Intuicionismo - Intuitionism

Este artigo é sobre Intuicionismo em matemática e lógica filosófica. Para o termo em epistemologia moral, consulte Intuicionismo ético .

Na filosofia da matemática , o intuicionismo ou neointuicionismo (oposto ao pré - intuicionismo ) é uma abordagem em que a matemática é considerada puramente o resultado da atividade mental construtiva dos humanos, em vez da descoberta de princípios fundamentais que afirmam existir em uma realidade objetiva. Ou seja, a lógica e a matemática não são consideradas atividades analíticas em que propriedades profundas da realidade objetiva são reveladas e aplicadas, mas, em vez disso, são consideradas a aplicação de métodos internamente consistentes usados ​​para realizar construções mentais mais complexas, independentemente de sua possível existência independente em uma realidade objetiva .

Verdade e prova

A característica distintiva fundamental do intuicionismo é sua interpretação do que significa uma afirmação matemática ser verdadeira. No intuicionismo original de Brouwer , a verdade de uma afirmação matemática é uma afirmação subjetiva: uma afirmação matemática corresponde a uma construção mental, e um matemático pode afirmar a verdade de uma afirmação apenas verificando a validade dessa construção por intuição . A imprecisão da noção intuicionista de verdade muitas vezes leva a interpretações errôneas sobre seu significado. Kleene definiu formalmente a verdade intuicionista de uma posição realista, mas Brouwer provavelmente rejeitaria essa formalização como sem sentido, dada sua rejeição da posição realista / platônica. A verdade intuicionista, portanto, permanece um tanto mal definida. No entanto, como a noção intuicionista de verdade é mais restritiva do que a matemática clássica, o intuicionista deve rejeitar alguns pressupostos da lógica clássica para garantir que tudo o que eles provam é de fato intuicionisticamente verdadeiro. Isso dá origem à lógica intuicionista .

Para um intuicionista, a afirmação de que um objeto com certas propriedades existe é uma afirmação de que um objeto com essas propriedades pode ser construído. Qualquer objeto matemático é considerado produto da construção de uma mente e, portanto, a existência de um objeto equivale à possibilidade de sua construção. Isso contrasta com a abordagem clássica, que afirma que a existência de uma entidade pode ser provada pela refutação de sua inexistência. Para o intuicionista, isso não é válido; a refutação da inexistência não significa que seja possível encontrar uma construção para o objeto putativo, como é necessário para afirmar sua existência. Como tal, o intuicionismo é uma variedade de construtivismo matemático ; mas não é o único tipo.

A interpretação da negação é diferente na lógica intuicionista e na lógica clássica. Na lógica clássica, a negação de uma declaração afirma que a declaração é falsa ; para um intuicionista, significa que a afirmação é refutável . Há, portanto, uma assimetria entre uma afirmação positiva e negativa no intuicionismo. Se uma afirmação P é provável, então P certamente não pode ser refutável. Mas, mesmo se ele pode ser mostrado que P não pode ser refutada, isso não constitui uma prova de P . Assim, P é uma afirmação mais forte do que não-não-P .

Da mesma forma, afirmar que A ou B são válidos, para um intuicionista, é afirmar que A ou B podem ser provados . Em particular, a lei do terceiro excluído , " A ou não A ", não é aceita como um princípio válido. Por exemplo, se A é alguma afirmação matemática que um intuicionista ainda não provou ou refutou, então esse intuicionista não afirmará a verdade de " A ou não A ". No entanto, o intuicionista aceitará que " A e não A " não pode ser verdade. Assim, os conectivos "e" e "ou" da lógica intuicionista não satisfazem as leis de Morgan como o fazem na lógica clássica.

A lógica intuicionista substitui a verdade abstrata pela construtibilidade e está associada a uma transição da prova da teoria do modelo para a verdade abstrata na matemática moderna . O cálculo lógico preserva a justificação, ao invés da verdade, através das transformações que produzem proposições derivadas. Foi considerado um suporte filosófico a várias escolas de filosofia, mais notavelmente o Anti-realismo de Michael Dummett . Assim, ao contrário da primeira impressão que seu nome pode transmitir, e conforme percebido em abordagens e disciplinas específicas (por exemplo, Conjuntos e sistemas difusos ), a matemática intuicionista é mais rigorosa do que a matemática convencionalmente fundada, onde, ironicamente, os elementos fundamentais que o intuicionismo tenta construir / refute / refound são considerados dados intuitivamente.

Infinidade

Entre as diferentes formulações do intuicionismo, existem várias posições diferentes sobre o significado e a realidade do infinito.

O termo infinito potencial se refere a um procedimento matemático no qual existe uma série interminável de etapas. Após a conclusão de cada etapa, sempre há outra etapa a ser executada. Por exemplo, considere o processo de contagem: 1, 2, 3, ...

O termo infinito real se refere a um objeto matemático completo que contém um número infinito de elementos. Um exemplo é o conjunto de números naturais , N = {1, 2, ...}.

Na formulação de Cantor da teoria dos conjuntos, existem muitos conjuntos infinitos diferentes, alguns dos quais são maiores do que outros. Por exemplo, o conjunto de todos os números reais R é maior do que N , porque qualquer procedimento que você tentar usar para colocar os números naturais em correspondência um a um com os números reais sempre falhará: sempre haverá um número infinito de números reais "sobras". Qualquer conjunto infinito que pode ser colocado em correspondência um a um com os números naturais é chamado de "contável" ou "enumerável". Conjuntos infinitos maiores do que isso são considerados "incontáveis".

A teoria dos conjuntos de Cantor levou ao sistema axiomático da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC), agora a base mais comum da matemática moderna . O intuicionismo foi criado, em parte, como uma reação à teoria dos conjuntos de Cantor.

A teoria dos conjuntos construtiva moderna inclui o axioma do infinito de ZFC (ou uma versão revisada deste axioma) e o conjunto N de números naturais. A maioria dos matemáticos construtivos modernos aceita a realidade de conjuntos infinitos contáveis ​​(no entanto, veja Alexander Esenin-Volpin para um contra-exemplo).

Brouwer rejeitou o conceito de infinito real, mas admitiu a ideia de infinito potencial.

"De acordo com Weyl 1946, 'Brouwer deixou claro, como eu penso, sem qualquer dúvida, que não há evidências que sustentem a crença no caráter existencial da totalidade de todos os números naturais ... a sequência de números que cresce além de qualquer estágio já alcançado pela passagem para o próximo número, é uma multiplicidade de possibilidades abertas ao infinito; permanece para sempre no status de criação, mas não é um reino fechado de coisas existentes em si mesmas. Que nós cegamente convertemos um no outro é o verdadeiro fonte de nossas dificuldades, incluindo as antinomias - uma fonte de natureza mais fundamental do que o princípio do círculo vicioso de Russell indicava. Brouwer abriu nossos olhos e nos fez ver o quão longe a matemática clássica, alimentada por uma crença no "absoluto" que transcende todas as possibilidades humanas de realização, vai além de declarações que possam reivindicar um significado real e verdade fundada em evidências. " (Kleene (1952): Introdução à Metamatemática , p. 48-49)

História

A história do intuicionismo pode ser rastreada até duas controvérsias na matemática do século XIX.

O primeiro deles foi a invenção da aritmética transfinita por Georg Cantor e sua subsequente rejeição por uma série de matemáticos proeminentes, incluindo o mais famoso seu professor Leopold Kronecker - um finitista convicto .

A segunda delas foi o esforço de Gottlob Frege para reduzir toda a matemática a uma formulação lógica por meio da teoria dos conjuntos e seu descarrilamento por um jovem Bertrand Russell , o descobridor do paradoxo de Russell . Frege havia planejado uma obra definitiva em três volumes, mas assim que o segundo volume estava para ser impresso, Russell enviou a Frege uma carta descrevendo seu paradoxo, que demonstrava que uma das regras de auto-referência de Frege era contraditória. Em um apêndice ao segundo volume, Frege reconheceu que um dos axiomas de seu sistema de fato levou ao paradoxo de Russell.

Frege, conta a história, mergulhou na depressão e não publicou o terceiro volume de sua obra como havia planejado. Para mais informações, consulte os capítulos 3 e 4 de Davis (2000): Frege: From Breakthrough to Despair e Cantor: Detour through Infinity. Veja van Heijenoort para as obras originais e comentários de van Heijenoort.

Essas controvérsias estão fortemente ligadas à medida que os métodos lógicos usados ​​por Cantor para provar seus resultados na aritmética transfinita são essencialmente os mesmos usados ​​por Russell na construção de seu paradoxo. Conseqüentemente, como alguém escolhe resolver o paradoxo de Russell tem implicações diretas no status concedido à aritmética transfinita de Cantor.

No início do século XX, LEJ Brouwer representou a posição intuicionista e David Hilbert a posição formalista - ver van Heijenoort. Kurt Gödel ofereceu opiniões referidas como platonistas (ver várias fontes sobre Gödel). Alan Turing considera: " sistemas lógicos não construtivos com os quais nem todos os passos de uma prova são mecânicos, alguns sendo intuitivos". (Turing 1939, reimpresso em Davis 2004, p. 210) Mais tarde, Stephen Cole Kleene trouxe uma consideração mais racional do intuicionismo em sua Introdução à Meta-matemática (1952).

Contribuidores

Ramos da matemática intuicionista

Veja também

Referências

Leitura adicional

No Capítulo 39 , Fundamentos , com respeito ao século 20, Anglin fornece descrições curtas e muito precisas do platonismo (com respeito a Gõdel), formalismo (com respeito a Hilbert) e intuicionismo (com respeito a Brouwer).
  • Martin Davis (ed.) (1965), The Undecidable , Raven Press, Hewlett, NY. Compilação de artigos originais de Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser e Post. Republicado como Davis, Martin, ed. (2004). O Indecidível . Publicações Courier Dover. ISBN 978-0-486-43228-1.
  • Martin Davis (2000). Engines of Logic: Mathematicians and the origin of the Computer (1ª ed.). WW Norton & Company, Nova York. ISBN 0-393-32229-7.
  • John W. Dawson Jr., Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
Menos legível do que Goldstein, mas, no Capítulo III Excursis , Dawson apresenta uma excelente "História da Cápsula do Desenvolvimento da Lógica até 1928".
  • Rebecca Goldstein , Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Godel , Atlas Books, WW Norton, Nova York, 2005.
No Capítulo II, Hilbert e os formalistas Goldstein fornece um contexto histórico adicional. Como platônico, Gödel era reticente diante do positivismo lógico do Círculo de Viena. Goldstein discute o impacto de Wittgenstein e o impacto dos formalistas. Goldstein observa que os intuicionistas se opunham ainda mais ao platonismo do que ao formalismo .
  • van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reimpresso com correções, 1977. Os seguintes artigos aparecem em van Heijenoort:
  • LEJ Brouwer , 1923, Sobre a importância do princípio do meio excluído na matemática, especialmente na teoria da função [reimpresso com comentários, p. 334, van Heijenoort]
  • Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Sobre o princípio do meio excluído , [reimpresso com comentários, p. 414, van Heijenoort]
  • LEJ Brouwer , 1927, Sobre os domínios das definições de funções , [reimpresso com comentário, p. 446, van Heijenoort]
Embora não diretamente pertinente, em seu (1923) Brouwer usa certas palavras definidas neste artigo.
  • LEJ Brouwer , 1927 (2), Intuitionistic reflections on formalism , [reimpresso com comentários, p. 490, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), "Sobre a consistência da aritmética", [reimpresso com comentários, p. 618ff, van Heijenoort]
A partir do comentário de van Heijenoort, não está claro se Herbrand foi ou não um verdadeiro "intuicionista"; Gödel (1963) afirmou que de fato "... Herbrand era um intuicionista". Mas van Heijenoort diz que a concepção de Herbrand era "em geral muito mais próxima da palavra de Hilbert 'finitária' ('finito') do que de" intuicionista "aplicada à doutrina de Brouwer".
  • Hesseling, Dennis E. (2003). Gnomos na névoa. A recepção do intuicionismo de Brouwer na década de 1920 . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
  • Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuitionism: An Introduction (edição rev. 3d). Amsterdã: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
  • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Meta-Mathematics (décima impressão, ed. 1991). Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9.
No Capítulo III, A Critique of Mathematic Reasoning, §11. Os paradoxos , Kleene discute Intuicionismo e Formalismo em profundidade. No restante do livro, ele trata e compara as lógicas formalista (clássica) e intuicionista, com ênfase na primeira.
  • Stephen Cole Kleene e Richard Eugene Vesley , Os Fundamentos da Matemática Intuicionista , North-Holland Publishing Co. Amsterdam, 1965. A frase inicial diz tudo "A tendência construtiva na matemática ...". Um texto para especialistas, mas escrito no estilo maravilhosamente claro de Kleene.
  • Hilary Putnam e Paul Benacerraf , Philosophy of Mathematics: Selected Readings , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2ª ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN  0-521-29648-X
Parte I. Os fundamentos da matemática , Simpósio sobre os fundamentos da matemática
  • Rudolf Carnap , Os fundamentos lógicos da matemática , p. 41
  • Arend Heyting , The intuitionist foundations of mathematics , p. 52
  • Johann von Neumann , Os fundamentos formalistas da matemática , p. 61
  • Arend Heyting, Disputation , p. 66
  • LEJ Brouwer, Intuitionnism and formalism , p. 77
  • LEJ Brouwer, Consciousness, philos and mathematics , p. 90
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus - Springer-Verlag, 1ª edição 1970, 2ª edição 1996.
A biografia definitiva de Hilbert coloca seu "Programa" no contexto histórico, juntamente com a luta subsequente, às vezes rancorosa, entre os intuicionistas e os formalistas.
  • Paul Rosenbloom , The Elements of Mathematical Logic , Dover Publications Inc, Mineola, Nova York, 1950.
Em um estilo mais de Principia Mathematica - muitos símbolos, alguns antigos, alguns da escrita alemã. Discussões muito boas sobre intuicionismo nos seguintes locais: páginas 51–58 na Seção 4 Muitas Lógicas Valiosas, Lógica Modal, Intuicionismo; páginas 69–73 Capítulo III A lógica das funções proposicionais Seção 1 Introdução informal; e P. 146-151 Seção 7 o Axioma da Escolha.
Uma reavaliação do intuicionismo, do ponto de vista (entre outros) da matemática construtiva e da análise atípica .

Referências secundárias

  • AA Markov (1954) Teoria dos algoritmos . [Traduzido por Jacques J. Schorr-Kon e equipe do PST] Imprint Moscou, Academia de Ciências da URSS, 1954 [isto é, Jerusalém, Programa de Israel para Traduções Científicas, 1961; disponível no Office of Technical Services, US Dept. of Commerce, Washington] Descrição 444 p. 28 cm. Adicionado tp em Russo Tradução de Obras do Instituto de Matemática, Academia de Ciências da URSS, v. 42. Título original: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Biblioteca do Dartmouth College. Departamento de Comércio dos EUA, Escritório de Serviços Técnicos, número OTS 60–51085.]
Uma referência secundária para especialistas: Markov opinou que "Todo o significado para a matemática de tornar mais preciso o conceito de algoritmo surge, entretanto, em conexão com o problema de uma base construtiva para a matemática ... [p. 3, itálico adicionado. ] Markov acreditava que outras aplicações de sua obra "merecem um livro especial, que o autor espera escrever no futuro" (p. 3). Infelizmente, a obra aparentemente nunca apareceu.

links externos