Polinômio irredutível - Irreducible polynomial

Em matemática , um polinômio irredutível é, grosso modo, um polinômio que não pode ser fatorado no produto de dois polinômios não constantes . A propriedade de irredutibilidade depende da natureza dos coeficientes que são aceitos para os fatores possíveis, ou seja, o campo ou anel ao qual os coeficientes do polinômio e seus possíveis fatores deveriam pertencer. Por exemplo, o polinômio x ² - 2 é um polinômio com coeficientes inteiros , mas, como todo inteiro também é um número real , também é um polinômio com coeficientes reais. É irredutível se for considerado um polinômio com coeficientes inteiros, mas é fatorado como se fosse considerado um polinômio com coeficientes reais. Diz-se que o polinômio x ² - 2 é irredutível sobre os inteiros, mas não sobre os reais. ${\ displaystyle \ left (x - {\ sqrt {2}} \ right) \ left (x + {\ sqrt {2}} \ right)}$

Um polinômio irredutível sobre qualquer campo que contenha os coeficientes é absolutamente irredutível . Pelo teorema fundamental da álgebra , um polinômio univariado é absolutamente irredutível se e somente se seu grau for um. Por outro lado, com vários indeterminados , existem polinômios absolutamente irredutíveis de qualquer grau, como para qualquer inteiro positivo n . ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {n} -1,}$

Um polinômio que não é irredutível às vezes é chamado de polinômio redutível .

Polinômios irredutíveis aparecem naturalmente no estudo de fatoração polinomial e extensões de campo algébrico .

É útil comparar polinômios irredutíveis com números primos : os números primos (junto com os números negativos correspondentes de igual magnitude) são os inteiros irredutíveis . Eles exibem muitas das propriedades gerais do conceito de "irredutibilidade" que se aplicam igualmente a polinômios irredutíveis, como a fatoração essencialmente única em fatores primos ou irredutíveis. Quando o anel de coeficiente é um campo ou outro domínio de fatoração único , um polinômio irredutível também é chamado de polinômio primo , porque gera um ideal primo .

Definição

Se F é um campo, um polinômio não constante é irredutível sobre F se seus coeficientes pertencem a F e não pode ser tido em conta o produto de dois polinômios não-constante com coeficientes em F .

Um polinômio com coeficientes inteiros, ou, mais geralmente, com coeficientes em um domínio de fatoração único R , às vezes é dito ser irredutível (ou irredutível sobre R ) se for um elemento irredutível do anel polinomial , ou seja, não é invertível , não é zero, e não podem ser tidos em conta o produto de dois polinómios podem virar-se com coeficientes em R . Esta definição generaliza a definição dada para o caso de coeficientes em um campo, pois, sobre um campo, os polinômios não constantes são exatamente os polinômios que são não invertíveis e não zero.

Outra definição é freqüentemente usada, dizendo que um polinômio é irredutível sobre R se for irredutível sobre o campo das frações de R (o campo dos números racionais , se R são os inteiros). Esta segunda definição não é usada neste artigo.

Natureza de um fator

A ausência de uma expressão algébrica explícita para um fator não implica por si mesma que um polinômio seja irredutível. Quando um polinômio é redutível em fatores, esses fatores podem ser expressões algébricas explícitas ou expressões implícitas . Por exemplo, pode ser fatorado explicitamente sobre os números complexos, já que , no entanto, o teorema de Abel-Ruffini afirma que existem polinômios de qualquer grau maior que 4 para os quais existem fatores complexos que não têm expressão algébrica explícita. Tal fator pode ser escrito simplesmente como, digamos, onde é definido implicitamente como uma solução particular da equação que define o polinômio igual a 0. Além disso, fatores de qualquer tipo também podem ser expressos como aproximações numéricas obtidas por algoritmos de localização de raízes , por exemplo como${\ displaystyle x ^ {2} +2}$${\ displaystyle \ left (x - {\ sqrt {2}} i \ right) \ left (x + {\ sqrt {2}} i \ right);}$${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right),}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle \ left (x-1.2837 \ ldots \ right).}$

Exemplos simples

Os seis polinômios a seguir demonstram algumas propriedades elementares de polinômios redutíveis e irredutíveis:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} p_ {1} (x) & = x ^ {2} + 4x + 4 \, = {(x + 2) (x + 2)} \\ p_ {2} (x ) & = x ^ {2} -4 \, = {(x-2) (x + 2)} \\ p_ {3} (x) & = 9x ^ {2} -3 \, = 3 \ left ( 3x ^ {2} -1 \ right) \, = 3 \ left (x {\ sqrt {3}} - 1 \ right) \ left (x {\ sqrt {3}} + 1 \ right) \\ p_ { 4} (x) & = x ^ {2} - {\ frac {4} {9}} \, = \ left (x - {\ frac {2} {3}} \ right) \ left (x + {\ frac {2} {3}} \ right) \\ p_ {5} (x) & = x ^ {2} -2 \, = \ left (x - {\ sqrt {2}} \ right) \ left ( x + {\ sqrt {2}} \ direita) \\ p_ {6} (x) & = x ^ {2} +1 \, = {(xi) (x + i)} \ end {alinhado}}}$

Sobre os inteiros , os três primeiros polinômios são redutíveis (o terceiro é redutível porque o fator 3 não é invertível nos inteiros); os dois últimos são irredutíveis. (O quarto, é claro, não é um polinômio sobre os inteiros.)

