Generalização do produto escalar; usado para definir espaços de Hilbert
Para o produto escalar ou produto escalar de vetores de coordenadas, consulte
produto escalar .
Interpretação geométrica do ângulo entre dois vetores definidos usando um produto interno
Os espaços de produto escalar, em qualquer campo, têm "produtos escalares" que são simétricos e lineares no primeiro argumento. Os espaços de produtos Hermitianos são restritos ao campo dos números complexos e possuem "produtos Hermitianos" que são conjugados simétricos e lineares no primeiro argumento. Os espaços de produto interno podem ser definidos sobre qualquer campo, tendo "produtos internos" que são lineares no primeiro argumento, simétricos conjugados e definidos positivamente. Ao contrário dos produtos internos, os produtos escalares e os produtos Hermitianos não precisam ser positivos-definidos.
Em matemática , um espaço de produto interno (ou, raramente, um espaço de Hausdorff pré-Hilbert ) é um espaço vetorial com uma operação binária chamada de produto interno. Esta operação associa cada par de vetores no espaço com uma quantidade escalar conhecida como o produto interno dos vetores, freqüentemente denotada por colchetes angulares (como em ). Os produtos internos permitem a introdução rigorosa de noções geométricas intuitivas, como o comprimento de um vetor ou o ângulo entre dois vetores. Eles também fornecem os meios de definir a ortogonalidade entre vetores (produto interno zero). Os espaços de produto interno generalizam espaços euclidianos (nos quais o produto interno é o produto escalar, também conhecido como produto escalar) para espaços vetoriais de qualquer dimensão (possivelmente infinita) e são estudados na análise funcional . Os espaços de produto interno sobre o campo de números complexos às vezes são chamados de espaços unitários . A primeira utilização do conceito de espaço vetorial com produto interno se deve a Giuseppe Peano , em 1898.
Um produto interno induz naturalmente uma norma associada ( e são as normas de e na imagem), que canonicamente transforma todo espaço de produto interno em um espaço vetorial normatizado . Se este espaço normatizado também estiver completo (ou seja, um espaço de Banach ), então o espaço de produto interno é chamado de espaço de Hilbert . Se um espaço de produto interno não for um espaço de Hilbert, ele pode ser "estendido" para um espaço de Hilbert denominado completação . Explicitamente, isto significa que está linearmente e isometricamente incorporados numa densa subespaço vector de e que o produto interno no é a extensão contínua única do produto interno inicial .
Definição
Neste artigo, o campo dos escalares denotados é o campo dos números reais ou o campo dos números complexos .
Formalmente, um espaço de produto interno é um espaço vetorial sobre o campo junto com um mapa
chamado de
produto interno que satisfaz as seguintes condições (1), (2) e (3) para todos os vetores e escalares :
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Linearidade no primeiro argumento:
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( Homogeneidade no 1º argumento )
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( Aditividade no 1º argumento )
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- Se a condição (1) for válida e se também for antilinear (também chamado de linear conjugado ) em seu segundo argumento, então é chamado deforma sesquilinear .
- Cada uma das duas propriedades acima implica para cada vetor
-
Simetria conjugada ouSimetria hermitiana :
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( Simetria conjugada )
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- As condições (1) e (2) são as propriedades definidoras de uma forma Hermitiana , que é um tipo especial de forma sesquilinear . Uma forma sesquilinear é Hermitiana se e somente se for real para todos Em particular, a condição (2) implica que é um número real para todos
- Se, então, esta condição se mantém se e somente se for ummapa simétrico , o que significa quepara todos osIfleva um escalar não real como um valor, então este mapa não pode ser simétrico e simétrico conjugado a menos que seja omapaconstante. Seforsimétricoe a condição (1) for válida, entãoé ummapa bilinear.
- Uma explicação de por que os produtos internos devem ser conjugados simétricos em vez de simétricos é fornecida em (4) abaixo .
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Definitividade positiva :
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( Definição positiva )
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As três condições acima são as propriedades definidoras de um produto interno, e é por isso que um produto interno é às vezes (equivalentemente) definido como sendo uma forma hermitiana definida positivamente . Um produto interno pode ser definido de forma equivalente como uma forma sesquilinear definida positiva .
Assumindo que (1) é válido, a condição (3) será válida se e somente se ambas as condições (4) e (5) abaixo forem válidas:
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Semidefinição positiva oudefinição não negativa :
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( Semi-definição positiva )
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- As condições (1), (2) e (4) são as propriedades definidoras de um Hermitiana forma semi-definida positiva , o que permite a definição de um canónicasemi normaisemdada porIsto semi normais é umanormase e apenas sea condição (5)é satisfeita.
