Taxa interna de retorno - Internal rate of return

Taxa interna de retorno ( TIR ) é um método de cálculo de um investimento de taxa de retorno . O termo interno refere-se ao fato de que o cálculo exclui fatores externos, como taxa livre de risco , inflação , custo de capital ou risco financeiro .

O método pode ser aplicado ex-post ou ex-ante . Aplicada ex-ante, a TIR é uma estimativa de uma taxa de retorno anual futura. Aplicado ex-post, mede o retorno de investimento real alcançado de um investimento histórico.

É também chamada de taxa de retorno do fluxo de caixa descontado (DCFROR).

Definição

A taxa interna de retorno de um investimento ou projeto é a "taxa de retorno composta efetiva anualizada" ou taxa de retorno que define o valor presente líquido de todos os fluxos de caixa (positivos e negativos) do investimento igual a zero. Equivalentemente, é a taxa de desconto na qual o valor presente líquido dos fluxos de caixa futuros é igual ao investimento inicial, e também é a taxa de desconto na qual o valor presente total dos custos (fluxos de caixa negativos) é igual ao valor presente total dos benefícios (fluxos de caixa positivos).

A TIR contabiliza a preferência temporal de dinheiro e investimentos. Um determinado retorno sobre o investimento recebido em um determinado momento vale mais do que o mesmo retorno recebido em um momento posterior, portanto, o último renderia uma TIR menor do que o primeiro, se todos os outros fatores fossem iguais. Um investimento de renda fixa em que o dinheiro é depositado uma vez, os juros sobre esse depósito são pagos ao investidor a uma taxa de juros especificada a cada período e o depósito original não aumenta nem diminui, teria uma TIR igual à taxa de juros especificada. Um investimento que tem o mesmo retorno total do investimento anterior, mas retarda o retorno por um ou mais períodos de tempo, teria uma TIR mais baixa.

Usos

Poupança e empréstimos

No contexto de poupança e empréstimos, a TIR também é chamada de taxa de juros efetiva .

Rentabilidade de um investimento

As empresas usam a TIR no orçamento de capital para comparar a lucratividade dos projetos de capital em termos de taxa de retorno . Por exemplo, uma empresa irá comparar um investimento em uma nova planta versus uma extensão de uma planta existente com base na TIR de cada projeto. Para maximizar o retorno , quanto mais alta a TIR de um projeto, mais desejável é realizá-lo. Para maximizar o retorno, o projeto com a maior TIR seria considerado o melhor e executado primeiro.

Maximizando o valor presente líquido

A taxa interna de retorno é um indicador da lucratividade , eficiência, qualidade ou rendimento de um investimento. Isso está em contraste com o valor presente líquido , que é um indicador do valor líquido ou magnitude adicionada ao fazer um investimento.

Aplicando o método da taxa interna de retorno para maximizar o valor da empresa, qualquer investimento seria aceito, se sua lucratividade, medida pela taxa interna de retorno, fosse maior do que uma taxa de retorno mínima aceitável . A taxa mínima apropriada para maximizar o valor adicionado à empresa é o custo de capital , ou seja, a taxa interna de retorno de um novo projeto de capital precisa ser maior do que o custo de capital da empresa. Isso ocorre porque apenas um investimento com uma taxa interna de retorno que excede o custo de capital tem um valor presente líquido positivo .

No entanto, a seleção de investimentos pode estar sujeita a restrições orçamentárias, ou pode haver projetos concorrentes mutuamente exclusivos , ou a capacidade ou habilidade de gerenciar mais projetos pode ser praticamente limitada. No exemplo citado acima de uma empresa que compara um investimento em uma nova fábrica a uma extensão de uma fábrica existente, pode haver razões para a empresa não se envolver em ambos os projetos.

Renda fixa

O mesmo método também é usado para calcular o rendimento até o vencimento e o rendimento até o vencimento .

Responsabilidades

Tanto a taxa interna de retorno quanto o valor presente líquido podem ser aplicados tanto aos passivos quanto aos investimentos. Para um passivo, uma taxa interna de retorno mais baixa é preferível a uma mais alta.