Sobre os números racionais , os primeiros dois e o quarto polinômios são redutíveis, mas os outros três polinômios são irredutíveis (como um polinômio sobre os racionais, 3 é uma unidade e, portanto, não conta como um fator).

Sobre os números reais , os primeiros cinco polinômios são redutíveis, mas são irredutíveis. ${\ displaystyle p_ {6} (x)}$

Sobre os números complexos , todos os seis polinômios são redutíveis.

Sobre os números complexos

Sobre o campo complexo e, mais geralmente, sobre um campo algebraicamente fechado , um polinômio univariado é irredutível se e somente se seu grau for um. Este fato é conhecido como teorema fundamental da álgebra no caso dos números complexos e, em geral, como a condição de ser algebraicamente fechado.

Segue-se que todo polinômio univariado não constante pode ser fatorado como

${\ displaystyle a \ left (x-z_ {1} \ right) \ cdots \ left (x-z_ {n} \ right)}$

onde é o grau, é o coeficiente líder e são os zeros do polinômio (não necessariamente distintos e não necessariamente com expressões algébricas explícitas ). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n}}$

Existem polinômios multivariados irredutíveis de todos os graus sobre os números complexos. Por exemplo, o polinômio

${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} -1,}$

que define uma curva de Fermat , é irredutível para todo n positivo .

Sobre os reais

No campo dos reais , o grau de um polinômio univariado irredutível é um ou dois. Mais precisamente, os polinômios irredutíveis são os polinômios de grau um e os polinômios quadráticos que têm um discriminante negativo . Segue-se que todo polinômio univariado não constante pode ser fatorado como um produto de polinômios de grau no máximo dois. Por exemplo, fatores sobre os números reais como e não podem ser fatorados mais, já que ambos os fatores têm um discriminante negativo:${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac.}$${\ displaystyle x ^ {4} +1}$${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + {\ sqrt {2}} x + 1 \ right) \ left (x ^ {2} - {\ sqrt {2}} x + 1 \ right),}$${\ displaystyle \ left (\ pm {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2} -4 = -2 <0.}$

Propriedade única de fatoração

Cada polinômio sobre um campo F pode ser fatorado em um produto de uma constante diferente de zero e um número finito de polinômios irredutíveis (sobre F ). Essa decomposição é única até a ordem dos fatores e a multiplicação dos fatores por constantes diferentes de zero cujo produto é 1.

Sobre um único domínio de fatoração, o mesmo teorema é verdadeiro, mas é formulado com mais precisão usando a noção de polinômio primitivo. Um polinômio primitivo é um polinômio sobre um domínio de fatoração único, de modo que 1 é o maior divisor comum de seus coeficientes.

Seja F um domínio de fatoração único. Um polinômio irredutível não constante sobre F é primitivo. Um polinomial primitiva sobre F é irredutível sobre F se e só se for irredutível sobre o campo de fracções de F . Cada polinômio sobre F pode ser decomposto no produto de uma constante diferente de zero e um número finito de polinômios primitivos irredutíveis não constantes. A constante diferente de zero em si pode ser decomposto para o produto de uma unidade de F e um número finito de elementos irredutíveis de F . Ambos os fatorações são únicos até a ordem dos factores e a multiplicação dos elementos de uma unidade de F .

Este é o teorema que motiva que a definição de polinômio irredutível sobre um domínio de fatoração único freqüentemente supõe que o polinômio é não constante.

Todos os algoritmos que são atualmente implementados para fatorar polinômios sobre os inteiros e sobre os números racionais usam este resultado (consulte Fatoração de polinômios ).

Sobre os inteiros e o campo finito

A irredutibilidade de um polinômio sobre os inteiros está relacionada àquela sobre o campo dos elementos (para um primo ). Em particular, se um polinômio univariada f sobre acabou irredutível por algum nobre que não divide o coeficiente líder de f (o coeficiente da maior potência da variável), então f é mais irredutível . O critério de Eisenstein é uma variante dessa propriedade em que a irredutibilidade ao longo também está envolvida. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p ^ {2}}$

O inverso, entretanto, não é verdade: existem polinômios de grau arbitrariamente grande que são irredutíveis sobre os inteiros e redutíveis sobre todos os campos finitos. Um exemplo simples de tal polinômio é${\ displaystyle x ^ {4} +1.}$

A relação entre irredutibilidade sobre os inteiros e irredutibilidade módulo p é mais profunda do que o resultado anterior: até o momento, todos os algoritmos implementados para fatoração e irredutibilidade sobre os inteiros e sobre os números racionais usam a fatoração sobre campos finitos como uma sub - rotina .