- Esta condição é válida se somente se a atribuição definida pelo é bem definida e valorizada em Se esta condição não se sustenta, em seguida, esta atribuição não define um semi normais em porque, por definição, seminorms deve ser não negativo valorizado real-. Uma vez que toda norma é uma seminorma, esta tarefa também não definirá uma norma sobre quando essa condição não for satisfeita.
-
Simetria conjugada versus simetria : Supondo quee quesatisfaçaseforbilinear(o que é verdade se este mapa satisfizer (1) e forsimétrico), então sempre quefor um escalar tal queentão sejaimpossívelparaamboseserem números reais; consequentemente, neste caso o mapa bilinearnão pode ser positivo-definida e, assim, a atribuiçãoseránãodefinir um semi normais (nem uma norma) em
Se ao invés de ser bilinear, o mapaé em vezsesquilinear(que será verdadeira quando as condições (1) e (2) são satisfeitos), então para qualquer escalaré um número real se e somente sefor um número real. Isso mostra que quandoentão é possível para um mapa sesquilinear ser definido não negativo (e, portanto, induzir uma seminorma), mas issonuncaépossível para um mapa bilinear diferente de zero. Esta é uma das razões para exigir que os produtos internos sejamsimétricos conjugados emvez desimétricos. Em particular, seentão definirpor(comconjugação complexa) irá induzir uma norma sobre,mas defini-la por(sem conjugação complexa) não irá.
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Ponto de separação oudefinição :
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( Ponto de separação )
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As condições (1) a (5) são satisfeitas por cada produto interno.
Propriedades elementares
A definição positiva garante que:
enquanto é garantida tanto pela
homogeneidade no primeiro argumento quanto pela aditividade no primeiro argumento .
Para cada vetor
conjugado, a simetria garante o que implica que é um número real. Também garante que para todos os vetores e
onde denota a parte real de um escalar
Simetria conjugada e linearidade na primeira variável implicam linearidade conjugada , também conhecida como antilinearidade , no segundo argumento; explicitamente, isso significa que para quaisquer vetores e qualquer escalar
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( Antilinearidade no 2º argumento )
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Isso mostra que todo produto interno também é uma forma sesquilinear e que produtos internos são aditivos em cada argumento, o que significa que para todos os vetores
A aditividade em cada argumento implica a seguinte generalização importante da expansão quadrada familiar:
Onde
No caso de
simetria conjugada reduz-se a simetria e então a sesquilinearidade reduz-se a bilinearidade . Conseqüentemente, um produto interno em um espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica definida positiva . Ou seja, quando então
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( Simetria )
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e a expansão binomial torna-se:
Definições alternativas, notações e observações
Um caso especial comum do produto interno, o produto escalar ou produto de ponto , é escrito com um ponto centrado
Alguns autores, especialmente em física e álgebra de matrizes , preferem definir o produto interno e a forma sesquilinear com linearidade no segundo argumento ao invés do primeiro. Então, o primeiro argumento torna-se linear conjugado, ao invés do segundo. Nessas disciplinas, escreveríamos o produto interno como (a
notação bra-ket da mecânica quântica ), respectivamente (produto escalar como um caso da convenção de formar o produto matriz como os produtos escalares de linhas de com colunas de ). Aqui, os kets e as colunas são identificados com os vetores de e os sutiãs e as linhas com os funcionais lineares (covetores) do espaço dual com conjugação associada à dualidade. Essa ordem reversa é agora ocasionalmente seguida na literatura mais abstrata, considerando ser linear conjugado em vez de . Alguns, em vez disso, encontram um meio-termo, reconhecendo ambas e como notações distintas - diferindo apenas em qual argumento é linear conjugado.
Existem várias razões técnicas pelas quais é necessário restringir o campo base para e na definição. Resumidamente, o campo base deve conter um
subcampo ordenado para que a não negatividade faça sentido e, portanto, deve ter uma característica igual a 0 (uma vez que qualquer campo ordenado deve ter tal característica). Isso exclui imediatamente os campos finitos. O campo base deve ter uma estrutura adicional, como um automorfismo distinto . Mais geralmente, qualquer subcampo quadraticamente fechado de ou será suficiente para esta finalidade (por exemplo, números algébricos , números construtíveis ). No entanto, nos casos em que é um subcampo adequado (ou seja, nem nem ), mesmo os espaços de produto interno de dimensão finita não serão metricamente completos. Em contraste, todos os espaços de produto interno de dimensão finita acima ou como aqueles usados na computação quântica , são automaticamente metricamente completos (e, portanto, os espaços de Hilbert ).