Gestão de capital

As empresas usam a taxa interna de retorno para avaliar emissões de ações e programas de recompra de ações . Uma recompra de ações prossegue se o retorno de capital aos acionistas tiver uma taxa interna de retorno mais alta do que os projetos de investimento de capital candidatos ou projetos de aquisição a preços de mercado atuais. O financiamento de novos projetos por meio da captação de novas dívidas também pode envolver a medição do custo da nova dívida em termos de rendimento até o vencimento (taxa interna de retorno).

Capital privado

A TIR também é usada para private equity , da perspectiva dos sócios limitados, como uma medida do desempenho do sócio geral como gestor de investimentos. Isso ocorre porque é o sócio comanditário que controla os fluxos de caixa, incluindo as retiradas de capital comprometido dos sócios comanditários .

Cálculo

Dada uma coleção de pares ( tempo , fluxo de caixa ) representando um projeto, o valor presente líquido é uma função da taxa de retorno . A taxa interna de retorno é uma taxa para a qual esta função é zero, ou seja, a taxa interna de retorno é uma solução para a equação NPV = 0.

Dados os pares (período, fluxo de caixa) ( , ) onde é um número inteiro não negativo, o número total de períodos e o , ( valor presente líquido ); a taxa interna de retorno é dada por em:

Este polinômio racional pode ser convertido em um polinômio comum com as mesmas raízes substituindo g (ganho) e multiplicando por para produzir a condição equivalente, porém mais simples

As TIRs possíveis são os valores reais de r que satisfazem a primeira condição e 1 a menos que as raízes reais da segunda condição (ou seja, para cada raiz g ). Observe que em ambas as fórmulas, é a negação do investimento inicial no início do projeto, enquanto é o valor em dinheiro do projeto no final, equivalentemente o dinheiro retirado se o projeto fosse liquidado e pago de forma a reduzir o valor do projeto a zero. Na segunda condição está o coeficiente líder do polinômio comum em g enquanto é o termo constante.

O período é geralmente dado em anos, mas o cálculo pode ser mais simples se for calculado usando o período em que a maioria do problema é definida (por exemplo, usando meses se a maioria dos fluxos de caixa ocorrer em intervalos mensais) e convertido para um período anual daí em diante.

Qualquer tempo fixo pode ser usado no lugar do presente (por exemplo, o fim de um intervalo de uma anuidade ); o valor obtido é zero se e somente se o VPL for zero.

No caso de os fluxos de caixa serem variáveis ​​aleatórias , como no caso de uma renda vitalícia , os valores esperados são colocados na fórmula acima.

Freqüentemente, o valor de que satisfaz a equação acima não pode ser encontrado analiticamente . Neste caso, métodos numéricos ou métodos gráficos devem ser usados.

Exemplo

Se um investimento pode ser dado pela sequência de fluxos de caixa

Ano ( ) Fluxo de caixa ( )
0 -123400
1 36200
2 54800
3 48100

então a TIR é dada por

Nesse caso, a resposta é 5,96% (no cálculo, ou seja, r = 0,0596).

Solução numérica

Visto que o acima é uma manifestação do problema geral de encontrar as raízes da equação , existem muitos métodos numéricos que podem ser usados ​​para estimar . Por exemplo, usando o método secante , é dado por

onde é considerada a ª aproximação da TIR.

Isso pode ser encontrado com um grau arbitrário de precisão . Diferentes pacotes de contabilidade podem fornecer funções para diferentes níveis de precisão. Por exemplo, o Microsoft Excel e o Google Sheets têm funções integradas para calcular a TIR para intervalos de tempo fixos e variáveis; "= IRR (...)" e "= XIRR (...)".

O comportamento de convergência do seguinte:

  • Se a função tem uma única raiz real , a sequência converge de forma reproduzível para .
  • Se a função tem raízes reais , então a sequência converge para uma das raízes, e alterar os valores dos pares iniciais pode alterar a raiz para a qual converge.
  • Se a função não tiver raízes reais, a sequência tende a + ∞ .

Ter quando ou quando pode acelerar a convergência de para .

Solução numérica para fluxo único e múltiplos influxos

De particular interesse é o caso em que o fluxo de pagamentos consiste em uma única saída, seguida por várias entradas ocorrendo em períodos iguais. Na notação acima, isso corresponde a:

Nesse caso, o VPL do fluxo de pagamento é uma função convexa e estritamente decrescente da taxa de juros. Sempre há uma solução única e exclusiva para IRR.