O número de polinômios mônicos irredutíveis de grau n sobre um campo para q uma potência primo é dado por ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$

${\ displaystyle N (q, n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) q ^ {\ frac {n} {d}},}$

onde μ é a função de Möbius . Para q = 2 , tais polinómios são comumente usados para gerar sequências binárias pseudo-aleatórios .

Em certo sentido, quase todos os polinômios com coeficientes zero ou um são irredutíveis em relação aos inteiros. Mais precisamente, se uma versão da hipótese de Riemann para funções zeta de Dedekind for assumida, a probabilidade de ser irredutível sobre os inteiros para um polinômio com coeficientes aleatórios em {0, 1} tende a um quando o grau aumenta.

Algoritmos

A propriedade única de fatoração de polinômios não significa que a fatoração de um determinado polinômio pode sempre ser calculada. Mesmo a irredutibilidade de um polinômio nem sempre pode ser provada por um cálculo: há campos sobre os quais nenhum algoritmo pode existir para decidir a irredutibilidade de polinômios arbitrários.

Algoritmos para fatorar polinômios e decidir irredutibilidade são conhecidos e implementados em sistemas de álgebra computacional para polinômios sobre inteiros, os números racionais, campos finitos e extensão de campo finitamente gerado desses campos. Todos esses algoritmos usam os algoritmos para fatoração de polinômios sobre campos finitos .

Extensão de campo

As noções de polinômio irredutível e de extensão de campo algébrico estão fortemente relacionadas, da seguinte maneira.

Deixe- x ser um elemento de uma extensão L de um campo K . Este elemento é dito ser algébrica se é uma raiz de um polinômio com coeficientes em K . Entre os polinômios dos quais x é uma raiz, existe exatamente um que é mônico e de grau mínimo, denominado polinômio mínimo de x . O polinômio mínimo de um elemento algébrico x de L é irredutível, e é o polinômio mônico irredutível único do qual x é uma raiz. O polinômio mínimo de x divide cada polinômio que tem x como raiz (este é o teorema da irredutibilidade de Abel ).

Por outro lado, se é um polinómio univariada sobre um campo K , deixe ser o anel quociente do anel polinomial pelo ideal gerado por P . Em seguida, L é um campo se e somente se P é irredutível sobre K . Nesse caso, se x é a imagem de X em L , o polinômio mínimo de x é o quociente de P por seu coeficiente líder . ${\ displaystyle P (X) \ in K [X]}$${\ displaystyle L = K [X] / P (X)}$${\ displaystyle K [X]}$

Um exemplo do acima é a definição padrão dos números complexos como${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [X] \; / \ left (X ^ {2} +1 \ right).}$

Se um polinómio P tem um factor irredutível Q sobre K , que tem um grau maior do que um, pode-se aplicar-se a Q a construção anterior de uma extensão algébrica, para obter uma extensão em que P tem pelo menos mais uma raiz que em K . Iterando essa construção, obtém-se eventualmente um campo sobre o qual P fatora em fatores lineares. Este campo, original até um isomorfismo campo , é chamado o corpo de decomposição de P .

Sobre um domínio integral

Se R é um domínio integral , um elemento f de R que não é nem de zero nem uma unidade é chamado irredutível se não houver não-unidades de g e h com f = gh . Pode-se mostrar que todo elemento primo é irredutível; o inverso não é verdadeiro em geral, mas é válido em domínios únicos de fatoração . O anel polinomial F [ x ] sobre um campo F (ou qualquer domínio de fatoração único) é novamente um domínio de fatoração único. Indutivamente, isto significa que o anel em polinomial n indeterminadas (mais de um anel R ) é um domínio fatorial, se o mesmo é verdadeiro para R .

Veja também

• Lema de Gauss (polinômio)
• Teorema da raiz racional , um método para descobrir se um polinômio tem um fator linear com coeficientes racionais
• Critério de Eisenstein
• Método Perron
• Teorema da irredutibilidade de Hilbert
• Critério de irredutibilidade de Cohn
• Componente irredutível de um espaço topológico
• Fatoração de polinômios sobre campos finitos
• Função quártica § Quárticos redutíveis
• Função cúbica § Fatoração
• Casus irreducibilis , o cúbico irredutível com três raízes reais
• Equação quadrática § Fatoração quadrática

Notas

Referências

• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556. Este livro clássico cobre a maior parte do conteúdo deste artigo.
• Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8ª ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0, pp. 91 .
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J .; Van Oorschot, Paul C .; Vanstone, Scott A. (1997), Handbook of Applied Cryptography , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0, pp. 154 .

links externos

• Weisstein, Eric W. "Irreducible Polynomial" . MathWorld .
• Polinômio irredutível no PlanetMath .
• Informações sobre polinômios primitivos e irredutíveis , o servidor de objetos (combinatório).