Em alguns casos, é necessário considerar as formas sesquilineares semi-definidas não negativas . Isso significa que só precisa ser não negativo. O tratamento para esses casos é ilustrado a seguir.
Alguns exemplos
Números reais e complexos
Entre os exemplos mais simples de espaços de produto interno estão e
Os
números reais são um espaço vetorial que se torna um espaço de produto interno real quando dotado de multiplicação padrão como seu produto interno real:
Os números complexos são um espaço vetorial sobre o qual se torna um espaço de produto interno complexo quando dotado com o produto interno complexo
Ao contrário, com os números reais, a atribuição não não definir um produto interno complexo em
Espaço vetorial euclidiano
De maneira mais geral, o
espaço- real com o
produto escalar é um espaço de produto interno, um exemplo de espaço vetorial euclidiano .
onde está a
transposição de
Espaço de coordenadas complexas
A forma geral de um produto interno é conhecida como a
forma Hermitiana e é fornecida por
onde é qualquer matriz definida positiva Hermitiana e é a transposta conjugada de Para o caso real, isso corresponde ao produto escalar dos resultados da escala direcionalmente diferente dos dois vetores, com fatores de escala positivos e direções ortogonais de escala. É uma versão de soma ponderada do produto escalar com pesos positivos - até uma transformação ortogonal.
Espaço Hilbert
O artigo sobre espaços de Hilbert tem vários exemplos de espaços de produto interno, em que a métrica induzida pelo produto interno produz um espaço métrico completo . Um exemplo de um espaço de produto interno que induz uma métrica incompleta é o espaço de funções avaliadas complexas contínuas e no intervalo O produto interno é
Este espaço não está completo; considere, por exemplo, para o intervalo [−1, 1] a sequência de funções contínuas de "etapa", definidas por:
Esta seqüência é uma seqüência de Cauchy para a norma induzida pelo produto interno precedente, que não converge para uma função contínua .
Variáveis aleatórias
Para variáveis aleatórias reais e o
valor esperado de seu produto
é um produto interno. Nesse caso, se e somente se (ou seja, quase com certeza ), onde denota a probabilidade do evento. Essa definição de expectativa como produto interno também pode ser estendida a vetores aleatórios .
Matrizes reais
Para matrizes quadradas reais do mesmo tamanho, com transposta como conjugação
é um produto interno.
Espaços vetoriais com formulários
Em um espaço de produto interno, ou mais geralmente um espaço vetorial com uma forma não degenerada (portanto, um isomorfismo ), os vetores podem ser enviados para covetores (em coordenadas, via transposição), de modo que se possa tomar o produto interno e o produto externo de dois vetores - não simplesmente de um vetor e um covetor.
Resultados básicos, terminologia e definições
Norma
Cada espaço interno do produto induz uma norma , chamada denorma canônica , que é definida por
Com essa norma, todo espaço de produto interno se torna um espaço vetorial normatizado .
Como para todo espaço vetorial normatizado, um espaço de produto interno é um espaço métrico , para a distância definida por
Os axiomas do produto interno garantem que o mapa acima forme uma norma, que terá as seguintes propriedades.
- Homogeneidade
-
Para um vetor e um escalar
- Desigualdade triangular
-
Para vetores
Essas duas propriedades mostram que temos de fato uma norma.
- Desigualdade de Cauchy-Schwarz
-
Para vetores
com igualdade se e somente se e forem
linearmente dependentes . Na literatura matemática russa, essa desigualdade também é conhecida como desigualdade de Cauchy – Bunyakovsky ou desigualdade de Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz .
Similaridade de cosseno
Quando é um número real, então a desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que está no domínio da função trigonométrica inversa e, portanto, o ângulo (não orientado) entre e pode ser definido como:
Onde
Identidade de polarização
O produto interno pode ser recuperado da norma pela identidade de polarização
que é uma forma da lei dos cossenos .
Ortogonalidade
Dois vetores e são chamadosortogonal , escritose seu produto interno for zero:Isso acontece se e somente separa todos os escalaresAlém disso, parao escalarminimizacom valor
Para umespaço de produto internocomplexo - masnãoreal,um operador linearé idênticose e somente separa todos
Complemento ortogonal
O complemento ortogonal de um subconjunto é o conjunto de todos os vetores tais que e são ortogonais para todos ; ou seja, é o conjunto
Este conjunto é sempre um subespaço vetorial fechado de e se o fechamento de em é um subespaço vetorial, então
teorema de Pitágoras
Sempre e então
A prova da identidade requer apenas expressar a definição da norma em termos do produto interno e multiplicar, utilizando a propriedade de aditividade de cada componente. O nome teorema de Pitágoras surge da interpretação geométrica na geometria euclidiana .
Identidade de Parseval
Uma indução no teorema de Pitágoras produz: se são vetores ortogonais (significando que para índices distintos ), então
Lei do paralelogramo
Para todos
A lei do paralelogramo é, de fato, uma condição necessária e suficiente para a existência de um produto interno correspondente a uma dada norma.
Desigualdade de Ptolomeu
Para todos
A desigualdade de Ptolomeu é, de fato, uma condição necessária e suficiente para a existência de um produto interno correspondente a uma dada norma. Em detalhes, Isaac Jacob Schoenberg provou em 1952 que, dado qualquer espaço seminormado real, se sua seminorma for ptolomaica, então a seminorma é a norma associada a um produto interno.
Partes reais e complexas de produtos internos
Suponha que seja um produto interno em (portanto, é antilinear em seu segundo argumento). A
identidade de polarização mostra que a parte real do produto interno é
Se é um espaço vetorial real, então
e a parte imaginária (também chamada de parte complexa ) de é sempre 0 .
Suponha, para o restante desta seção, que seja um espaço vetorial complexo. A
identidade de polarização para espaços vetoriais complexos mostra que
O mapa definido por for all satisfaz os axiomas do produto interno, exceto que é antilinear em seu
primeiro , e não em seu segundo argumento. A parte real de ambos e são iguais, mas os produtos internos diferem em sua parte complexa:
A última igualdade é semelhante à fórmula que expressa um funcional linear em termos de sua parte real.
- Produtos internos reais vs. complexos
Deixe denotar considerado como um espaço vetorial sobre os números reais em vez de números complexos. A
parte real do produto interno complexo é o mapa que necessariamente forma um produto interno real no espaço vetorial real. Todo produto interno em um espaço vetorial real é um mapa bilinear e simétrico .
Por exemplo, se com produto interno onde é um espaço vetorial sobre o campo, então é um espaço vetorial sobre e é o
produto escalar onde é identificado com o ponto (e de forma semelhante para ). Além disso, tinha sido em vez definida para ser o mapa simétrica (ao invés do habitual conjugado mapa simétrica ), então sua parte real seria não ser o produto de ponto; além disso, sem o conjugado complexo, se, mas então , a atribuição não define uma norma.
Os próximos exemplos mostram que, embora produtos internos reais e complexos tenham muitas propriedades e resultados em comum, eles não são totalmente intercambiáveis. Por exemplo, se então, mas o próximo exemplo mostra que o inverso em geral
não é verdade. Dado qualquer vetor (que é o vetor girado em 90 °) pertence e também pertence a (embora a multiplicação escalar de por não seja definida em , ainda é verdade que o vetor denotado por é um elemento de ). Para o produto interno complexo, enquanto para o produto interno real o valor é sempre
Se tiver o produto interno mencionado acima, então o mapa definido por é um mapa linear diferente de zero (linear para ambos e ) que denota a rotação de no plano. Este mapa satisfaz todos os vetores onde se este produto interno fosse complexo ao invés de real, então isso teria sido o suficiente para concluir que este mapa linear é idêntico (isto é ), o que a rotação certamente não é. Em contraste, para todos os valores diferentes de zero, o mapa satisfaz
Sequências ortonormais
Let Ser um espaço de produto interno de dimensão finita de dimensão Lembre-se de que cada
base de consiste em vetores exatamente linearmente independentes. Usando o processo de Gram-Schmidt, podemos começar com uma base arbitrária e transformá-la em uma base ortonormal. Ou seja, em uma base na qual todos os elementos são ortogonais e possuem norma unitária. Em símbolos, uma base é ortonormal se para todo e para cada índice
Esta definição de base ortonormal generaliza para o caso de espaços de produtos internos de dimensão infinita da seguinte maneira. Deixe ser qualquer espaço interno do produto. Em seguida, uma coleção
é uma base para se o subespaço de gerado por combinações lineares finitas de elementos de é denso em (na norma induzida pelo produto interno). Digamos que seja uma base ortonormal para se for uma base e
se e para todos
Usando um análogo de dimensão infinita do processo de Gram-Schmidt, pode-se mostrar:
Teorema. Qualquer espaço de produto interno
separável tem uma base ortonormal.
Usando o princípio máximo de Hausdorff e o fato de que em um espaço de produto interno completo, a projeção ortogonal em subespaços lineares é bem definida, pode-se também mostrar que
Teorema. Qualquer espaço de produto interno completo tem uma base ortonormal.
Os dois teoremas anteriores levantam a questão de se todos os espaços de produtos internos têm uma base ortonormal. A resposta, ao que parece, é negativa. Este é um resultado não trivial e é comprovado a seguir. A seguinte prova foi retirada do livro A Hilbert Space Problem Book de Halmos (veja as referências).
Prova
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Lembre-se de que a dimensão de um espaço de produto interno é a cardinalidade de um sistema ortonormal máximo que ele contém (pelo lema de Zorn, ele contém pelo menos um, e quaisquer dois têm a mesma cardinalidade). Uma base ortonormal é certamente um sistema ortonormal máximo, mas o inverso não precisa ser válido em geral. Se for um subespaço denso de um espaço de produto interno, então qualquer base ortonormal para é automaticamente uma base ortonormal para. Assim, é suficiente construir um espaço de produto interno com um subespaço denso cuja dimensão é estritamente menor que a de
Let Ser um espaço Hilbert de dimensão (por exemplo, ). Vamos ser uma base ortonormal de modo Estender a uma base de Hamel para onde Uma vez que é sabido que a dimensão Hamel de é a cardinalidade do continuum, é preciso que
Let Ser um espaço Hilbert de dimensão (por exemplo, ). Deixe ser uma base ortonormal para e deixe ser uma bijeção. Então, há uma transformação linear tal que para e para .
Let e let ser o gráfico de Let ser o fechamento de em ; vamos mostrar uma vez que, para qualquer um , segue-se que
Em seguida, se , em seguida, por algum modo ; visto que também, também temos Segue-se que assim e é denso em
Finalmente, é um conjunto ortonormal máximo ; E se
para todos , em seguida, por isso é o vetor zero na Daí a dimensão do é que é claro que a dimensão do é Isso completa a prova.
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A identidade de Parseval leva imediatamente ao seguinte teorema:
Teorema. Deixe ser um espaço de produto interno separável e uma base ortonormal de Então o mapa
é um mapa linear isométrico com uma imagem densa.
Este teorema pode ser considerado uma forma abstrata da série de
Fourier , na qual uma base ortonormal arbitrária desempenha o papel da sequência de polinômios trigonométricos . Observe que o conjunto de índices subjacente pode ser considerado qualquer conjunto contável (e de fato qualquer conjunto, desde que seja definido apropriadamente, como é explicado no espaço de Hilbert do artigo ). Em particular, obtemos o seguinte resultado na teoria da série de Fourier:
Teorema. Seja o espaço do produto interno Então a sequência (indexada no conjunto de todos os inteiros) de funções contínuas
é uma base ortonormal do espaço com o produto interno. O mapeamento
é um mapa linear isométrico com imagem densa.
A ortogonalidade da sequência decorre imediatamente do fato de que, se então
A normalidade da sequência é intencional, ou seja, os coeficientes são escolhidos de modo que a norma saia para 1. Finalmente, o fato de a sequência ter um intervalo algébrico denso, na norma do produto interno , decorre do fato de que a sequência tem uma extensão algébrica densa, desta vez no espaço de funções periódicas contínuas com a norma uniforme. Este é o conteúdo do
teorema de Weierstrass sobre a densidade uniforme de polinômios trigonométricos.
Operadores em espaços internos de produtos
Vários tipos de mapas lineares entre os espaços internos do produto e são relevantes:
-
Mapas lineares contínuos :são lineares e contínuos em relação à métrica definida acima, ou equivalentemente,são lineares e o conjunto de reais não negativosonde osalcances sobre a bola unitária fechada deé limitada.
-
Operadores lineares simétricos : é linear e para todos
-
Isometrias : é linear e para todas ou equivalentemente, é linear e para todas Todas as isometrias são
injetivas . Isometrias são morfismos entre espaços de produtos internos e morfismos de espaços de produtos internos reais são transformações ortogonais (compare com a matriz ortogonal ).
Isomorfismos isométricos : é uma isometria que é sobrejetiva (e, portanto, bijetiva ). Isomorfismos isométricos também são conhecidos como operadores unitários (compare com matriz unitária ).
Do ponto de vista da teoria do espaço do produto interno, não há necessidade de distinguir entre dois espaços que são isomórficos isomórficos. O teorema espectral fornece uma forma canônica para operadores simétricos, unitários e mais geralmente
normais em espaços de produto interno de dimensão finita. Uma generalização do teorema espectral é válida para operadores normais contínuos em espaços de Hilbert.
Generalizações
Qualquer um dos axiomas de um produto interno pode ser enfraquecido, gerando noções generalizadas. As generalizações que estão mais próximas dos produtos internos ocorrem onde a bilinearidade e a simetria do conjugado são retidas, mas a definição positiva é enfraquecida.
Produtos internos degenerados
Se for um espaço vetorial e uma forma sesquilinear semi-definida, a função:
faz sentido e satisfaz todas as propriedades da norma, exceto que não implica (tal funcional é então chamado de seminorma ). Podemos produzir um espaço de produto interno, considerando o quociente Os fatores de forma sesquilinear por meio de
Esta construção é usada em vários contextos. A construção Gelfand – Naimark – Segal é um exemplo particularmente importante do uso desta técnica. Outro exemplo é a representação de kernels semidefinidos em conjuntos arbitrários.
Formas simétricas conjugadas não degeneradas
Alternativamente, pode-se exigir que o emparelhamento seja uma forma não degenerada , o que significa que para todos os diferentes de zero existem alguns que, embora não precisem ser iguais ; em outras palavras, o mapa induzido para o espaço dual é injetivo. Esta generalização é importante na
geometria diferencial : uma variedade cujos espaços tangentes têm um produto interno é uma variedade Riemanniana , enquanto se esta estiver relacionada à forma simétrica conjugada não degenerada, a variedade é uma variedade pseudo-Riemanniana . Pela lei da inércia de Sylvester , assim como todo produto interno é semelhante ao produto escalar com pesos positivos em um conjunto de vetores, cada forma simétrica conjugada não degenerada é semelhante ao produto escalar com pesos diferentes de zero em um conjunto de vetores, e o número de pesos positivos e negativos são chamados respectivamente de índice positivo e índice negativo. O produto de vetores no espaço de Minkowski é um exemplo de produto interno indefinido, embora, tecnicamente falando, não seja um produto interno de acordo com a definição padrão acima. O espaço de Minkowski tem quatro dimensões e índices 3 e 1 (a atribuição de "+" e "-" a eles difere dependendo das convenções ).
Declarações puramente algébricas (aquelas que não usam positividade) geralmente contam apenas com a não degeneração (o homomorfismo injetivo ) e, portanto, são válidas de forma mais geral.
Produtos relacionados
O termo "produto interno" se opõe ao produto externo , que é um oposto um pouco mais geral. Simplesmente, em coordenadas, o produto interno é o produto de um
covetor com um vetor, gerando uma matriz (um escalar), enquanto o produto externo é o produto de um vetor com um covetor, gerando uma matriz. Observe que o produto externo é definido para dimensões diferentes, enquanto o produto interno requer a mesma dimensão. Se as dimensões forem iguais, então o produto interno é o traço do produto externo (o traço só é definido corretamente para matrizes quadradas). Em um resumo informal: "o interior é horizontal vezes vertical e encolhe, o exterior é vertical vezes horizontal e expande-se".
Mais abstratamente, o produto externo é o mapa bilinear enviando um vetor e um covetor para uma transformação linear de classificação 1 (
tensor simples do tipo (1, 1)), enquanto o produto interno é o mapa de avaliação bilinear dado avaliando um covetor em um vetor; a ordem dos espaços vetoriais de domínio aqui reflete a distinção covetor / vetor.
O produto interno e o produto externo não devem ser confundidos com o produto interno e o
produto externo , que são, em vez disso, operações em
campos de vetores e
formas diferenciais ou, mais geralmente, na
álgebra externa .
Como complicação adicional, na álgebra geométrica, o produto interno e o produto externo (Grassmann) são combinados no produto geométrico (o produto de Clifford em uma álgebra de Clifford ) - o produto interno envia dois vetores (1-vetor) para um escalar (a 0-vetor), enquanto o produto externo envia dois vetores para um bivetor (2-vetor) - e, neste contexto, o produto externo é geralmente chamado de produto externo (alternativamente, produto em cunha ). O produto interno é mais corretamente chamado de produto escalar neste contexto, pois a forma quadrática não degenerada em questão não precisa ser definida positiva (não precisa ser um produto interno).
Veja também
Notas
- Provas
Referências
Bibliografia
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