Dadas duas estimativas e para a TIR, a equação do método da secante (veja acima) sempre produz uma estimativa melhorada . Isso às vezes é chamado de método Hit and Trial (ou Trial and Error). Fórmulas de interpolação mais precisas também podem ser obtidas: por exemplo, a fórmula secante com correção

(que é mais preciso quando ) se mostrou quase 10 vezes mais preciso do que a fórmula secante para uma ampla gama de taxas de juros e estimativas iniciais. Por exemplo, usando o fluxo de pagamentos {−4000, 1200, 1410, 1875, 1050} e estimativas iniciais e a fórmula secante com correção dá uma estimativa de IRR de 14,2% (erro de 0,7%) em comparação com IRR = 13,2% (7 % de erro) do método secante.

Se aplicado iterativamente, o método da secante ou a fórmula aprimorada sempre convergem para a solução correta.

Tanto o método da secante quanto a fórmula aprimorada contam com estimativas iniciais para a TIR. Os seguintes palpites iniciais podem ser usados:

Onde

Aqui, refere-se apenas ao VPL das entradas (isto é, definir e calcular o VPL).

Datas exatas de fluxos de caixa

Um fluxo de caixa pode ocorrer a qualquer momento, anos após o início do projeto. pode não ser um número inteiro. O fluxo de caixa ainda deve ser descontado por um fator . E a fórmula é

Para solução numérica, podemos usar o método de Newton

onde é a derivada de e dada por

Um valor inicial pode ser dado por

Problemas de uso

Comparação com critério de seleção de investimento NPV

Como ferramenta aplicada para a tomada de decisão de investimento sobre se um projeto agrega valor ou não, comparar a TIR de um único projeto com a taxa de retorno exigida, isolada de quaisquer outros projetos, é equivalente ao método NPV. Se a TIR apropriada (se puder ser encontrada corretamente) for maior do que a taxa de retorno exigida, usando a taxa de retorno exigida para descontar os fluxos de caixa ao seu valor presente, o VPL desse projeto será positivo e vice-versa. No entanto, usar a TIR para classificar os projetos em ordem de preferência não resulta na mesma ordem que usar o VPL.

Maximizando o valor presente líquido

Um possível objetivo de investimento é maximizar o valor presente líquido total dos projetos.

Quando o objetivo é maximizar o valor total, a TIR calculada não deve ser usada para escolher entre projetos mutuamente exclusivos.

VPL vs comparação da taxa de desconto para dois projetos mutuamente exclusivos. O projeto 'A' tem um VPL maior (para certas taxas de desconto), embora sua TIR (=  interceptação do eixo x ) seja menor do que para o projeto 'B' (clique para ampliar)

Nos casos em que um projeto tem um investimento inicial mais alto do que um segundo projeto mutuamente exclusivo, o primeiro projeto pode ter uma TIR (retorno esperado) mais baixa, mas um VPL (aumento na riqueza dos acionistas) mais alto e, portanto, deve ser aceito no segundo projeto (assumindo que não há restrições de capital).

Quando o objetivo é maximizar o valor total, a TIR não deve ser usada para comparar projetos de duração diferente. Por exemplo, o valor presente líquido adicionado por um projeto com duração mais longa, mas TIR mais baixa pode ser maior do que o de um projeto de tamanho semelhante, em termos de fluxos de caixa líquidos totais, mas com duração mais curta e TIR mais alta.

Preferência do médico por IRR em vez de NPV

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo valor presente líquido, as pesquisas indicam que os executivos preferem a TIR em vez do VPL. Aparentemente, os gerentes preferem comparar investimentos de tamanhos diferentes em termos de desempenho de investimento previsto, usando a TIR, em vez de maximizar o valor para a empresa, em termos de VPL. Essa preferência faz a diferença ao comparar projetos mutuamente exclusivos.

Maximizando o retorno de longo prazo

Maximizar o valor total não é o único objetivo de investimento possível concebível. Um objetivo alternativo seria, por exemplo, maximizar o retorno a longo prazo. Tal objetivo levaria racionalmente a aceitar primeiro os novos projetos dentro do orçamento de capital que têm a TIR mais alta, porque adicionar tais projetos tenderia a maximizar o retorno geral de longo prazo.

Exemplo

Para ver isso, considere dois investidores, Max Value e Max Return. Max Value deseja que seu patrimônio líquido cresça o máximo possível e investirá até o último centavo disponível para conseguir isso, enquanto Max Return deseja maximizar sua taxa de retorno no longo prazo e prefere escolher projetos com menor investimento de capital, mas retornos mais elevados. O valor máximo e o retorno máximo podem, cada um, arrecadar até 100.000 dólares americanos de seus bancos a uma taxa de juros anual de 10% paga no final do ano.

Investors Max Value e Max Return são apresentados com dois possíveis projetos para investir, chamados Big-Is-Best e Small-Is-Beautiful. Big-Is-Best requer um investimento de capital de 100.000 dólares americanos hoje, e o investidor sortudo receberá 132.000 dólares americanos em um ano. Small-Is-Beautiful requer apenas 10.000 dólares de capital para ser investido hoje e irá reembolsar o investidor 13.750 dólares em um ano.

Solução

O custo de capital para ambos os investidores é de 10%.

Tanto Big-Is-Best quanto Small-Is-Beautiful têm VPLs positivos:

e a TIR de cada um é (é claro) maior do que o custo de capital:

então a TIR do Big-Is-Best é de 32 por cento, e

portanto, a TIR de Small-Is-Beautiful é de 37,5%.

Ambos os investimentos seriam aceitáveis ​​para ambos os investidores, mas a reviravolta na história é que esses são projetos mutuamente exclusivos para ambos os investidores, porque seu orçamento de capital é limitado a 100.000 dólares americanos. Como os investidores escolherão racionalmente entre os dois?

O resultado feliz é que Max Value escolhe Big-Is-Best, que tem o NPV mais alto de 20.000 dólares americanos, em vez de Small-Is-Beautiful, que tem apenas um modesto NPV de 2.500, enquanto Max Return escolhe Small-Is-Beautiful, por seu retorno superior de 37,5%, sobre o retorno atraente (mas não tão atraente) de 32% oferecido no Big-Is-Best. Portanto, não há disputas sobre quem fica com qual projeto, cada um fica feliz em escolher projetos diferentes.

Como isso pode ser racional para ambos os investidores? A resposta está no fato de que os investidores não precisam investir todos os 100.000 dólares americanos. A Max Return está satisfeita em investir apenas 10.000 dólares americanos por enquanto. Afinal, Max Return pode racionalizar o resultado pensando que talvez amanhã haverá novas oportunidades disponíveis para investir os 90.000 dólares americanos restantes que o banco está disposto a emprestar Max Return, a TIRs ainda mais altas. Mesmo que apareçam apenas mais sete projetos idênticos a Small-Is-Beautiful, Max Return seria capaz de igualar o NPV de Big-Is-Best, em um investimento total de apenas 80.000 dólares americanos, com 20.000 dólares restantes em o orçamento de sobra para oportunidades verdadeiramente imperdíveis. Max Value também está feliz, porque ela preencheu seu orçamento de capital imediatamente e decide que pode tirar o resto do ano de investimentos.

Múltiplos IRRs

Quando o sinal dos fluxos de caixa muda mais de uma vez, por exemplo, quando fluxos de caixa positivos são seguidos por negativos e depois por positivos (+ + - - - +), a TIR pode ter vários valores reais. Em uma série de fluxos de caixa como (−10, 21, −11), inicialmente se investe dinheiro, então uma alta taxa de retorno é melhor, mas depois recebe mais do que se possui, então deve-se dinheiro, então agora uma taxa baixa de retorno é o melhor. Nesse caso, nem mesmo está claro se uma TIR alta ou baixa é melhor.

Pode até haver várias TIRs reais para um único projeto, como no exemplo 0% e também 10%. Exemplos desse tipo de projeto são minas a céu aberto e usinas nucleares , onde geralmente há uma grande saída de caixa no final do projeto.

O IRR satisfaz uma equação polinomial. O teorema de Sturm pode ser usado para determinar se essa equação tem uma solução real única. Em geral, a equação IRR não pode ser resolvida analiticamente, mas apenas por iteração.

Com várias taxas internas de retorno, a abordagem da TIR ainda pode ser interpretada de uma forma que seja consistente com a abordagem do valor presente se o fluxo de investimento subjacente for identificado corretamente como investimento líquido ou empréstimo líquido.

Consulte Recursos para obter uma maneira de identificar a TIR relevante de um conjunto de várias soluções de TIR.

Limitações no contexto de private equity

No contexto de viés de sobrevivência, o que torna a alta TIR de grandes empresas de private equity uma má representação da média, de acordo com Ludovic Phalippou ,

"... uma figura manchete que muitas vezes é mostrada com destaque como uma taxa de retorno em apresentações e documentos é, na verdade, uma TIR. TIRs não são taxas de retorno. Algo que as grandes empresas de PE têm em comum é que seus primeiros investimentos foram bem . Esses primeiros vencedores definiram a TIR dessas empresas desde o início em um nível artificialmente fixo e alto. A matemática da TIR significa que suas TIRs permanecerão nesse nível para sempre, desde que as empresas evitem grandes desastres. De passagem, isso gera uma grande injustiça porque é mais fácil jogar IRRs em LBOs em países ocidentais do que em qualquer outro investimento de PE. Isso significa que o resto da indústria de PE (por exemplo, capital de crescimento de mercado emergente) é condenado a parecer relativamente ruim para sempre, sem motivo além do uso de uma métrica de desempenho capaz de jogar. "

Também,

"Outro problema com a apresentação do desempenho dos fundos de pensão é que para o PE, os retornos ponderados no tempo ... não são a medida mais pertinente de desempenho. Perguntar quanto os fundos de pensão deram e receberam em dólares do PE, ou seja, MoM, ser mais pertinente. Visitei os 15 maiores sites de fundos para coletar informações sobre seu desempenho. Poucos deles postam seus retornos de fundos de PE online. Na maioria dos casos, eles postam informações sobre seu desempenho anterior em PE, mas nada que permita uma comparação significativa . por exemplo , CalSTRS [um fundo de pensão público da Califórnia] fornecer apenas a TIR net para cada fundo que investir em. Como IRR é muitas vezes enganosa e nunca podem ser agregados ou comparado com os retornos do mercado de ações, tal informação é basicamente inútil para medir o desempenho. "

Taxa interna de retorno modificada (MIRR)

A Taxa Interna de Retorno Modificada (MIRR) considera o custo de capital e visa fornecer uma melhor indicação do retorno provável de um projeto. Ele aplica uma taxa de desconto para empréstimos de dinheiro e a TIR é calculada para os fluxos de caixa de investimento. Isso se aplica na vida real, por exemplo, quando um cliente faz um depósito antes de uma máquina específica ser construída.

Quando um projeto tem várias TIRs, pode ser mais conveniente calcular a TIR do projeto com os benefícios reinvestidos. Dessa forma, é utilizado o MIRR, que tem uma taxa de reinvestimento presumida, geralmente igual ao custo de capital do projeto.

Taxa interna média de retorno (AIRR)

Magni (2010) introduziu uma nova abordagem, denominada abordagem AIRR, baseada na noção intuitiva de média, que resolve os problemas da TIR. No entanto, as dificuldades acima mencionadas são apenas algumas das muitas falhas incorridas pela TIR. Magni (2013) forneceu uma lista detalhada de 18 falhas da TIR e mostrou como a abordagem AIRR não incorre em problemas de TIR.

Matemática

Matematicamente, presume-se que o valor do investimento sofra crescimento exponencial ou decadência de acordo com alguma taxa de retorno (qualquer valor maior que −100%), com descontinuidades para fluxos de caixa, e a TIR de uma série de fluxos de caixa é definida como qualquer taxa de retorno que resulta em um valor presente líquido de zero (ou equivalentemente, uma taxa de retorno que resulta no valor correto de zero após o último fluxo de caixa).

Assim, a (s) taxa (s) interna (s) de retorno seguem do valor presente líquido como uma função da taxa de retorno. Esta função é contínua . Para uma taxa de retorno de -100%, o valor presente líquido se aproxima do infinito com o sinal do último fluxo de caixa, e para uma taxa de retorno de infinito positivo, o valor presente líquido se aproxima do primeiro fluxo de caixa (o do presente). Portanto, se o primeiro e o último fluxo de caixa tiverem sinal diferente, existe uma taxa interna de retorno. Exemplos de séries temporais sem TIR:

  • Apenas fluxos de caixa negativos - o VPL é negativo para todas as taxas de retorno.
  • (−1, 1, −1), fluxo de caixa positivo bastante pequeno entre dois fluxos de caixa negativos; o VPL é uma função quadrática de 1 / (1 +  r ), onde r é a taxa de retorno, ou dito de outra forma, uma função quadrática da taxa de desconto r / (1 +  r ); o VPL mais alto é −0,75, para r = 100%.

No caso de uma série de fluxos de caixa exclusivamente negativos seguidos por uma série de fluxos de caixa exclusivamente positivos, a função resultante da taxa de retorno é contínua e monotonicamente decrescente do infinito positivo (quando a taxa de retorno se aproxima de -100%) para o valor do primeiro fluxo de caixa (quando a taxa de retorno se aproxima do infinito), então há uma taxa única de retorno para a qual é zero. Portanto, a TIR também é única (e igual). Embora a função NPV em si não esteja necessariamente diminuindo monotonicamente em todo o seu domínio, ela está na TIR.

Da mesma forma, no caso de uma série de fluxos de caixa exclusivamente positivos seguidos de uma série de fluxos de caixa exclusivamente negativos, a TIR também é única.

Finalmente, pela regra dos signos de Descartes , o número de taxas internas de retorno nunca pode ser maior do que o número de mudanças no sinal do fluxo de caixa.

O debate sobre reinvestimento

Frequentemente afirma-se que a TIR pressupõe o reinvestimento de todos os fluxos de caixa até o final do projeto. Essa afirmação tem sido motivo de debate na literatura.

Fontes afirmando que existe tal suposição oculta foram citadas abaixo. Outras fontes argumentaram que não há pressuposto de reinvestimento da TIR.

Ao comparar investimentos, fazer uma suposição implícita de que os fluxos de caixa são reinvestidos na mesma TIR levaria a conclusões falsas. Se os fluxos de caixa recebidos não forem reinvestidos na mesma taxa que a TIR, um projeto com uma duração relativamente curta e uma TIR alta não necessariamente agrega mais valor em um intervalo de tempo mais longo do que outro projeto com uma duração mais longa e uma TIR mais baixa. É por isso que a TIR não deve ser usada isoladamente, mas em combinação com o VPL.

A Taxa Interna de Retorno Modificada (MIRR) aborda essa questão, permitindo a inclusão de um segundo investimento em uma taxa de retorno potencialmente diferente, para calcular o retorno do portfólio sem fluxos de caixa externos ao longo da vida do projeto. No entanto, para o orçamento de capital, quando o objetivo é maximizar o valor, a teoria financeira sustenta que o VPL usando o custo de capital da empresa é a métrica ótima.

Em finanças pessoais

A TIR pode ser usada para medir o desempenho ponderado em dinheiro de investimentos financeiros, como a conta de corretora de um investidor individual. Para este cenário, uma definição equivalente e mais intuitiva da TIR é: "A TIR é a taxa de juros anual da conta de taxa fixa (como uma conta de poupança um tanto idealizada) que, quando sujeita aos mesmos depósitos e retiradas que o investimento real , tem o mesmo saldo final do investimento real. " Essa conta de taxa fixa também é chamada de conta de taxa fixa replicante para o investimento. Há exemplos em que a conta de taxa fixa replicante encontra saldos negativos, apesar do fato de que o investimento real não. Nesses casos, o cálculo da TIR pressupõe que a mesma taxa de juros paga sobre saldos positivos é cobrada sobre saldos negativos. Foi demonstrado que essa forma de cobrança de juros é a causa raiz do problema de múltiplas soluções da TIR. Se o modelo for modificado de modo que, como é o caso na vida real, um custo de empréstimo fornecido externamente (possivelmente variando ao longo do tempo) seja cobrado sobre os saldos negativos, o problema das soluções múltiplas desaparece. A taxa resultante é chamada de equivalente de taxa fixa ( FREQ ).

Taxa interna de retorno não anualizada

No contexto da medição do desempenho do investimento, às vezes há ambigüidade na terminologia entre a taxa de retorno periódica , como a taxa interna de retorno conforme definida acima, e o retorno do período de retenção. O termo taxa interna de retorno ou TIR ou Taxa Interna de Retorno Desde o Início (SI-IRR) é, em alguns contextos, usado para se referir ao retorno não anualizado durante o período, particularmente para períodos de menos de um ano.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos