá a posição de uma bola naquele momento como saída, então a derivada de f é como a posição está variando no tempo, ou seja, é a velocidade do bola.

Se uma função for linear (isto é, se o gráfico da função for uma linha reta), então a função pode ser escrita como y = mx + b , onde x é a variável independente, y é a variável dependente, b é o interceptação y , e:

Isso fornece um valor exato para a inclinação de uma linha reta. Entretanto, se o gráfico da função não for uma linha reta, então a variação em y dividida pela variação em x varia. Derivativos dão um significado exato à noção de mudança na produção em relação à mudança na entrada. Para ser concreto, seja f uma função e fixe um ponto a no domínio de f . ( a , f ( a )) é um ponto no gráfico da função. Se h é um número próximo de zero, então a + h é um número próximo de a . Portanto, ( a + h , f ( a + h )) está próximo de ( a , f ( a )) . A inclinação entre esses dois pontos é

Essa expressão é chamada de quociente de diferença . Uma linha que passa por dois pontos em uma curva é chamada de linha secante , então m é a inclinação da linha secante entre ( a , f ( a )) e ( a + h , f ( a + h )) . A reta secante é apenas uma aproximação do comportamento da função no ponto a porque não leva em conta o que acontece entre a e a + h . Não é possível descobrir o comportamento em a definindo h como zero porque isso exigiria a divisão por zero , que é indefinido. A derivada é definida tomando o limite quando h tende a zero, o que significa que considera o comportamento de f para todos os pequenos valores de h e extrai um valor consistente para o caso em que h é igual a zero:

Geometricamente, a derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em a . A reta tangente é um limite de retas secantes assim como a derivada é um limite de quocientes de diferença. Por esse motivo, a derivada às vezes é chamada de inclinação da função f .

Aqui está um exemplo particular, a derivada da função de quadratura na entrada 3. Seja f ( x ) = x 2 a função de quadratura.

A derivada f′ ( x ) de uma curva em um ponto é a inclinação da reta tangente àquela curva naquele ponto. Essa inclinação é determinada considerando o valor limite das inclinações das linhas secantes. Aqui a função envolvida (desenhada em vermelho) é f ( x ) = x 3x . A reta tangente (em verde) que passa pelo ponto (−3/2, −15/8) tem uma inclinação de 23/4. Observe que as escalas vertical e horizontal nesta imagem são diferentes.

A inclinação da reta tangente à função de quadratura no ponto (3, 9) é 6, ou seja, ela sobe seis vezes mais rápido do que para a direita. O processo de limite que acabamos de descrever pode ser realizado para qualquer ponto no domínio da função de quadratura. Isso define a função derivada da função de quadratura ou apenas a derivada da função de quadratura para abreviar. Um cálculo semelhante ao anterior mostra que a derivada da função de quadratura é a função de duplicação.

notação de Leibniz

Uma notação comum, introduzida por Leibniz, para a derivada no exemplo acima é

Numa abordagem baseada em limites, o símbolo morrer/dxdeve ser interpretado não como o quociente de dois números, mas como um atalho para o limite calculado acima. Leibniz, no entanto, pretendia que representasse o quociente de dois números infinitesimalmente pequenos, dy sendo a variação infinitesimalmente pequena em y causada por uma variação infinitesimalmente pequena dx aplicada a x . Também podemos pensar emd/dxcomo um operador de diferenciação, que toma uma função como entrada e fornece outra função, a derivada, como saída. Por exemplo:

Nesse uso, o dx no denominador é lido como "em relação a x ". Outro exemplo de notação correta poderia ser:

Mesmo quando o cálculo é desenvolvido usando limites em vez de infinitesimais, é comum manipular símbolos como dx e dy como se fossem números reais; embora seja possível evitar tais manipulações, às vezes elas são notacionalmente convenientes para expressar operações como a derivada total .

Cálculo integral

A integração pode ser pensada como a medição da área sob uma curva, definida por f ( x ) , entre dois pontos (aqui a e b ).
Uma sequência de somas de Riemann de ponto médio sobre uma partição regular de um intervalo: a área total dos retângulos converge para a integral da função.

O cálculo integral é o estudo das definições, propriedades e aplicações de dois conceitos relacionados, a integral indefinida e a integral definida . O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado de integração . A integral indefinida, também conhecida como antiderivada , é a operação inversa da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F . (Esse uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.) A integral definida insere uma função e gera um número, que fornece a soma algébrica das áreas entre o gráfico da entrada e o eixo x . A definição técnica da integral definida envolve o limite de uma soma de áreas de retângulos, chamada soma de Riemann .

Um exemplo motivador é a distância percorrida em um determinado tempo. Se a velocidade for constante, apenas a multiplicação é necessária:

Mas se a velocidade mudar, é necessário um método mais poderoso para encontrar a distância. Um desses métodos é aproximar a distância percorrida dividindo o tempo em muitos intervalos curtos de tempo, multiplicando o tempo decorrido em cada intervalo por uma das velocidades nesse intervalo e, em seguida, tomando a soma (uma soma de Riemann ) do distância aproximada percorrida em cada intervalo. A ideia básica é que, se passar apenas um curto período de tempo, a velocidade permanecerá mais ou menos a mesma. No entanto, uma soma de Riemann fornece apenas uma aproximação da distância percorrida. Devemos tomar o limite de todas essas somas de Riemann para encontrar a distância exata percorrida.

Quando a velocidade é constante, a distância total percorrida em um determinado intervalo de tempo pode ser calculada multiplicando-se a velocidade pelo tempo. Por exemplo, viajar a 80 km/h por 3 horas resulta em uma distância total de 150 milhas. A plotagem da velocidade em função do tempo produz um retângulo com altura igual à velocidade e largura igual ao tempo decorrido. Portanto, o produto da velocidade e do tempo também calcula a área retangular sob a curva de velocidade (constante). Essa conexão entre a área sob uma curva e a distância percorrida pode ser estendida a qualquer região de formato irregular que exiba uma velocidade flutuante em um determinado período de tempo. Se f ( x ) representa a velocidade conforme ela varia no tempo, a distância percorrida entre os tempos representados por a e b é a área da região entre f ( x ) e o eixo x , entre x = a e x = b .

Para aproximar essa área, um método intuitivo seria dividir a distância entre a e b em vários segmentos iguais, sendo o comprimento de cada segmento representado pelo símbolo Δ x . Para cada pequeno segmento, podemos escolher um valor da função f ( x ) . Chame esse valor de h . Então a área do retângulo com base Δ x e altura h dá a distância (tempo Δ x multiplicado pela velocidade h ) percorrida naquele segmento. Associado a cada segmento está o valor médio da função acima dele, f ( x ) = h . A soma de todos esses retângulos fornece uma aproximação da área entre o eixo e a curva, que é uma aproximação da distância total percorrida. Um valor menor para Δ x dará mais retângulos e, na maioria dos casos, uma aproximação melhor, mas para uma resposta exata, precisamos ter um limite quando Δ x se aproximar de zero.

O símbolo da integração é , um S alongado escolhido para sugerir a soma. A integral definida é escrita como:

e é lido como "a integral de a até b de f -of- x em relação a x ." A notação de Leibniz dx destina-se a sugerir a divisão da área sob a curva em um número infinito de retângulos, de modo que sua largura Δ x se torne o infinitamente pequeno dx .

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita:

Funções que diferem apenas por uma constante têm a mesma derivada, e pode-se mostrar que a antiderivada de uma dada função é na verdade uma família de funções que diferem apenas por uma constante. Como a derivada da função y = x 2 + C , onde C é uma constante qualquer, é y′ = 2 x , a antiderivada desta última é dada por:

A constante não especificada C presente na integral indefinida ou antiderivada é conhecida como a constante de integração .

teorema fundamental

O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são operações inversas. Mais precisamente, ela relaciona os valores das antiderivadas com as integrais definidas. Como geralmente é mais fácil calcular uma antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo fornece uma maneira prática de calcular integrais definidas. Também pode ser interpretado como uma declaração precisa do fato de que a diferenciação é o inverso da integração.

O teorema fundamental do cálculo afirma: Se uma função f é contínua no intervalo [ a , b ] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo ( a , b ) , então

Além disso, para cada x no intervalo ( a , b ) ,

Essa percepção, feita por Newton e Leibniz , foi fundamental para a proliferação de resultados analíticos depois que seu trabalho se tornou conhecido. (A extensão em que Newton e Leibniz foram influenciados por predecessores imediatos, e particularmente o que Leibniz pode ter aprendido com o trabalho de Isaac Barrow , é difícil de determinar por causa da disputa de prioridade entre eles.) O teorema fundamental fornece um método algébrico de computação muitas integrais definidas - sem executar processos de limite - encontrando fórmulas para antiderivadas . É também uma solução protótipo de uma equação diferencial . As equações diferenciais relacionam uma função desconhecida com suas derivadas e são onipresentes nas ciências.

Formulários

A espiral logarítmica da concha Nautilus é uma imagem clássica usada para representar o crescimento e a mudança relacionados ao cálculo.

O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, ciências atuariais , ciências da computação , estatísticas , engenharia , economia , negócios , medicina , demografia e em outros campos onde um problema pode ser modelado matematicamente e uma solução ideal é desejada. Ele permite ir de taxas de variação (não constantes) para a variação total ou vice-versa, e muitas vezes ao estudar um problema conhecemos uma e estamos tentando encontrar a outra. O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, pode ser usado com álgebra linear para encontrar a aproximação linear de "melhor ajuste" para um conjunto de pontos em um domínio. Ou pode ser usado na teoria da probabilidade para determinar o valor esperado de uma variável aleatória contínua dada uma função de densidade de probabilidade . Na geometria analítica , o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar pontos altos e baixos (máximos e mínimos), inclinação, concavidade e pontos de inflexão . O cálculo também é usado para encontrar soluções aproximadas para equações; na prática, é a maneira padrão de resolver equações diferenciais e encontrar raízes na maioria das aplicações. Exemplos são métodos como o método de Newton , iteração de ponto fixo e aproximação linear . Por exemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximar cursos curvos em ambientes de gravidade zero.

A física faz uso particular do cálculo; todos os conceitos da mecânica clássica e do eletromagnetismo são relacionados através do cálculo. A massa de um objeto de densidade conhecida , o momento de inércia dos objetos e as energias potenciais devido às forças gravitacionais e eletromagnéticas podem ser encontrados pelo uso do cálculo. Um exemplo do uso do cálculo na mecânica é a segunda lei do movimento de Newton , que afirma que a derivada do momento de um objeto em relação ao tempo é igual à força resultante sobre ele. Alternativamente, a segunda lei de Newton pode ser expressa dizendo que a força resultante é igual à massa do objeto vezes sua aceleração , que é a derivada temporal da velocidade e, portanto, a segunda derivada temporal da posição espacial. Começando por saber como um objeto está acelerando, usamos o cálculo para derivar seu caminho.

A teoria do eletromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa o cálculo para determinar as taxas de reação e estudar o decaimento radioativo. Em biologia, a dinâmica populacional começa com as taxas de reprodução e mortalidade para modelar as mudanças populacionais.

O teorema de Green , que dá a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região plana D limitada por C, é aplicado em um instrumento conhecido como planímetro, que é usado para calcular a área de um plano superfície em um desenho. Por exemplo, pode ser usado para calcular a quantidade de área ocupada por um canteiro de flores ou piscina de formato irregular ao projetar o layout de uma propriedade.

No campo da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo de ramificação ideal de um vaso sanguíneo para maximizar o fluxo. O cálculo pode ser aplicado para entender a rapidez com que uma droga é eliminada de um corpo ou a rapidez com que um tumor cancerígeno cresce.

Na economia, o cálculo permite a determinação do lucro máximo, fornecendo uma maneira de calcular facilmente o custo marginal e a receita marginal .

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos