Infinito - Infinity

Infinito é aquilo que é ilimitado ou infinito, ou algo que é maior do que qualquer número real ou natural . Freqüentemente, é denotado pelo símbolo do infinito .

Desde a época dos gregos antigos , a natureza filosófica do infinito foi o assunto de muitas discussões entre os filósofos. No século 17, com a introdução do símbolo do infinito e do cálculo infinitesimal , os matemáticos começaram a trabalhar com séries infinitas e o que alguns matemáticos (incluindo l'Hôpital e Bernoulli ) consideravam como quantidades infinitamente pequenas, mas o infinito continuou a ser associado ao infinito processos. Enquanto os matemáticos lutavam com os fundamentos do cálculo, não ficou claro se o infinito poderia ser considerado um número ou magnitude e, em caso afirmativo, como isso poderia ser feito. No final do século 19, Georg Cantor ampliou o estudo matemático do infinito estudando conjuntos infinitos e números infinitos , mostrando que eles podem ser de vários tamanhos. Por exemplo, se uma linha é vista como o conjunto de todos os seus pontos, seu número infinito (ou seja, a cardinalidade da linha) é maior do que o número de inteiros . Nesse uso, infinito é um conceito matemático, e objetos matemáticos infinitos podem ser estudados, manipulados e usados ​​como qualquer outro objeto matemático.

O conceito matemático de infinito refina e estende o antigo conceito filosófico, em particular ao introduzir infinitos tamanhos diferentes de conjuntos infinitos. Entre os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , em que a maior parte da matemática moderna pode ser desenvolvida, está o axioma do infinito , que garante a existência de conjuntos infinitos. O conceito matemático de infinito e a manipulação de conjuntos infinitos são usados ​​em toda a matemática, mesmo em áreas como a combinatória, que podem parecer não ter nada a ver com eles. Por exemplo, a prova de Wiles do Último Teorema de Fermat depende implicitamente da existência de conjuntos infinitos muito grandes para resolver um problema antigo que é declarado em termos de aritmética elementar .

Em física e cosmologia , se o Universo é infinito é uma questão em aberto.

História

As culturas antigas tinham várias idéias sobre a natureza do infinito. Os antigos indianos e gregos não definiam o infinito em um formalismo preciso como a matemática moderna e, em vez disso, abordavam o infinito como um conceito filosófico.

Grego antigo

A ideia mais antiga registrada de infinito pode ser a de Anaximandro (c. 610 - c. 546 aC), um filósofo grego pré-socrático . Ele usou a palavra apeiron , que significa "ilimitado", "indefinido", e talvez possa ser traduzido como "infinito".

Aristóteles (350 aC) distinguiu potencial infinito do infinito real , que ele considerava como devido impossível os vários paradoxos que parecia produzir. Argumentou-se que, de acordo com esta visão, os gregos helenísticos tinham um "horror do infinito", o que explicaria, por exemplo, por que Euclides (c. 300 aC) não disse que há uma infinidade de primos, mas sim "Os números primos são mais do que qualquer multidão atribuída de números primos." Também foi afirmado que, ao provar a infinitude dos números primos , Euclides "foi o primeiro a superar o horror do infinito". Há uma controvérsia semelhante sobre o postulado paralelo de Euclides , às vezes traduzido

Se uma linha reta caindo sobre duas [outras] linhas retas faz ângulos internos no mesmo lado [dela mesma cuja soma é] menor que dois ângulos retos, então as duas [outras] linhas retas, sendo produzidas ao infinito, se encontram naquele lado [da linha reta original] que a [soma dos ângulos internos] é menor que dois ângulos retos.

Outros tradutores, entretanto, preferem a tradução "as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente ...", evitando assim a implicação de que Euclides estava confortável com a noção de infinito. Finalmente, foi sustentado que uma reflexão sobre o infinito, longe de provocar um "horror do infinito", sustentou toda a filosofia grega inicial e que o "infinito potencial" de Aristóteles é uma aberração da tendência geral deste período.

Zenão: Aquiles e a tartaruga

Zenão de Elea ( c.  495 - c.  430 aC) não apresentou nenhuma opinião a respeito do infinito. No entanto, seus paradoxos, especialmente "Aquiles e a tartaruga", foram contribuições importantes na medida em que deixaram clara a inadequação das concepções populares. Os paradoxos foram descritos por Bertrand Russell como "incomensuravelmente sutis e profundos".

Aquiles corre com uma tartaruga, dando a esta última uma vantagem.

Etapa # 1: Aquiles corre para o ponto de partida da tartaruga enquanto a tartaruga caminha para a frente.
Etapa 2: Aquiles avança para onde a tartaruga estava no final da Etapa 1, enquanto a tartaruga vai ainda mais longe.
Etapa 3: Aquiles avança para onde a tartaruga estava no final da Etapa 2, enquanto a tartaruga vai ainda mais longe.
Etapa 4: Aquiles avança para onde a tartaruga estava no final da Etapa 3, enquanto a tartaruga vai ainda mais longe.

Etc.

Aparentemente, Aquiles nunca ultrapassa a tartaruga, uma vez que, independentemente de quantos passos ele dê, a tartaruga permanece à sua frente.

Zenão não estava tentando fazer uma afirmação sobre o infinito. Como membro da escola eleatica que considerava o movimento uma ilusão, ele considerou um erro supor que Aquiles pudesse correr. Os pensadores subsequentes, achando essa solução inaceitável, lutaram por mais de dois milênios para encontrar outras fraquezas no argumento.

Finalmente, em 1821, Augustin-Louis Cauchy forneceu uma definição satisfatória de um limite e uma prova de que, para 0 < x <1 ,

.

Suponha que Aquiles esteja correndo a 10 metros por segundo, a tartaruga esteja andando a 0,1 metro por segundo e a última tenha uma vantagem de 100 metros. A duração da perseguição se encaixa no padrão de Cauchy com a = 10 segundos e x = 0,01 . Aquiles ultrapassa a tartaruga; leva ele

Índio primitivo

O texto matemático Jain Surya Prajnapti (c. 4o-3o século AEC) classifica todos os números em três conjuntos: enumeráveis , inumeráveis ​​e infinitos. Cada um deles foi subdividido em três ordens:

  • Enumeráveis: mais baixo, intermediário e mais alto
  • Inumeráveis: quase inumeráveis, verdadeiramente inumeráveis ​​e inumeráveis
  • Infinito: quase infinito, verdadeiramente infinito, infinitamente infinito

Século 17

No século 17, os matemáticos europeus começaram a usar números infinitos e expressões infinitas de uma forma sistemática. Em 1655, John Wallis usou pela primeira vez a notação para esse número em seu De sectionibus conicis e o explorou em cálculos de área dividindo a região em faixas infinitesimais de largura na ordem de Mas em Arithmetica infinitorum (também em 1655), ele indica séries infinitas, produtos infinitos e frações contínuas infinitas escrevendo alguns termos ou fatores e, em seguida, acrescentando "& c.", como em "1, 6, 12, 18, 24, & c."

Em 1699, Isaac Newton escreveu sobre equações com um número infinito de termos em sua obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas .

Matemática

Hermann Weyl abriu um discurso matemático-filosófico dado em 1930 com:

A matemática é a ciência do infinito.

Símbolo

O símbolo do infinito (às vezes chamado de lemniscata ) é um símbolo matemático que representa o conceito de infinito. O símbolo é codificado em Unicode em U + 221EINFINITY (HTML  · ) e em LaTeX como . &#8734;  &infin;\infty

Foi introduzido em 1655 por John Wallis e, desde a sua introdução, também tem sido usado fora da matemática no misticismo moderno e na simbologia literária .

Cálculo

Gottfried Leibniz , um dos co-inventores do cálculo infinitesimal , especulou amplamente sobre os números infinitos e seu uso na matemática. Para Leibniz, tanto os infinitesimais quanto as quantidades infinitas eram entidades ideais, não da mesma natureza das quantidades apreciáveis, mas gozando das mesmas propriedades de acordo com a Lei da Continuidade .

Análise real

Na análise real , o símbolo , chamado "infinito", é usado para denotar um limite ilimitado . A notação significa que  aumenta sem limite e significa que  diminui sem limite. Por exemplo, se para cada  , então

  • significa que não limita uma área finita de a
  • significa que a área abaixo é infinita.
  • significa que a área total sob é finita e é igual a

O infinito também pode ser usado para descrever séries infinitas , como segue:

  • significa que a soma da série infinita converge para algum valor real
  • significa que a soma das séries infinitas diverge apropriadamente para o infinito, no sentido de que as somas parciais aumentam sem limites.

Além de definir um limite, o infinito também pode ser usado como um valor no sistema de número real estendido. Os pontos marcados e podem ser adicionados ao espaço topológico dos números reais, produzindo a compactação de dois pontos dos números reais. Adicionar propriedades algébricas a isso nos dá os números reais estendidos . Também podemos tratar e como o mesmo, levando à compactação de um ponto dos números reais, que é a linha projetiva real . A geometria projetiva também se refere a uma linha no infinito na geometria plana, um plano no infinito no espaço tridimensional e um hiperplano no infinito para dimensões gerais , cada um consistindo de pontos no infinito .

Análise complexa

Por projeção estereográfica , o plano complexo pode ser "embrulhado" em uma esfera, com o ponto superior da esfera correspondendo ao infinito. Isso é chamado de esfera de Riemann .

Na análise complexa, o símbolo , denominado "infinito", denota um limite infinito sem sinal . significa que a magnitude  de  cresce além de qualquer valor atribuído. Um ponto rotulado pode ser adicionado ao plano complexo como um espaço topológico dando a compactação de um ponto do plano complexo. Quando isso é feito, o espaço resultante é uma variedade complexa unidimensional , ou superfície de Riemann , chamada de plano complexo estendido ou esfera de Riemann . Operações aritméticas semelhantes às fornecidas acima para os números reais estendidos também podem ser definidas, embora não haja distinção nos sinais (o que leva à única exceção de que o infinito não pode ser adicionado a ele mesmo). Por outro lado, esse tipo de infinito permite a divisão por zero , ou seja, para qualquer número complexo diferente de zero  . Neste contexto, é frequentemente útil considerar funções meromórficas como mapas na esfera de Riemann tomando o valor de nos pólos. O domínio de uma função de valor complexo pode ser estendido para incluir o ponto no infinito também. Um exemplo importante de tais funções é o grupo de transformações de Möbius (ver Transformação de Möbius § Visão geral ).

Análise fora do padrão

Infinitesimais (ε) e infinitos (ω) na reta numérica hiperreal (1 / ε = ω / 1)

A formulação original do cálculo infinitesimal por Isaac Newton e Gottfried Leibniz usava quantidades infinitesimais . No século 20, foi demonstrado que esse tratamento poderia ser colocado em uma base rigorosa por meio de vários sistemas lógicos , incluindo análise infinitesimal suave e análise não padronizada . No último, infinitesimais são invertíveis e seus inversos são números infinitos. Os infinitos, neste sentido, fazem parte de um campo hiperreal ; não há equivalência entre eles como com os transfinitos cantorianos . Por exemplo, se H é um número infinito neste sentido, então H + H = 2H e H + 1 são números infinitos distintos. Esta abordagem de cálculo não padrão é totalmente desenvolvida em Keisler (1986) .

Teoria de conjuntos

Correspondência um a um entre um conjunto infinito e seu subconjunto adequado

Uma forma diferente de "infinito" são os infinitos ordinal e cardinal da teoria dos conjuntos - um sistema de números transfinitos desenvolvido pela primeira vez por Georg Cantor . Nesse sistema, o primeiro cardinal transfinito é aleph-null ( 0 ), a cardinalidade do conjunto de números naturais . Esta concepção matemática moderna do infinito quantitativo desenvolvida no final do século 19 a partir de obras de Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind e outros - usando a ideia de coleções ou conjuntos.

A abordagem de Dedekind era essencialmente adotar a ideia de correspondência um a um como padrão para comparar o tamanho dos conjuntos e rejeitar a visão de Galileu (derivada de Euclides ) de que o todo não pode ter o mesmo tamanho da parte (no entanto , veja o paradoxo de Galileu onde ele conclui que inteiros quadrados positivos são do mesmo tamanho que inteiros positivos). Um conjunto infinito pode simplesmente ser definido como tendo o mesmo tamanho de pelo menos uma de suas partes adequadas ; essa noção de infinito é chamada de infinito Dedekind . O diagrama à direita dá um exemplo: vendo as linhas como conjuntos infinitos de pontos, a metade esquerda da linha azul inferior pode ser mapeada de maneira um a um (correspondências verdes) para a linha azul superior e, por sua vez , para toda a linha azul inferior (correspondências vermelhas); portanto, toda a linha azul inferior e sua metade esquerda têm a mesma cardinalidade, ou seja, "tamanho".

Cantor definiu dois tipos de números infinitos: números ordinais e números cardinais . Os números ordinais caracterizam conjuntos bem ordenados ou a contagem continua até qualquer ponto de parada, incluindo pontos após um número infinito já ter sido contado. Generalizar sequências finitas e infinitas (ordinárias) que são mapas a partir de inteiros positivos leva a mapeamentos de números ordinais a sequências transfinitas. Os números cardinais definem o tamanho dos conjuntos, significando quantos membros eles contêm, e podem ser padronizados escolhendo o primeiro número ordinal de um determinado tamanho para representar o número cardinal daquele tamanho. O menor infinito ordinal é o dos inteiros positivos, e qualquer conjunto que tenha a cardinalidade dos inteiros é contavelmente infinito . Se um conjunto for muito grande para ser colocado em correspondência um a um com os inteiros positivos, ele é chamado de incontável . As opiniões de Cantor prevaleceram e a matemática moderna aceita o infinito real como parte de uma teoria consistente e coerente. Certos sistemas numéricos estendidos, como os números hiperreais, incorporam os números ordinários (finitos) e os números infinitos de tamanhos diferentes.

Cardinalidade do continuum

Um dos resultados mais importantes de Cantor foi que a cardinalidade do continuum é maior do que a dos números naturais ; isto é, existem mais números reais R de números naturais N . Ou seja, Cantor mostrou isso .

A hipótese do contínuo afirma que não há número cardinal entre a cardinalidade dos reais e a cardinalidade dos números naturais, ou seja ,.

Esta hipótese não pode ser provada ou refutada dentro da amplamente aceita teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , mesmo assumindo o Axioma da Escolha .

A aritmética cardinal pode ser usada para mostrar não só que o número de pontos em uma reta numérica real é igual ao número de pontos em qualquer segmento dessa reta , mas também que isso é igual ao número de pontos em um plano e, de fato , em qualquer espaço de dimensão finita .

As três primeiras etapas de uma construção fractal cujo limite é uma curva de preenchimento de espaço , mostrando que existem tantos pontos em uma linha unidimensional quanto em um quadrado bidimensional.

O primeiro desses resultados é aparente ao considerar, por exemplo, a função tangente , que fornece uma correspondência um-para-um entre o intervalo ( - π/2, π/2) E R .

O segundo resultado foi provado por Cantor em 1878, mas só se tornou intuitivamente aparente em 1890, quando Giuseppe Peano introduziu as curvas de preenchimento de espaço , linhas curvas que se torcem e giram o suficiente para preencher todo o quadrado, cubo , hipercubo ou espaço de dimensão finita. Essas curvas podem ser usadas para definir uma correspondência um a um entre os pontos de um lado de um quadrado e os pontos do quadrado.

Geometria

Até o final do século 19, o infinito raramente era discutido na geometria , exceto no contexto de processos que podiam ser continuados sem qualquer limite. Por exemplo, uma linha era o que agora é chamado de segmento de linha , com a condição de que se pode estendê-la até onde quiser; mas estendê-lo infinitamente estava fora de questão. Da mesma forma, uma linha geralmente não era considerada composta de um número infinito de pontos, mas era um local onde um ponto pode ser colocado. Mesmo que haja um número infinito de posições possíveis, apenas um número finito de pontos poderia ser colocado em uma linha. Uma testemunha disso é a expressão "o locus de um ponto que satisfaz alguma propriedade" (singular), onde os matemáticos modernos geralmente diriam "o conjunto dos pontos que possuem a propriedade" (plural).

Uma das raras exceções de um conceito matemático envolvendo o infinito real era a geometria projetiva , onde pontos no infinito são adicionados ao espaço euclidiano para modelar o efeito de perspectiva que mostra linhas paralelas se cruzando "no infinito". Matematicamente, os pontos no infinito têm a vantagem de permitir que alguns casos especiais não sejam considerados. Por exemplo, em um plano projetivo , duas linhas distintas se cruzam em exatamente um ponto, ao passo que, sem pontos no infinito, não há pontos de intersecção para linhas paralelas. Portanto, as linhas paralelas e não paralelas devem ser estudadas separadamente na geometria clássica, enquanto não precisam ser distinguidas na geometria projetiva.

Antes do uso da teoria dos conjuntos para a fundação da matemática , pontos e linhas eram vistos como entidades distintas, e um ponto podia ser localizado em uma linha . Com o uso universal da teoria dos conjuntos em matemática, o ponto de vista mudou dramaticamente: uma linha agora é considerada como o conjunto de seus pontos , e diz-se que um ponto pertence a uma linha em vez de estar localizado em uma linha (no entanto, a última frase ainda é usada).

Em particular, na matemática moderna, as linhas são conjuntos infinitos .

Dimensão infinita

Os espaços vetoriais que ocorrem na geometria clássica têm sempre uma dimensão finita , geralmente dois ou três. No entanto, isso não está implícito na definição abstrata de um espaço vetorial, e espaços vetoriais de dimensão infinita podem ser considerados. Esse é normalmente o caso na análise funcional, onde os espaços de função são geralmente espaços vetoriais de dimensão infinita.

Em topologia, algumas construções podem gerar espaços topológicos de dimensão infinita. Em particular, este é o caso de espaços de loop iterados .

Fractais

A estrutura de um objeto fractal é reiterada em suas ampliações. Fractais podem ser ampliados indefinidamente sem perder sua estrutura e se tornarem "lisos"; eles têm perímetros infinitos e podem ter áreas infinitas ou finitas. Uma dessas curvas fractais com perímetro infinito e área finita é o floco de neve de Koch .

Matemática sem infinito

Leopold Kronecker era cético em relação à noção de infinito e como seus colegas matemáticos a usavam nas décadas de 1870 e 1880. Esse ceticismo foi desenvolvido na filosofia da matemática chamada finitismo , uma forma extrema de filosofia matemática nas escolas filosóficas e matemáticas gerais do construtivismo e do intuicionismo .

Física

Na física , aproximações de números reais são usadas para medições contínuas e números naturais são usados ​​para medições discretas (isto é, contagem). Existem conceitos de coisas infinitas, como uma onda plana infinita , mas não há meios experimentais para gerá-los.

Cosmologia

A primeira proposta publicada de que o universo é infinito veio de Thomas Digges em 1576. Oito anos depois, em 1584, o filósofo e astrônomo italiano Giordano Bruno propôs um universo ilimitado em On the Infinite Universe and Worlds : "Inúmeros sóis existem; inúmeras terras giram em torno desses sóis de maneira semelhante à maneira como os sete planetas giram em torno de nosso sol. Os seres vivos habitam esses mundos. "

Os cosmólogos há muito procuram descobrir se o infinito existe em nosso universo físico : existe um número infinito de estrelas? O universo tem volume infinito? O espaço "continua para sempre" ? Esta ainda é uma questão em aberto para a cosmologia . A questão de ser infinito está logicamente separada da questão de ter limites. A superfície bidimensional da Terra, por exemplo, é finita, mas não tem borda. Viajando em linha reta em relação à curvatura da Terra, a pessoa eventualmente retornará ao ponto exato de onde partiu. O universo, pelo menos em princípio, pode ter uma topologia semelhante . Nesse caso, pode-se eventualmente retornar ao ponto de partida depois de viajar em linha reta através do universo por tempo suficiente.

A curvatura do universo pode ser medida por meio de momentos multipolares no espectro da radiação cósmica de fundo . Até o momento, a análise dos padrões de radiação registrados pela espaçonave WMAP sugere que o universo tem uma topologia plana. Isso seria consistente com um universo físico infinito.

No entanto, o universo pode ser finito, mesmo que sua curvatura seja plana. Uma maneira fácil de entender isso é considerar exemplos bidimensionais, como videogames em que itens que saem de uma borda da tela reaparecem na outra. A topologia de tais jogos é toroidal e a geometria é plana. Muitas possibilidades limitadas e planas também existem para o espaço tridimensional.

O conceito de infinito também se estende à hipótese do multiverso , que, quando explicada por astrofísicos como Michio Kaku , postula que existe um número infinito e uma variedade de universos.

Lógica

Na lógica , um argumento de regressão infinita é "um tipo distintamente filosófico de argumento que pretende mostrar que uma tese é defeituosa porque gera uma série infinita quando (forma A) não existe tal série ou (forma B) se ela existisse, o tese não teria o papel (por exemplo, de justificação) que deveria desempenhar. "

Informática

O padrão de ponto flutuante IEEE (IEEE 754) especifica um valor infinito positivo e um valor negativo (e também valores indefinidos ). Eles são definidos como o resultado de estouro aritmético , divisão por zero e outras operações excepcionais.

Algumas linguagens de programação , como Java e J , permitem ao programador um acesso explícito aos valores infinitos positivos e negativos como constantes de linguagem. Eles podem ser usados ​​como maiores e menores elementos , pois comparam (respectivamente) maior ou menor que todos os outros valores. Eles têm usos como valores sentinela em algoritmos que envolvem classificação , pesquisa ou janelamento .

Em linguagens que não possuem maiores e menores elementos, mas permitem a sobrecarga de operadores relacionais , é possível para um programador criar os maiores e menores elementos. Em linguagens que não fornecem acesso explícito a tais valores a partir do estado inicial do programa, mas implementam o tipo de dados de ponto flutuante , os valores infinitos ainda podem ser acessíveis e utilizáveis ​​como resultado de certas operações.

Na programação, um loop infinito é um loop cuja condição de saída nunca é satisfeita, executando indefinidamente.

Artes, jogos e ciências cognitivas

A arte em perspectiva utiliza o conceito de pontos de fuga , correspondendo aproximadamente a pontos matemáticos no infinito , localizados a uma distância infinita do observador. Isso permite que os artistas criem pinturas que representem espaço, distâncias e formas de maneira realista. O artista MC Escher é especificamente conhecido por empregar o conceito de infinito em seu trabalho desta e de outras maneiras.

Variações de xadrez jogadas em um tabuleiro ilimitado são chamadas de xadrez infinito .

O cientista cognitivo George Lakoff considera o conceito de infinito na matemática e nas ciências como uma metáfora. Essa perspectiva é baseada na metáfora básica do infinito (IMC), definida como a sequência sempre crescente <1,2,3, ...>.

O símbolo é freqüentemente usado romanticamente para representar o amor eterno. Vários tipos de joias são moldados em forma de infinito para essa finalidade.

Veja também

Referências

Bibliografia

Fontes

links externos